任意波形激励下的动态响应与卷积积分

任意波形激励下的动态响应与卷积积分任意波形激励下的动态响应与卷积积分 湖北民族学院信息工程学院 湖北 恩施 摘要摘要 在一二阶电路分析中 卷积积分具有十分重要的意义 特别 是在一些内部网络未知的电路结构中 由于给出描述电路系统的微 分方程十分的困难 目前只能通过实验获得相应的数据和单位冲激 响应的曲线 据此响应 利用卷积积分的方法即可求解出电路中对 任意波形激励信号的响应 在我们的学习过程中 最常见的就是由 电阻 电容 电感组成的 RC RL 一阶电路网络和 RLC 二阶电路 网络 而这些网络结构在零状态下产生的响应的求解已非常清晰 但是对于复杂的冲激波形的响应 用现有的方法求解显得十分棘手 而本文将通过探究卷积积分的性质及计算方法 分别浅析一阶 二 阶电路在此类输入状态下的响应 关键词关键词 卷积积分卷积积分 一阶电路一阶电路 二阶电路二阶电路 一 一 引言 引言 由于至今我们分析的电路主要是线性电路 且线性电路满足齐 次性 可加性和延时性 任意波形的时间函数可以被看成是一 tf 系列强度不同的 时间上依次延迟的冲击函数叠加 在前面的学dt 习中我们基本了解了用微分方程描述动态电路的基本方法 并对不 同动态元件的初始条件进行了讨论 在分析一阶二阶电路的过程中 分别讨论了 RC 电路和 LC 电路的各种状态的响应 但是以前所分 析的各种情形都是相对独立的 而卷积积分作为时域电路分析的一 种基本工具在分析电路响应状态的过程中有着极其广泛的应用 卷 积积分对于信号处理 控制理论和动态电路分析均具有重要意义 因此 本文将综合一 二阶电路的各种响应状态将卷积积分的方法 做一个初步的探究 二 卷积积分 二 卷积积分 2 12 1 先看卷积积分 Convolution 的定义 设有两个时间函数 f1 t 和 f2 t 在 t 0 时均为零 则 f1 t 和 f2 t 的卷积通常用 f1 t f2 t 表示 并定义 称为与的卷积 当 dftftftf t 2 0 121 1 tf 2 tf 作用于电路时 其对应的冲激激 t 励的响应设为 当作用于电 th tAi 路时 那么其对应的冲激响应应为 如果延迟 秒作用 那么 thAi t i t 其对应的延迟冲激响应为 则 i tth 作 用于电路时 其对应的延 ii ttA 迟冲激响应为 ii tthA 激励函数为一连续时间函数 如图 1 通过该图我们可以 tf 将看成是一系列脉冲函数的叠加取相同的矩形宽度 用 a 表示 tf 则可得 而 设为之间任意时刻 那么可得 n tt a 0 tt 0 1 0 111100ka n k knanaaa ttPtfttPtfttPtfttPtftf 令 则可得 由此可得 n0 a kka ttttP 图 1 因此 由分离的变量变成了连续的变量 所 lim 0 kkA a ttttP k t 以可得 dtfttPtftftf t t kak a a oa lim lim 0 0 由此可见 连续函数又可以用一系列冲击强度不同 依次连续 出现的冲激函叠加而成 当激励为则 22110 ttAttAtA 对应的零状态响应应为 由卷积积分 0 thtfdthftr t t i 的定义可知 上式即为和的卷积 tf th 求f t 与h t 的卷积 实质上是求一个新函数f h t 在 由 0 到t的区间内的定积分 根据定积分的几何意义 函数在 0 到t区间内的定积分值 决定于被积函数f h t 的曲线在 该区间内与 轴之间所限定的面积 2 22 2 卷积积分的性质 2 2 12 2 1 代数性质 交换律 1221 tftftftf 分配律 3121321 tftftftftftftf 结合律 此外 卷积积分还满足不等式 2121 tftftftf 2 2 22 2 2 卷积积分的微分和积分 微分 积分 三 一阶动态电路的任意波形激励下的响应分析三 一阶动态电路的任意波形激励下的响应分析 2121 ththtxththtx thtxthtx thtx ttt dhtxthdxdhx 如下图 图 2 所示的一阶 