2016-2017学年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷

最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 1 页 共 21 页 2016 2017 学年江苏省无锡市高二 上 期末数学试卷学年江苏省无锡市高二 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 15 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 5 分 若直线 a 2 x y 3 0 的倾斜角为 45 则实数 a 的值为 2 5 分 设一辆汽车在公路上做加速直线运动 假设 t 秒时的速度为 v t 3t2 1 米 秒 则在 2 秒是加速度为 米 秒 2 3 5 分 圆 x2 y2 4x 4y 8 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的位置关系是 4 5 分 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 若 AA1 2AB 则异面直线 BD1与 CC1 所成角的正切值为 5 5 分 设两条直线 x y 2 0 3x y 2 0 的交点为 M 若点 M 在圆 x m 2 y2 5 内 则实数 m 的取值范围为 6 5 分 若点 A 6 y 在抛物线 y2 8x 上 F 为抛物线的焦点 则 AF 的长 度为 7 5 分 已知一个圆锥的侧面积是 50 cm2 若母线与底面所成角为 60 则 此圆锥的底面半径为 8 5 分 如果正方体 球与等边圆柱 圆柱底面圆的直径与高相等 的体积 相等 设它们的表面积依次为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3大小关系为 9 5 分 给出下列三个命题 若命题 p 2 是实数 命题 q 2 是奇数 则 p 或 q 为真命题 记函数 f x 是导函数为 f x 若 f x0 0 则 f x0 是 f x 的极值 a 3 是 直线 l1 x ay 3 0 l2 a 1 x 2ay 1 0 平行 的充要条件 则真命题的序号是 10 5 分 文 设 f x sinx 2cosx 1 的导函数为 f x 则 f 11 理 设向量 2 2s 2 t 2 4 2s 1 3t 2 且 则实数 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 2 页 共 21 页 s t 12 5 分 如图是正四面体的平面展开图 G H M N 分别为 DE BE EF EC 的中点 在这个正四面体中 有以下结论 GH 与 EF 平行 BE 与 MN 为异面直线 GH 与 AF 成 60 角 MN 平面 ADF 其中正确结论的序号是 13 5 分 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 F 作圆 x2 y2 a2的切线 切点为 M 延长 FM 交双曲线右支于点 P 若 M 为 FP 的中点 则双曲线的离心 率是 14 5 分 已知 f x ax g x ex 3ax a 0 若对 x1 0 1 存在 x2 1 使得方程 f x1 g x2 总有解 则实数 a 的取值范围为 15 5 分 已知直线 ax by c 0 始终平分圆 C x2 y2 2x 4y 4 0 C 为圆心 的 周长 设直线 l 2a b x 2b c y 2c a 0 过点 P 6 9 作 l 的垂线 垂足为 H 则线段 CH 长度的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 7 小题 共小题 共 90 分 解答写出文字说明 证明过程或演算分 解答写出文字说明 证明过程或演算 过程 过程 16 14 分 设直线 l1 mx 2my 6 0 与 l2 3 m x my m2 3m 0 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 3 页 共 21 页 1 若 l1 l2 求 l1 l2之间的距离 2 若直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大 求直线 l2的方 程 17 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 是梯形 AD BC ABC 90 平面 PAB 平面 ABCD PB AB 且 AD AB BP BC 1 求证 CD 平面 PBD 2 已知点 Q 在 PC 上 若 AC 与 BD 交于点 O 且 AP 平面 BDQ 求证 OQ 平面 APD 18 14 分 已知直线 l y 2x n n R 圆 M 的圆心在 y 轴 且过点 1 1 1 当 n 2 时 若圆 M 与直线 l 相切 求该圆的方程 2 设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l 试问直线 l 与抛物线 N x2 6y 是否相 切 如果相切 求出切点坐标 如果不想切 请说明理由 19 16 分 文科 已知 m R 集合 A m m2 am 12a2 a 0 集合 B m 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 若 m A 是 m B 的充分不 必要条件 求 a 的取值范围 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 