数列常见题型总结经典

1 高中数学高中数学 数列数列 常见 常考题型总结常见 常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1 1 前 前 n n 项和法 知项和法 知求求 n S n a 1 1 nn n SS S a 2 1 n n 例 1 已知数列的前 n 项和 求数列的前 n 项和 n a 2 12nnSn n a n T 变式 已知数列的前 n 项和 求数列的前 n 项和 n annSn12 2 n a n T 练习 1 若数列的前 n 项和 求该数列的通项公式 答案 n a n n S2 1 2 2 n n a 2 1 n n 2 若数列的前 n 项和 求该数列的通项公式 答案 n a3 2 3 nn aS n n a32 3 设数列的前 n 项和为 数列的前 n 项和为 满足 n a n S n S n T 2 2nST nn 求数列的通项公式 n a 4 为 的前 n 项和 3 1 求 n N n S n a n S n a n a 5 设数列满足 求数列的通项公式 作差法 n a 2 123 33 3 n n aaaanN n 1 3 n a 2 2 形如形如型 累加法 型 累加法 1 nfaa nn 1 1 若 若 f n f n 为常数为常数 即 即 此时数列为等差数列 则此时数列为等差数列 则 daa nn 1n adna 1 1 2 2 若 若 f n f n 为为 n n 的函数时 用累加法的函数时 用累加法 例 1 已知数列 an 满足 证明 2 3 1 1 1 1 naaa n n n 2 13 n n a 例 2 已知数列的首项为 1 且写出数列的通项公式 n a 1 2 nn aan nN n a 例 3 已知数列满足 求此数列的通项公式 n a3 1 a 2 1 1 1 n nn aa nn 3 3 形如形如型 累乘法 型 累乘法 1 nf a a n n 1 1 当 当 f n f n 为常数 即 为常数 即 其中 其中 q q 是不为是不为 0 0 的常数 的常数 此数列为等比且此数列为等比且 q a a n n 1 n a 1 1 n qa 2 2 当 当 f n f n 为为 n n 的函数时的函数时 用累乘法用累乘法 例 1 在数列中 求数列的通项公式 答案 n a 11 1 1 nn a n n aa 2 n 1 2 n an 练习 1 在数列中 求 答案 n a 11 1 1 1 nn a n n aa 2 n nn Sa 与 1 2 nn an 2 求数列的通项公式 2 12 32 1 11 na n n aa nn 4 4 形如形如型 取倒数法 型 取倒数法 sra pa a n n n 1 1 例 1 已知数列中 求通项公式 n a2 1 a 2 12 1 1 n a a a n n nn a 2 练习 1 若数列中 求通项公式 答案 n a1 1 a 13 1 n n n a a a n a 23 1 n an 2 若数列中 求通项公式 答案 n a1 1 a 11 2 nnnn aaaa n a 12 1 n an 5 5 形如 形如 其中其中 型 构造新的等比数列 型 构造新的等比数列 0 1 cdcaa nn aa 1 1 1 若 若 c 1c 1 时 数列时 数列 为等差数列为等差数列 2 2 若 若 d 0d 0 时 数列时 数列 为等比数列为等比数列 n a n a 3 3 若 若时 数列时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 01 且dc n a 方法如下 设 利用待定系数法求出利用待定系数法求出 A A 1 AacAa nn 例 1 已知数列中 求通项 n a 2 1 2 1 2 11 nn aaa n a 练习 1 若数列中 求通项公式 答案 n a2 1 a12 1 nn aa n a12 1 n n a 2 若数列中 求通项公式 答案 n a1 1 a1 3 2 1 nn aa n a 1 3 2 23 n n a 6 6 形如形如型 构造新的等比数列 型 构造新的等比数列 1 nfpaa nn 1 1 若若一次函数一次函数 k b k b 是常数 且是常数 且 则后面待定系数法也用一次函数 则后面待定系数法也用一次函数 bknnf 0 k 例题 在数列中 求通项 n a 2 3 1 a362 1 naa nnn a 解 原递推式可化为bnkabkna