平面向量中的最值范围(偏难带答案)

第 1 页 共 4 页 平面向量中的最值范围 偏难 带答案 1 设设 A B C 是半径为是半径为 1 的圆的圆 O 上的三点 且上的三点 且 则 则 的最大值是的最大值是 OA OB OC OA OC OB A 1 B 1 22 C 1 D 1 2 解答 解答 如图 作出如图 作出 使得 使得 OD OA OB OD OC OA OC OB 2 1 1 由图可知 当点 由图可知 当点 C 在在 OD 的的 OC OA OC OB OC OA OB OA OB OC OD OC 反向延长线与圆反向延长线与圆 O 的交点处时 的交点处时 取得最小值 最小值为 取得最小值 最小值为 此时 此时 取得最大取得最大 OD OC 2 OC OA OC OB 值 最大值为值 最大值为 1 故选 故选 A 2 2 2 如图 在平面四边形如图 在平面四边形 ABCD 中 中 AB BC AD CD BAD 120 AB AD 1 若点若点 E 为边为边 CD 上的动上的动 点 则点 则 的最小值为的最小值为 AE BE A B 21 16 3 2 C D 3 25 16 解答 解答 如图 以如图 以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系 连接为坐标原点建立平面直角坐标系 连接 AC 由题意知由题意知 CAD CAB 60 ACD ACB 30 则则 D 0 0 A 1 0 B C 0 设 设 E 0 y 0 y 3 2 3 2 33 则则 1 y y2 y 2 AE BE 3 2 y 3 2 AE BE 3 2 3 2 y 3 4 21 16 当当 y 时 时 有最小值有最小值 选选 A 3 4 AE BE 21 16 3 已知已知 a a b b e 是平面向量 是平面向量 e 是单位向量 若非零向量是单位向量 若非零向量 a a 与与 e 的夹角为的夹角为 向量 向量 b b 满足满足 b b2 4e b b 3 0 则 则 3 a a b b 的最小值是的最小值是 A 1 B 1 33 C 2 D 2 3 3 解答解答 b b2 4e b b 3 0 b b 2e 2 1 b b 2e 1 如图所示 把如图所示 把 a a b b e 的起点作为公共点的起点作为公共点 O 以 以 O 为原点 向量为原点 向量 e 所在直线为所在直线为 x 轴 则轴 则 b b 的终点在以点的终点在以点 2 0 为圆心 半径为为圆心 半径为 1 的圆上 的圆上 a a b b 就是线段就是线段 AB 的长度 的长度 第 2 页 共 4 页 要求要求 AB 的最小值 就是求圆上动点到定直线的距离的最小值 也就是圆心的最小值 就是求圆上动点到定直线的距离的最小值 也就是圆心 M 到直线到直线 OA 的距离减去圆的半的距离减去圆的半 径长 因此径长 因此 a a b b 的最小值为的最小值为 1 3 4 如图 菱形如图 菱形 ABCD 的边长为的边长为 2 BAD 60 M 为为 DC 的中点 若的中点 若 N 为菱形内任意一点为菱形内任意一点 含边界含边界 则 则 的最大值为的最大值为 AM AN A 3 B 2 C 6 D 9 3 解析 解析 选选 D 由平面向量数量积的几何意义知 由平面向量数量积的几何意义知 等于等于与与在在方向上的投影之积 所以方向上的投影之积 所以 AM AN AM AN AM ma ax 2 2 9 AM AN AM AC AB AD 1 2 AB AD 3 2 AB AD 5 已知已知 ABC 是边长为是边长为 2 的等边三角形 的等边三角形 P 为平面为平面 ABC 内一点 则内一点 则 的最小值是的最小值是 PA PB PC A 2 B C D 1 3 2 4 3 5 解答 解答 选选 B 如图 以等边三角形如图 以等边三角形 ABC 的底边的底边 BC 所在直线为所在直线为 x 轴 以轴 以 BC 的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立平面直轴建立平面直 角坐标系 则角坐标系 则 A 0 B 1 0 C 1 0 设 设 P x y 则 则 x y 1 x y 3 PA 3 PB 1 x y 所以 所以 x y 2x 2y 2x2 2 2 当 当 x 0 y 时 时 PC PA PB PC 3 y 3 