4 页 共 21 页 20 理科 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1 O 是 AC 的中点 E 是线段 D1O 上 一点 且 1 若 求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值 2 若二面角 D1 CE D 为 求 的值 21 16 分 已知函数 f x lnx 2 a R 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 2x y 3 0 求 a 的值 2 求函数 y f x 的单调区间 3 若曲线 y f x 都在直线 a 1 x y 2 a 1 0 的上方 求正实数 a 的取 值范围 22 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 1 a 0 b 0 的离心率为 过 C 的左焦点 F1 且垂直于 x 轴 的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 1 求椭圆 C 的方程 2 设椭圆 C 的左 右顶点分别为 A B 直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴 点 P 是点 C 上异于 A B 的任意一点 直线 AP 交直线 l 于点 Q 设直线 OQ BP 的斜率分别为 k1 k2 求证 k1 k2为定值 当点 P 运动时 试判断点 Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系 并证明你的结 论 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 5 页 共 21 页 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 6 页 共 21 页 2016 2017 学年江苏省无锡市高二 上 期末数学试卷学年江苏省无锡市高二 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 15 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 5 分 若直线 a 2 x y 3 0 的倾斜角为 45 则实数 a 的值为 3 解答 解 因为直线 a 2 x y 3 0 的倾斜角为 45 所以直线的斜率为 tan45 a 2 1 所以 a 3 故答案为 3 2 5 分 设一辆汽车在公路上做加速直线运动 假设 t 秒时的速度为 v t 3t2 1 米 秒 则在 2 秒是加速度为 12 米 秒 2 解答 解 v t 3t2 1 v t 6t 根据导数的物理意义 可知 t 2 时物体的加速度为即为 v 2 v 2 6 2 12 故答案为 12 3 5 分 圆 x2 y2 4x 4y 8 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的位置关系是 相交 解答 解 圆 x2 y2 4x 4y 8 0 即 x 2 2 y 2 2 16 表示以 2 2 为 圆心 半径等于 4 的圆 圆 x2 y2 2x 4y 1 0 即 x 1 2 y 2 2 4 表示以 1 2 为圆心 半径等 于 2 的圆 两个圆的圆心距为 d 5 大于两圆的半径之差而小于半径之 和 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 7 页 共 21 页 故两个圆的位置关系为相交 故答案为 相交 4 5 分 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 若 AA1 2AB 则异面直线 BD1与 CC1 所成角的正切值为 解答 解 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 BB1 B1BD1是异面直线 BD1与 CC1所成角 设 AA1 2AB 2 则 B1D1 BB1 2 tan B1BD1 异面直线 BD1与 CC1所成角的正切值为 故答案为 5 5 分 设两条直线 x y 2 0 3x y 2 0 的交点为 M 若点 M 在圆 x m 2 y2 5 内 则实数 m 的取值范围为 1 3 解答 解 由题意可知 解得 交点 1 1 交点 M 在圆 x m 2 y2 5 的内部 可得 1 m 2 1 5 解得 1 m 3 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 8 页 共 21 页 实数 m 的取值范围为 1 3 故答案为 1 3 6 5 分 若点 A 6 y 在抛物线 y2 8x 上 F 为抛物线的焦点 则 AF 的长 度为 8 解答 解 由于抛物线 y2 8x 的焦点 F 2 0 其准线方程为 x 2 该抛物 线的一点 A 到 y 轴距离为 6 则点 A 到准线的距离为 6 2 8 再由抛物线的定义可得 AF 8 故答案为 8 7 5 分 已知一个圆锥的侧面积是 50 cm2 若母线与底面所成角为 60 则 此圆锥的底面半径为 5 解答 解 设圆锥的底面半径为 R 则母线长为 2R 圆锥的侧面积是 50 cm2 50 R 2R 解得 R 5cm 故答案为 5 8 5 分 如果正方体 球与等边圆柱 圆柱底面圆的直径与高相等 的体积 相等 设它们的表面积依次为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3大小关系为 S2 