江苏省重点中学2012届高三下学期开学质量检测数学试题

江苏省重点中学 2012 届高三下学期开学质量检测 高三数学 满分 160 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 已知集合 A 1 1 2 4 B 1 0 2 则 A B 2 函数 f x log5 2x 1 的单调增区间是 3 设复数 z 满足 i z 1 3 2i i 为虚数单位 则 z 的实部是 4 根据如图所示的伪代码 当输入 a b 分别为 2 3 时 最后输出的 m 的值为 Read a b If a b Then m a Else m b End If Print m 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 6 已知向量 的夹角为 若点 M 在直线 OB 上 则OA OB 3 4OA 1OB 的最小值为 OAOM 7 已知角的顶点在坐标原点 始边与 x 轴的正半轴重合 角的终 0 边与单位圆交点的横坐标是 角的终边与单位圆交点的纵坐标是 则 1 3 4 5 cos 8 在平面直角坐标系 xOy 中 过坐标原点的一条直线与函数 f x 的图象交于 P Q 两点 x 2 则线段 PQ 长的最小值是 9 已知函数 其中对于xxfln xxfcos x exf x exf cos 定义域内的任意一个都存在唯一个成立的函数是 xf 1 x1 212 xfxfx使 写出所有满足条件的函数的序号 10 椭圆的焦点为 点在椭圆上 若 则1 29 22 yx 1 F 2 FP4 1 PF 21 PFPF 11 函数有两个不同的零点 则实数的取值范围为 2 1 21 0 2 0 x xxx f x ax a 12 已知集合 记和中所有不同值的个数为 321n aaaaA 1 njiaa ji 如当时 由 AM 4 3 2 1 A321 431 53241 642 得 对于集合 若实数成等差743 5 AM 321n bbbbB n bbbb 321 数列 则 BM 13 在平面直角坐标系中 满足条件的点构成的平面区域的面积为 22 1xy x y 分别表示不大于的最大整数 则 S xy x yS 14 把正整数排列成如图 1 三角形数阵 然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所 有偶数 可得到如图 2 的三角形数阵 现将图 2 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列 若 则 n a2011 k a k 1 24 579 10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 3436 1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 第第 1414 题图题图 1 1第第 1414 题图题图 2 2 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 sin 2cos A 求 A 的值 A 6 2 若 cosA b 3c 求 sinC的值 1 3 16 本小题满分 14 分 如图 已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形 E F G H 分别为边 AB BC CD DA 上的点 BD 平面 EFGH 且 EH FG 1 求证 HG 平面 ABC 2 请在面 ABD 内过点 E 作一条线段垂直于 AC 并给出证 明 17 本小题满分 14 分 如图 ABC 为一个等腰三角形形状的空地 腰 CA 的长为 3 百米 底 AB 的长为 4 百米 现决定在该空地内筑一条笔直的小路 EF 宽度不计 将该空地分成一个四边形和一个三 角形 设分成的四边形和三角形的周长相等 面积分别为 S1和 S2 1 若小路一端 E 为 AC 的中点 求此时小路的长度 2 求的最小值 S1 S2 18 本小题满分 16 分 已知椭圆中心为 右顶点为 过定点作直线 交椭圆于 2 2 1 4 x y OM 0 2 D tt lA 两点 B 1 若直线 与轴垂直 求三角形面积的最大值 lxOAB 2 若 直线 的斜率为 求证 来源 6 5 t l190AMB 3 在轴上 是否存在一点 使直线和的斜率的乘积为非零常数 若存在 xEAEBE 求出点的坐标和这个常数 若不存在 说明理由 E 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 其值域为 x a x2 b 1 4 1 4 1 试求 a b 的值 2 函数 y g x x R 满足 条件 1 当 x 0 3 时 g x f x 条件 2 g x 3 g x lnm m 1 求函数 g x 在 x 3 9 上的解析式 若函数 g x 在 x 0 上的值域是闭区间 试探求 m 的取值范围 并说明理由 20 本题满分 16 分 对于数列 如果存在一个正整数 使得对任意的 都有 n xmn Nn 成立 