nn 1 2 1 比较系数可得 k 6 b 9 上式即为 1 2 nn bb 所以是一个等比数列 首项 公比为 n b 2 9 96 11 nab 2 1 即 故 1 2 1 2 9 n n b n n na 2 1 996 96 2 1 9 na n n 练习 练习 1 已知数列中 求通项公式 n a3 1 a243 1 naa nnn a 2 2 若若 其中其中 q q 是常数 且是常数 且 n n0 1 0 1 n qnf 若若 p 1p 1 时 即 时 即 累加即可 累加即可 n nn qaa 1 若若时 即 时 即 后面的待定系数法也用指数形式 后面的待定系数法也用指数形式 1 p n nn qapa 1 两边同除以 即 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 令 则可化为 然后转化为类型 5 来解 n n n q a b q b q p b nn 1 1 例 1 在数列中 且 求通项公式 n a 5 2 1 a 32 1 1 Nnaa n nn n a 1 已知数列中 求通项公式 答案 n a 2 1 1 a n nn aa 2 1 2 1 n a 1 2 1 n n n a 2 已知数列中 求通项公式 答案 n a1 1 a n nn aa233 1 n a nn n a2337 1 题型二题型二 根据数列的性质求解 整体思想 根据数列的性质求解 整体思想 1 已知 n S为等差数列的前n项和 100 6 a 则 11 S n a 2 设 n S n T分别是等差数列 的前n项和 3 27 n n T S n n 则 5 5 b a n a n a 3 3 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 若 5 9 3 5 9 5 S S a a 则 5 在正项等比数列 n a中 153537 225a aa aa a 则 35 aa 6 已知 n S为等比数列前n项和 54 n S 60 2 n S 则 n S3 n a 7 在等差数列 n a中 若4 1 84 SS 则 20191817 aaaa 的值为 8 在等比数列中 已知 910 0 aaa a 1920 aab 则 99100 aa 题型三 证明数列是等差或等比数列题型三 证明数列是等差或等比数列 A 证明数列等差证明数列等差 例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2Sn Sn 1 0 n 2 a1 求证 是等差数列 2 1 n S 1 B 证明数列等比 证明数列等比 例 1 已知数列 n a满足 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN 证明 数列 1nn aa 是等比数列 求数列 n a的通项公式 题型四 求数列的前题型四 求数列的前 n 项和项和 基本方法 A 公式法 公式法 B 分组求和法 分组求和法 1 求数列的前n项和 n S n 223 n 2 12 1 7531 nS n n 3 若数列 an 的通项公式是 an 1 n 3n 2 则 a1 a2 a10 A 15 B 12 C 12 D 15 4 求数列 1 2 3 4 2 1 4 1 8 1 1 2 1 n n 5 已知数列 an 是 3 2 1 6 22 1 9 23 1 12 24 1 写出数列 an 的通项公式并求其前 n 项和 Sn C 裂项相消法 裂项相消法 数列的常见拆项有 nn nn 1 1 1 11 11 n nkk nnk 例 1 求和 S 1 n 321 1 321 1 21 1 例 2 求和 nn 1 1 34 1 23 1 12 1 D 倒序相加法 倒序相加法 例 设 2 2 1 x x xf 求 2010 2009 2 2 1 3 1 2009 1 2010 1 fffffff E 错位相减法 错位相减法 1 若数列 n a的通项 n n na3 12 求此数列的前n项和 n S 2 将分为和两种情况考虑 21 123 0 n n Sxxnxx 1 x1 x 4 题型五 数列单调性最值问题题型五 数列单调性最值问题 例 1 数列中 492 nan 当数列的前n项和 n S取得最小值时 n n a n a 例 2 已知 n S为等差数列的前n项和 16 25 41 aa当n为何值时 n S取得最大值 n