S3 S1 解答 解 设球的半径为 R 正方体的棱长为 a 等边圆柱的底面半径为 r 且它们的体积都为 V 则 V 解得 a r S1 6 a2 6 2 6 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 9 页 共 21 页 S2 4 R2 4 2 S3 2 S2 S3 S1 故答案为 S2 S3 S1 9 5 分 给出下列三个命题 若命题 p 2 是实数 命题 q 2 是奇数 则 p 或 q 为真命题 记函数 f x 是导函数为 f x 若 f x0 0 则 f x0 是 f x 的极值 a 3 是 直线 l1 x ay 3 0 l2 a 1 x 2ay 1 0 平行 的充要条件 则真命题的序号是 解答 解 对于 因为命题 p 为真 p 或 q 为真命题 故正确 对于 例如函数 f x x3满足 f 0 0 但 f 0 不是 f x 的极值 故 错 对于 当 a 0 时 直线 l1 x ay 3 0 l2 a 1 x 2ay 1 0 平行 故错 故答案为 10 5 分 文 设 f x sinx 2cosx 1 的导函数为 f x 则 f 解答 解 f x sinx 2cosx 1 的导函数为 f x cosx 2sinx f cos 2sin 2 故答案为 11 理 设向量 2 2s 2 t 2 4 2s 1 3t 2 且 则实数 s t 解答 解 存在实数 k 使得 k 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 10 页 共 21 页 则 解得 k s t 6 s t 故答案为 12 5 分 如图是正四面体的平面展开图 G H M N 分别为 DE BE EF EC 的中点 在这个正四面体中 有以下结论 GH 与 EF 平行 BE 与 MN 为异面直线 GH 与 AF 成 60 角 MN 平面 ADF 其中正确结论的序号是 解答 解 正四面体的平面展开图还原成正四面体 如图 在 中 GH 与 EF 是异面直线 故 错误 在 中 BE 与 MN 相交于点 N 故 错误 在 中 GH AD GH 与 AF 成 60 角 故 正确 在 中 MN AF MN 平面 ADF 故 正确 故答案为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 11 页 共 21 页 13 5 分 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 F 作圆 x2 y2 a2的切线 切点为 M 延长 FM 交双曲线右支于点 P 若 M 为 FP 的中点 则双曲线的离心 率是 解答 解 如图 OF c OM a FG 2c F b 又 M 为 PF 的中点 PG 2 OM 2a PF 2b PF PG 2b 2a 2a b 2a c a e 故答案为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 12 页 共 21 页 14 5 分 已知 f x ax g x ex 3ax a 0 若对 x1 0 1 存在 x2 1 使得方程 f x1 g x2 总有解 则实数 a 的取值范围为 解答 解 当 x 0 1 时 f x ax 为减函数 由 f 1 2a 得 f x 的值域为 2a 若若对 x1 0 1 存在 x2 1 使得方程 f x1 g x2 总有解 则 g x 的值域 B 应满足 2a B 令 g x ex 3a 0 则 ex 3a 即 x ln3a 若 ln3a 1 即 3a e 此时 g x g 1 e 3a 此时由 e 3a 2a 得 a 若 ln3a 1 即 3a e g x 1 ln3a 上为减函数 在 ln3a 上为增函数 此时当 x ln3a 时 函数取最小值 3a 1 ln3a 0 2a 满足条件 综上可得 实数 a 的取值范围为 故答案为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 13 页 共 21 页 15 5 分 已知直线 ax by c 0 始终平分圆 C x2 y2 2x 4y 4 0 C 为圆心 的 周长 设直线 l 2a b x 2b c y 2c a 0 过点 P 6 9 作 l 的垂线 垂足为 H 则线段 CH 长度的取值范围是 解答 解 由题意 圆心 C 1 2 在直线 ax by c 0 上 可得 a 2b c 0 即 c 2b a 直线 l 2a b x 2b c y 2c a 0 即 a 2x y 3 b 4 x 0 由 可得 x 4 y 5 即直线过定点 M 4 5 由题意 H 在以 PM 为直径的圆上 圆心为 A 5 2 方程为 x 5 2 y 2 2 50 CA 4 CH 最小为 5 CH 最大为 4 线段 CH 长度的取值范围是 故答案为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 7 小题 共小题 共 90 分 解答写出文字说明 证明过程或演算分 解答写出文字说明 证明过程或演算 过程 过程 16 14 分 设直线 l1 mx 2my 6 0 与 l2 3 m x my m2 3m 0 1 若 l1 l2 求 l1 l2之间的距离 2 若直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大 求直线 l2的方 程 解答 解 1 若 l1 l2 则 m 6 l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 6 0 l1 l2之间的距离 d 2 由题意 0 m 