那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列 的最小值称作 nmn xx n xmm 数列的最小正周期 以下简称周期 例如当时是周期为 的周期数列 当 n x2 n x n x1 时是周期为的周期数列 2 sin nyn n y4 1 设数列满足 不同时为 0 求 n a nnn aaa 12 Nnbaaa 21 ba 证 数列是周期为的周期数列 并求数列的前 2012 项的和 n a6 n a 2012 S 2 设数列的前项和为 且 n an n S 2 1 4 nn aS 若 试判断数列是否为周期数列 并说明理由 0 n a n a 若 试判断数列是否为周期数列 并说明理由 0 1 nna a n a 3 设数列满足 数列的前 n a1 12 nnn aaa Nn2 1 a3 2 a n a 项和为 试问是否存在实数 使对任意的都有成立 若n n Sqp Nnq n S p n n 1 存在 求出的取值范围 不存在 说明理由 qp 19 20 题解答请写在试卷反面 江苏省重点中学 2012 届高三下学期开学质量检测 高三数学附加题 满分 40 分 考试时间 30 分钟 21 本题满分 10 分 已知二阶矩阵 M 有特征值及对应的一个特征向量 并且矩阵 M 对应的变换8 1 1 1 e 将点 1 2 变换成 2 4 1 求矩阵 M 及其矩阵 M 的另一个特征值 2 求直线在矩阵 M 的作用下的直线的方程 01 yxl l 22 本题满分 10 分 曲线的参数方程为 其中为参数 M 是曲线上的动点 且 M 是 1 C sin22 cos2 y x 1 C 线段 OP 的中点 P 点的轨迹为曲线 直线 l 的方程为 直线 l 与曲 2 C2 4 sin x 线交于 A B 两点 2 C 1 求曲线的普通方程 2 C 2 求线段 AB 的长 来源 数理化网 23 本题满分 10 分 抛掷 A B C 三枚质地不均匀的纪念币 它们正面向上的概率如下表所示 10 a 纪念币ABC 概率 2 1 aa 将这三枚纪念币同时抛掷一次 设表示出现正面向上的纪念币的个数 1 求的分布列及数学期望 2 在概率中 若的值最大 求 a 的最大值 3 2 1 0 iiP 1 P 24 本题满分 10 分 已知 n n xxf 1 1 若 求的展开式中的系数 3 2 876 xfxfxfxg xg 6 x 2 证明 1 121 2 1 1 32 m nm m nm m m m m m m C m nm nCCCC 江苏省重点中学 2012 届高三下学期开学质量检测 高三数学答案 2012 2 一 填空题 1 2 3 1 4 3 5 6 7 2 1 2 1 3 1 2 3 38 2 15 8 4 9 10 11 12 13 5 14 10284 1 2 a 32 n 二 解答题 15 1 A 60 7 分 2 7 分 3 1 16 1 证明 因为 BD 平面 EFGH 平面 BDC 平面 EFGH FG 所以 BD FG 同理 BD EH 又 EH FG 所以四边形 EFGH 为平行四边形 所以 HG EF 又 HG 平面 ABC EF 平面 ABC 所以 HG 平面 ABC 6 分 2 解 在平面 ABC 内过点 E 作 EP AC 且交 AC 于点 P 在平面 ACD 内过点 P 作 PQ AC 且交 AD 于点 Q 来源 连结 EQ 则 EQ 即为所求线段 10 分 证明如下 Error Error EQ AC 14 分 17 解 1 E 为 AC 中点 AE CE 3 2 3 4 F 不在 BC 上 2 分 3 2 3 2 若 F 在 AB 上 则 AE AF 3 AE 4 AF 3 AE AF 5 AF 4 4 分 7 2 在 ABC 中 cosA 5 分 2 3 在 AEF 中 EF2 AE2 AF2 2AE AFcosA 2 9 4 49 4 3 2 7 2 2 3 15 2 EF 6 分 即小路一端 E 为 AC 的中点时小路的长度为 百米 7 分 30 2 30 2 2 若小道的端点 E F 点都在两腰上 如图 设 CE x CF y 则 x y 5 1 8 分 S1 S2 S CAB S CEF S CEF S CAB S CEF 1 1 2CA CBsinC 1 2CE CFsinC 1 1 当 x y 时取等号 10 分 9 xy 9 x y 2 2 11 25 5 2 若小道的端点 E F 分别在一腰 不妨设腰 AC 上和底上 设 AE x AF y 则 x y 5 1 1 1 当 x y 时取等号 13 S1 S2 S ABC S AEF S AEF S ABC S AEF 12 xy 12 x y 2 2 23 25 5 2 分 答 最小值是 14 分 11 25 18 解 设直线 与椭圆的交点坐标为 l 1122 A x yB xy 1 把代入可得 2 分 xt 2 2 1 4 x y 2 1 4 2 yt 则 当且仅当时取等号 4 分 2 1 41 2 OAB SODADtt 2t 2 由得 6 分 2 2 6 5 1 4 yx x y 2 125240440 xx 12 44 125 x x 12 48 25 xx 所以 