a 例 3 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 aa 1 3n nn aS n N 设3n nn bS 求数列 n b的通项公式 若 1nn aa n N 求a的取值范围 题型六 总结规律题题型六 总结规律题 1 已知数列 n a满足 2 5 25 1 1 Nnn a a a n n n 且 n a前 2014 项的和为 403 则数列 1 nn aa的前 2014 项的和为 2 数列 an 满足 an 1 1 n an 2n 1 则 an 的前 60 项和为 常见练习 1 方程 2 640 xx 的两根的等比中项是 A 3 B 2 C 6 D 2 2 已知等比数列 n a的前三项依次为1a 1a 4a 则 n a A 3 4 2 n B 2 4 3 n C 1 3 4 2 n D 1 2 4 3 n 3 一个有限项的等差数列 前 4 项之和为 40 最后 4 项之和是 80 所有项之和是 210 则此数列的项数为 A 12 B 14 C 16 D 18 4 an 是等差数列 1011 0 0SS 则使 0 n a 的最小的 n 值是 A 5 B 6 C 7 D 8 5 若数列 2233 1 2cos 2 cos 2 cos 前 100 项之和为 0 则 的值为 A 3 kkZ B 2 3 kkZ C 2 2 3 kkZ D 以上的答案均不对 6 设 2a 3 2b 6 2c 12 则数列 a b c 成 A 等差 B 等比 C 非等差也非等比 D 既等差也等比 7 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 8 设数列 n a的前 n 项和 则的值为 3 Snn 4 a A 15 B 37 C 27 D 64 9 设等比数列的公比 前 n 项和为 则 n a2q n S 4 2 S a 5 A B C D 24 2 15 2 17 10 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公比q A 3 B 4 C 5 D 6 11 已知 n a是等比数列 2 2a 5 1 4 a 则 12231nn a aa aa a A 32 12 3 n B 16 1 4 n C 16 1 2 n D 32 14 3 n 12 若数列 n a的通项公式是 则 1 32 n n an 1220 aaa A 30 B 29 C 30 D 29 13 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 14 巳知函数 cos 0 2 f xx x 有两个不同的零点 12 x x 且方程 f xm 有两个不同的实根 34 x x 若 把这四个数按从小到大排列构成等差数列 则实数m的值为 A B C D 15 已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn t 5n 2 则实数 t 的值为 1 5 A 4 B 5 C D 4 5 1 5 16 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a4 a7 a10 9 S14 S3 77 则使 Sn取得最小值时 n 的值为 A 4B 5C 6D 7 17 若 an 是等差数列 首项 a1 0 公差 d 0 且 a2 013 a2 012 a2 013 0 成立的 最大自然数 n 是 A 4 027 B 4 026 C 4 025 D 4 024 18 已知数列满足 a1 1 an 1 n N 若 bn 1 n b1 且数列 bn 是单调递增 an an 2 1 an 1 数列 则实数 的取值范围为 A 2 B 3 C 2 D 3 19 由正数构成的等比数列 an 若 132423 249aaa aa a 则 23 aa 6 20 已知数列 n a的前n项和为 2 n Sn 某三角形三边之比为 234 aaa 则该三角形最大角为 21 给定 1 log 2 nn an n N 定义乘积 12k aaa 为整数的 k k N 叫做 理想数 则区间 1 2008 内的所有理想数的和为 22 设 1 a d为实数 首项为 1 a 公差为d的等差数列 n a的前项和为 n S 满足 34 150S S 则d的取值 范围为 23 设正整数数列满足 且对于任何 有 则 n a 