2 3 2 3 2 取得最小值 为 取得最小值 为 PA PB PC 3 2 6 若点若点 O 和点和点 F 分别为椭圆分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 求为椭圆上的任意一点 求 的最大的最大 x2 4 y2 3 O OP P FP 值 值 由题意 得由题意 得 F 1 0 设 设 P x0 y0 则有则有 1 解得 解得 y 3 因为 因为 x0 1 y0 x0 y0 x2 0 4 y2 0 32 0 1 x2 0 4 FP OP 所以所以 x0 x0 1 y x x0 3 x0 3 x0 2 2 2 OP FP 2 02 0 1 x2 0 4 x2 0 4 1 4 因为 因为 2 x0 2 故当 故当 x0 2 时 时 取得最大值取得最大值 6 OP FP 7 在矩形在矩形 ABCD 中 中 AB 1 AD 2 动点 动点 P 在以点在以点 C 为圆心且与为圆心且与 BD 相切的圆上 若相切的圆上 若 则 则 的最大值为的最大值为 AP AB AD A 3 B 2 C D 2 25 第 3 页 共 4 页 选选 A 以以 A 为坐标原点 为坐标原点 AB AD 所在直线分别为所在直线分别为 x 轴 轴 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 轴建立如图所示的平面直角坐标系 则则 A 0 0 B 1 0 C 1 2 D 0 2 可得直线 可得直线 BD 的方程为的方程为 2x y 2 0 点 点 C 到直线到直线 BD 的距离为的距离为 2 22 12 所以圆 所以圆 C x 1 2 y 2 2 因为因为 P 在圆在圆 C 上 所以上 所以 P 2 5 4 5 1 2 5 5 cos 2 2 5 5 sin 又又 1 0 0 2 2 AB AD AP AB AD 所以所以Error Error 2 cos sin 2 sin 3 其中其中 ta an 2 当且仅当 当且仅当 2k k Z 时 时 取取 2 5 5 5 5 2 得最大值得最大值 3 8 如图 如图 ABC 是边长为是边长为 2的正三角形 的正三角形 P 是以是以 C 为圆心 半径为为圆心 半径为 1 的圆上任意一点 则的圆上任意一点 则 的取的取 3 AP BP 值范围是值范围是 A 1 13 B 1 13 C 4 10 D 4 10 选选 A 取取 AB 的中点的中点 D 连接 连接 CD CP 则 则 2 所以 所以 CA CB CD AP BP CP CA CP CB 2 1 2 2cos 2 3 1 cos 1 7 6cos 所以当 所以当 cos CA CB CD CP 3 3 CD CP CD CP 1 时 时 取得最小值为取得最小值为 1 当 当 cos 1 时 时 取得最大值为取得最大值为 13 因此 因此 CD CP AP BP CD CP AP BP 的取值范围是的取值范围是 1 13 AP BP 9 已知已知 Rt ABC 中 中 AB 3 BC 4 AC 5 I 是是 ABC 的内心 的内心 P 是是 IBC 内部内部 不含边界不含边界 的动点 若的动点 若 R 则 则 的取值范围是的取值范围是 AP AB AC A B C D 2 3 2 3 1 2 3 2 7 12 1 解 解 选选 A 以以 B 为原点 为原点 BA BC 所在直线分别为所在直线分别为 x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 则轴建立如图所示的平面直角坐标系 则 B 0 0 A 3 0 C 0 4 设 设 ABC 的内切圆的半径为的内切圆的半径为 r 因为 因为 I 是是 ABC 的内心 所以的内心 所以 5 3 4 r 4 3 解得 解得 r 1 所以所以 I 1 1 设 设 P x y 因为点 因为点 P 在在 IBC 内部内部 不含边界不含边界 所以 所以 0 x 1 因为因为 3 0 3 4 AB AC x 3 y 且 且 所以 所以Error Error 得得Error Error 所以所以 1 x 又 又 0 x 1 所以 所以 AP AP AB AC 1 3 第 4 页 共 4 页 故选 故选 A 2 3 1 10 在在 ABC 中 中 3 则角 则角 A 的最大值为的最大值为 AB AC C