12 12 1212 66 55 2222 AMBM xx y y kk xxxx 1212 1212 636 525 24 x xxx x xxx 9 分 446 4836 1255 2525 4448 24 1255 64 1 64 90AMB 3 理 当直线 与轴不垂直时 可设直线方程为 lx yk xt 由消去整理得 2 2 1 4 yk xt x y y 2222 2 41 8440kxk txk t 则 又 2 12 2 2 2 12 2 0 8 41 44 41 k t xx k k t x x k 11 22 yk xt yk xt 若存在定点符合题意 且 0 E m则为非零常数 sskk BEAE 11 分 22 121212 2 121212 AEBE y ykx xt xxt kks xm xmx xm xxm 把 式代入上式整理得 其中都是常数 2222 4 4 4 0ks tmts m mts 要使得上式对变量恒成立 当且仅当 0 k k 解得 13 分 22 2 4 4 0 4 0 0 s tmt s ms 2 m 当时 定点就是椭圆的右顶点 此时 2 mE 2 0 2 4 2 t s t 当时 定点就是椭圆的左顶点 此时 15 分 2m E 2 0 2 4 2 t s t 当直线 与轴垂直时 由 解得两交点坐标为lx 2 2 1 4 xt x y 可验证 或 22 11 4 4 22 A ttB tt 2 4 2 AEBE t kk t 2 4 2 t t 所以 存在一点 或 使直线和的斜率的乘积为E 2 0 2 0 AEBE 非零常数 或 16 分 2 4 2 t t 2 4 2 t t 19 解 1 由函数 f x 定义域为 R b 0 又 f x 为奇函数 则 f x f x 对 x R 恒成立 得 a 0 2 分 因为 y f x 的定义域为 R 所以方程 yx2 x by 0 在 R 上有解 x x2 b 当 y 0 时 由 0 得 y 而 f x 的值域为 所以 解得 b 4 1 2 b 1 2 b 1 4 1 4 1 2 b 1 4 当 y 0 时 得 x 0 可知 b 4 符合题意 所以 b 4 5 分 2 因为当 x 0 3 时 g x f x x x2 4 所以当 x 3 6 时 g x g x 3 lnm 6 分 x 3 lnm x 3 2 4 当 x 6 9 时 g x g x 6 lnm 2 x 6 lnm 2 x 6 2 4 故 g x Error 9 分 因为当 x 0 3 时 g x 在 x 2 处取得最大值为 在 x 0 处取得最小值为 0 x x2 4 1 4 所以当 3n x 3n 3 n 0 n Z 时 g x 分别在 x 3n 2 和 x 3n 处取 x 3n lnm n x 3n 2 4 得最值为与 0 11 分 lnm n 4 当 lnm 1 时 g 6n 2 的值趋向无穷大 从而 g x 的值域不为闭区间 lnm 2n 4 当 lnm 1 时 由 g x 3 g x 得 g x 是以 3 为周期的函数 从而 g x 的值域为闭区间 0 1 4 当 lnm 1 时 由 g x 3 g x 得 g x 6 g x 得 g x 是以 6 为周期的函数 且当 x 3 6 时 g x 值域为 从而 g x 的值域为闭区间 x 3 x 3 2 4 1 4 0 1 4 1 4 当 0 lnm 1 时 由 g 3n 2 得 g x 的值域为闭区间 来源 lnm n 4 1 4 0 1 4 当 1 lnm 0 时 由 g 3n 2 从而 g x 的值域为闭区间 lnm 4 lnm n 4 1 4 lnm 4 1 4 15 分 综上知 当 m 1 e 即 0 lnm 1 或 1 lnm 0 时 g x 的值域为闭区间 1 e 1 16 分 20 1 证明 又 123 12 nnn nnn aaa aaa nn aa 3nnn aaa 36 所以是周期为 6 的周期数列 2 分 n a 00 65432133 aaaaaaaaaa nnnn 所以 4 分 2012 Sbaaaaaaaaa 21654321 335 解 2 当时 又得 6 分1 n 11 aS 2 11 1 4 aS1 1 a 当时 2 n 来源 2 1 2 1 1 1 444 nnnnn aaSSa 2 1 2 1 1 nn aa 即或 6 分2 1 nn aa 2 1 naa nn 由有 则为等差数列 即 0 n a2 1 nn aa 2 n n a12 nan 由于对任意的都有 所以不是周期数列 8 分n nmn aa n a 由有 数列为等比数列 即 0 1 nna a 2 1 naa nn n a 1 1 n n a 存在使得对任意都成立 2 m nn aa 2 Nn 即当时是周期为 2 的周期数列 10 分0 1 nna a n a 3 假设存在 满足题设 qp 于是又即 1 1 123 12 nnn nnn aaa aaa 2 3 nn aa2 36 nn aa nn aa 6 所以是周期为 6 的周期数列 的前 6 项分别为 12 分 来源 学 科 n a n a0 1 0 2 3 2 网 则 14 分 36 4 262