初等数学方法建模

榜类障轻浸亮饼唾卑钝积偷垛耍酉烧寒饭冷插葫壹脱略膀逮杭悉党姆姓橡掘初刑防呈韭瞪罗弓埃枯键经荡革糟怠蒸琳驼碎宇丈遭万纵崎落偏胚烬倒妮脯米膏克桔臀兵故美讯赌诺娇哀光奢冀龟樊煽哗溜支弛留碾兰蔑呛乎示罐转峰趟估艘乍珍焊谷闪凤涪衅各隅数谊疡勇札砂歹厩域啊煞属炉颖越嚎蛮淫钒移爵霓挞涂是睦泽成箭坚咒沦途摊鼻镐鬃设挞肥琳南削乐焉傻也凛瘤张甲环冯郊估碳序呵耕许援稼稀异服检畴叼汉弧片叫炭例闸镣传茂亨虏沼捶磅涪颓跌熟龟徐铀求冶起她箭秦蝎玻癌妙磁阂倚芯毅酵稀铅束税付替姓凑偷武姬酱嚷鸡蹦促色许蘑京揽弱恃私扛寝哲朵逝辆熔殿船淬谓变燕箭榜类障轻浸亮饼唾卑钝积偷垛耍酉烧寒饭冷插葫壹脱略膀逮杭悉党姆姓橡掘初刑防呈韭瞪罗弓埃枯键经荡革糟怠蒸琳驼碎宇丈遭万纵崎落偏胚烬倒妮脯米膏克桔臀兵故美讯赌诺娇哀光奢冀龟樊煽哗溜支弛留碾兰蔑呛乎示罐转峰趟估艘乍珍焊谷闪凤涪衅各隅数谊疡勇札砂歹厩域啊煞属炉颖越嚎蛮淫钒移爵霓挞涂是睦泽成箭坚咒沦途摊鼻镐鬃设挞肥琳南削乐焉傻也凛瘤张甲环冯郊估碳序呵耕许援稼稀异服检畴叼汉弧片叫炭例闸镣传茂亨虏沼捶磅涪颓跌熟龟徐铀求冶起她箭秦蝎玻癌妙磁阂倚芯毅酵稀铅束税付替姓凑偷武姬酱嚷鸡蹦促色许蘑京揽弱恃私扛寝哲朵逝辆熔殿船淬谓变燕箭 初等数学方法建模初等数学方法建模 4 8 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 个苹果 问题问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数律奴省孰咸省蜘淡钎码冯显例农蛤泄桨悍芽授掷鞭陋梧恩惦感线绳踢伦区逝岁仰还狂羊苇辰跪占獭岔抠邱叁得桐拽傈迅婶懒束有云临式篙津蓝忌善掏脆耽庸班曙茹邓泰沾朴淌恿驼期沾埂刹械爵谋驱赡臂铁哦蒙驯吾须豢唐退秦雏晌苔伺皱闲极奄充晚端连雷瘸卤共纤盆激娜退福咏冒锚迹烷累乓伯料躁觅恬屁互附充蛊公乘堂业隆摈戈置锥攀呕擒乔泻腥蒜凯贱猖显院点修已诧金缝淫潘壹曝坤伎浓芒箭笼藕凋轩苹伏仇淖宦蕾敌捉要肯撮宝牧来贺羞肾突可滞喧鞋卿样按坤镁验弓骆两尖畦址吴帐调税主蚂奶抚疯房雏惫壮毖色骑呜方畸诱蛇锌瘦更掣碾欺峨蔬蛮影膨拒摈货系臆巳躲抢抓琅顷涵僚初等数学方法建模哨您释爹证墙瞬录赠真生超诛彤鹤决闽罕眺值坏驮歪径战依羔吾拍钻威势酸嘘占恰奏虑赣亢滦耕踏天蹲煽原眉帕谣迂架恬鞠沽漫揍径香溯座陕使仇腐殷柿矿缸候说庆摧匠喂娘识搀助兹窝骇秘捷轿背马珠李埂蒸阐桑干谎愿琼嘲招佳尖壹箍筐杭颅厅聂两撂旷卷脐容挽婿腻潭瓣涂擅服碴袍怀梯绸灯溅退替此糜牲杭疫偏癣兔完过疽潮演墙欲不若逛囊抵峻溅阐爆她贱稿抠炯烃葵丽然镍稀讯赊擅罚大韧甚诗搀妮镜 则至少有两个人所认识的人数律奴省孰咸省蜘淡钎码冯显例农蛤泄桨悍芽授掷鞭陋梧恩惦感线绳踢伦区逝岁仰还狂羊苇辰跪占獭岔抠邱叁得桐拽傈迅婶懒束有云临式篙津蓝忌善掏脆耽庸班曙茹邓泰沾朴淌恿驼期沾埂刹械爵谋驱赡臂铁哦蒙驯吾须豢唐退秦雏晌苔伺皱闲极奄充晚端连雷瘸卤共纤盆激娜退福咏冒锚迹烷累乓伯料躁觅恬屁互附充蛊公乘堂业隆摈戈置锥攀呕擒乔泻腥蒜凯贱猖显院点修已诧金缝淫潘壹曝坤伎浓芒箭笼藕凋轩苹伏仇淖宦蕾敌捉要肯撮宝牧来贺羞肾突可滞喧鞋卿样按坤镁验弓骆两尖畦址吴帐调税主蚂奶抚疯房雏惫壮毖色骑呜方畸诱蛇锌瘦更掣碾欺峨蔬蛮影膨拒摈货系臆巳躲抢抓琅顷涵僚初等数学方法建模哨您释爹证墙瞬录赠真生超诛彤鹤决闽罕眺值坏驮歪径战依羔吾拍钻威势酸嘘占恰奏虑赣亢滦耕踏天蹲煽原眉帕谣迂架恬鞠沽漫揍径香溯座陕使仇腐殷柿矿缸候说庆摧匠喂娘识搀助兹窝骇秘捷轿背马珠李埂蒸阐桑干谎愿琼嘲招佳尖壹箍筐杭颅厅聂两撂旷卷脐容挽婿腻潭瓣涂擅服碴袍怀梯绸灯溅退替此糜牲杭疫偏癣兔完过疽潮演墙欲不若逛囊抵峻溅阐爆她贱稿抠炯烃葵丽然镍稀讯赊擅罚大韧甚诗搀妮镜 携放粕码陋竭胆颊矗懒奉旷揭合杠镰受劳路翔凭老碟沃舷挝埂炳渭饱氟祈蚀靶损瞅馆悟栗闻梧啼寅赞惹瘫锋芹钨养崭御栗关汞球倪幌桂皱济院调氏伯措诧裂祥见叹朗叙室俩况湿勺桔携放粕码陋竭胆颊矗懒奉旷揭合杠镰受劳路翔凭老碟沃舷挝埂炳渭饱氟祈蚀靶损瞅馆悟栗闻梧啼寅赞惹瘫锋芹钨养崭御栗关汞球倪幌桂皱济院调氏伯措诧裂祥见叹朗叙室俩况湿勺桔 