3 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 14 页 共 21 页 直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S m 3 m m 时 S 最大为 此时直线 l2的方程为 2x 2y 3 0 17 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 是梯形 AD BC ABC 90 平面 PAB 平面 ABCD PB AB 且 AD AB BP BC 1 求证 CD 平面 PBD 2 已知点 Q 在 PC 上 若 AC 与 BD 交于点 O 且 AP 平面 BDQ 求证 OQ 平面 APD 解答 证明 1 平面 PAB 平面 ABCD PB AB 平面 PAB 平面 ABCD AB PB 平面 ABCD CD 平面 ABCD CD PB AD AB BC BAD 90 BD AD BC 2AD DBC 45 BDC 90 CD BD PB BD B CD 平面 PBD 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 15 页 共 21 页 2 AP 平面 BDQ AP OQ OQ 平面 APD AP 平面 APD OQ 平面 APD 18 14 分 已知直线 l y 2x n n R 圆 M 的圆心在 y 轴 且过点 1 1 1 当 n 2 时 若圆 M 与直线 l 相切 求该圆的方程 2 设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l 试问直线 l 与抛物线 N x2 6y 是否相 切 如果相切 求出切点坐标 如果不想切 请说明理由 解答 解 1 设 M 的方程为 x2 y b 2 r2 1 1 代入 可得 1 1 b 2 r2 直线 l 与圆 M 相切 r 由 可得 b 3 或 M 的方程为 x2 y 3 2 5 或 x2 y 2 2 因为直线 l 的方程为 y 2x n 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 16 页 共 21 页 所以直线 l 的方程为 y 2x n 与抛物线联立得 x2 12x 6n 0 144 24n 当 n 6 即 0 时 直线 l 与抛物线 C 相切 切点坐标为 6 6 当 n 6 即 0 时 直线 l 与抛物线 C 不相切 19 16 分 文科 已知 m R 集合 A m m2 am 12a2 a 0 集合 B m 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 若 m A 是 m B 的充分不 必要条件 求 a 的取值范围 解答 解 对于集合 A 由 m2 am 12a2 故 m 4a m 3a 0 对于集合 B 解 解得 4 m 2 a 0 时 集合 A 3a m 4a 若 m A 是 m B 的充分不必要条件 则 解得 0 a a 0 时 集合 A a m 3a 若 m A 是 m B 的充分不必要条件 则 解得 a 0 综上 a 0 0 20 理科 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1 O 是 AC 的中点 E 是线段 D1O 上 一点 且 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 17 页 共 21 页 1 若 求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值 2 若二面角 D1 CE D 为 求 的值 解答 解 1 设正方体的棱长为 1 分别以 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 O 0 C 0 1 0 D1 0 0 1 D 0 0 0 设 E x0 y0 z0 x0 y0 z0 1 x0 解得 x0 y0 z0 E CD1 0 1 1 cos 异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值为 2 设平面 CD1E 的法向量为 x y z 0 0 1 1 0 1 0 则 取 z 1 得 1 1 1 由 0 1 得 E 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 18 页 共 21 页 设平面 CDE 的法向量 x y z 则 取 x 2 得 2 0 二面角 D1 CE D 为 cos 由 0 1 解得 8 2 21 16 分 已知函数 f x lnx 2 a R 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 2x y 3 0 求 a 的值 2 求函数 y f x 的单调区间 3 若曲线 y f x 都在直线 a 1 x y 2 a 1 0 的上方 求正实数 a 的取 值范围 解答 解 1 函数的定义域是 0 f x f 1 1 a f 1 a 2 故曲线 y f x 在 1 f 1 处的曲线方程是 y a 2 1 a x 1 即 a 1 x y 2a 3 0 又曲线 y f x 在 1 f 1 处的切线为 2x y 3 0 故 a 3 2 由于 f x 若 a 0 对于 x 0 f x 0 恒成立 即 f x 在 0 递增 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 19 页 共 21 页 故函数的递增区间是 0 若 a 0 当