2 4a n N 1 1 11 11 22 11 1 nn nn aa aa nn 10 a 24 已知 n a为等比数列 56 8a a 则 110 aa 47 2aa 25 设等差数列的公差不为 0 若是与的等比中项 则 n ad 1 9ad k a 1 a 2k ak 26 已知函数 f x是一次函数 且 8 15 f 2 5 14 fff成等比数列 设 n af n nN 1 求 1 n i i a 2 设2n n b 求数列 nn a b的前 n 项和 n S 27 已知数列 n a中 1 2a 2 3a 其前n项和 n S满足 11 21 nnn SSS 2n n N 1 求 数列 n a的通项公式 2 设 1 4 1 2 n ann n b 为非零整数 n N 试确定 的值 使得对任意 n N 都有 nn bb 1 成立 28 已知数列 中 n a 1221 52 1 4 33 nnn aaaaa 满足 I 设 求证数列 是等比数列 求数列 的通项公式 1nnn baa n b n a 29 已知等差数列 n a满足 14 9 625 aaa 求 n a的通项公式 若 n a nn qab 0 q 求数列 n b的前 n 项和 n S 30 已知数列的前项和为 且 n an n S 1 1 4 a 1 16 nn t aSt nN 为常数 若数列为等比数列 求 的值 若 数列前项和为 n at 1 4 lg n tba n n bn n T 时取最小值 求实数 的取值范围 当且仅当n 6 n Tt 31 是一个公差大于 0 的等差数列 成等比数列 求数列的通项公式 若 521 aaa14 62 aa 数列和数列满足等式 求数列的前 n 项和 7 32 已知数列 n a满足 11 1 1 1 4 n n aa a 其中n N 设 2 21 n n b a 求证 数列 n b是等差数列 并求 出 n a的通项公式 n a 设 4 1 n n a c n 数列 2nn c c 的前n项和为 n T 是否存在正整数m 使得 1 1 n mm T c c 对于n N 恒成立 若存在 求出m的最小值 若不存在 请说明理由 33 已知各项均为正数的数列前 n 项和为 首项为 且成等差数列 1 求数列的通 n a n S 1 a nn Sa 2 1 n a 项公式 2 若 设 求数列的前 n 项和 n b n a 2 1 2 n n n a b c n c n T 34 一个等比数列中 求这个数列的通项公式 n a 1423 2812aaaa 35 有四个数 前三个成等差数列 后三个成等比数列 首末两数和为 16 中间两数和为 12 求这四个数 36 已知等差数列 n a满足 57 26aa 数列 n a的前n项和为 n S 2 5a 求 n a及 n S 设 nn ba 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 n b的前n项和 n T 37 设 n a是公比为正数的等比数列 1 2a 32 4aa 求 n a的通项公式 求数列 的前n项和 21 n na Sn 38 已知数列 n a的前n项和为 点在直线上 n S n S n n 111 22 yx 求数列 n a的通项公式 设 求数列 n b的前n项和为 并求使不 1 3 211 211 n nn b aa n T 等式对一切都成立的最大正整数k的值 20 n k T n N 公司档案管理制度 一 总则 1 为加强本公司档案工作 充分发挥档案作用 全面提高档案管理水平 有效地保护及利用档案 为公司发展服务 特 制定本制度 2 公司档案 是指公司从事经营 管理以及其他各项活动直接形成的对公司有保存价值的各种文字 图表 声像等不同形式的历史记录 公司档案分为受控档案和非受控档案 3 公文承办部门或承办人员应保证经办文件的系统完整 公文上的各种附件一律不准抽存 结案后及时归档 工作变动或因故离职时应将经办的文件材料向接办人员交接清楚 不得擅自带走或销毁 二 文件材料的收集管理 1 公司指定专人负责文件材料的管理 8 2 文件材料的收集由各部门或经办人员负责整理 交总经理审阅后归档 3 一项工作由几个部门参与办理的 在工作中形成的文件材料 由主办部门或人员收集 交行政部备案 会议文件由行政部收三 归档范围 1 重要的会议材料 包括会议的通知 报告 决议 总结 典型发言 会议记录等 2 本公司对外的正式发文与有关单位来往的文书 3 本公司的