RC 串联电路 电压源的电压为 要求解 5 5 0 tuetu t s 电路的零状态响应 那么先要 tVs 求出电路中的单位冲激响应 th 令为电压源的激励 则在 t 电容 C 两端可得到电路系统的单位 冲激响应 如图 3 所示 th 当时 0 此时单位0 t t 冲激电压源相当于短路的电器元件 当 t 从到发生跳变0 0 s V 0 0 的瞬间 电容 C 相当于短路 电容 两端电压为 0 且电流 正是这个电流使得电容两端的电 1 t R ti 压发生了跳变 那么在 t 0 时 电容电压为 此后 当消失后 电压源电压可视为 RC dtt RC VC 1 11 0 0 0 t 短路状态 此时电容放电 则此时电容元件的电压为一阶单位冲激 函数 1 1 tue C th RC 例例 如下图 图 4 所示为 RC 并联电路 其中 电流源输入电流为 设电容在初始状FCR 1 5000 Atei t s 态的电压为零 试求 tuc 解 由图及题可知 电路的冲激响应为 th 则可得 V 106 1 200 1 tee C th t t RC 由卷积积分的定义式可得 dhtitu t sC 0 dee t t 2006 0 3 1010 de t t 0 199 d ee t t 0 199 V 199 1 200 tee tt 在此过程中应注意的是 只有一阶电路才有 eqeqC R 而 RL 电路的分析与上述方法相似 仅有与 RC 电路不同 R L 四 二阶动态电路任意波形激励下的响应分析四 二阶动态电路任意波形激励下的响应分析 二阶电路网络在初始状态为零的条件下 当外加激励为冲激函 数时的响应称为二阶电路的冲激响应 求解此类电路的重点应放在 初始条件的确立 下面以 RLC 串联电路为例 简单分析二阶动态电 路冲 激响应的初始条件 而 此时不不能使0 0 0 0 iuc 用换路定则求解电路的初始条件 因 此 由 KVL 方程可得 sc c uu dt du RC dt ud LC 2 2 即电路方程为 当时 2 2 tu dt du RC dt ud LC c c 0t0 0 c ut 此时电路处于稳定状态 当时 使得和 00t t 0 c u 中至少有一个不为零 所以 动态元件瞬时储能 此时换路定 0 c i 则不成立 当时 此时电路为零输入的放电过程 其求解初始条件 0t 0 t 的方法与一般电路的初始状态的确定类似 如下图 图 5 所示 在 RLC 串联的二阶电路网络中 可通过 卷积积分的方法求得电容 C 上的零状态下的电压的响应 具体过程 如下所示 其中图 6 为二阶 RLC 串联电路 图 7 为激励 通过与一 td 阶电路类似的方法可以获得单位冲激响应电流为 那么 tuteth t 电压的零状态响应应为 dh dt tfd dh dt tdf thtf t 2 2 五 结论五 结论 近年来 随着科技水平的不断进步 电子行业对信号处理及图 像处理技术要求日趋增高 但这些技术的提高还是要依赖于基本电 路技术的发展 卷积积分的应用十分广泛 从一维到多维 从时域 到频域 卷积的应用占有相当重要的位置 本文仅从简单的一阶 二阶电路网络的零状态下对冲激激励源的响应等方面 阐明了卷积 在电路网络中的实时性 为以后进一步学习动态电路网络提供了有 效的方法 在线性电路网络中 从卷积积分的定义出发 通过探究卷积积 分的几大性质 得出了卷积积分在简单一阶 二阶电路网络中的算 法 利用卷积积分的一系列性质 使其计算为一系列阶跃响应的叠 加响应 使得算法具有较强的时效性 卷积积分是一种历史悠久的数学工具 自十九世纪初期 就有 欧拉 泊松等著名的数学家着手研究 后来由杜阿梅尔 Duhamel Integral 提出以他的名字命名的积分 在现代的许多科学研究中都 发挥着十分重要的作用 并且还不断有新的算法被提出来解决各种 计算分析问题 用卷积积分来分析电路网络在任意波形激励下的响 应 体现了较强的时效性 并且具有较强的准确度 参考文献参考文献 1 刘子瑞 梅家斌主编 复变函数与积分变换 北京 科 学出版社 2006 年 2 华中