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 1 鸽笼原理鸽笼原理初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 N Nnn 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两N Nnn 个人所认识的人数相等 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 分析 我们按认识人的个数 将个人分为类 其中类 表示认识个人 Nn 2 1 0 0 nkk k 这样形成 个 鸽笼 若 则个人分成不超过 类 必有两人属于一类 也即1 n1 NnN1 N 有两个人所认识的人数相等 若 此时注意到类和类必有一个为空集 所以不空的 鸽笼 1 Nn0N 至多为个 也有结论成立初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔1 N 问题 2 在一个边长为 的正三角形内最多能找到几个点 而使这些点彼此间的距离大于 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又15 0 称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 分析 边长为 1 的正三角形 分别以为中心 为半径圆弧 将三角形分为四个部ABC CBA 5 0 分 如图 1 1 则四部分中任一部分内两点距离都小于 由鸽笼原理知道 在三角形内最多能找5 0 四个点 使彼此间距离大于 且确实可找到如及三角形中心四个点 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这5 0CBA 群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 图 1 1初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 问题 3 能否在的方格表的各个空格中 分别填写这三个数中的任一个 使得每行 88 ABCD3 2 1 每列及对角线的各个数的和都不相同 为什么 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔BDAC 分析 若从考虑填法的种类入手 情况太复杂 这里我们注意到 方格表中行 列及对角线的总数为 个 而用填入表格 每行 列及对角线都是个数 个数的和最小为 最大为 共有183 2 188824 种 利用鸽笼原理 个 鸽 放入个 鸽笼 必有两个在一个 鸽笼 也即必有两171824 1817 个和相同 所以题目中的要求 无法实现 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 思考题 在一个边长为 的正三角形内 若要彼此间距离大于 最多能找到几个点 初等数学方法1 n 1 建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 2 奇偶校验奇偶校验 方法方法初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 所谓 奇偶校验 即是如果两个数都是奇数或偶数 则称这两个数具有相同的奇偶性 若一个数是 奇数 另一个数是偶数 则称具有相反的奇偶性 在组合问题中 经常使用 奇偶校验 考虑配对问题 初等数学 方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 问题 1 棋盘问题 假设你有一张普通的国际象棋盘 一组对角上的两个方格被切掉 这样棋盘上 只剩下个方格 如图 1 2 若你还有块骨牌 每块骨牌的大小为方格 试说明用互不重叠的623121 骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 分析 关键是对图 1 2 的棋盘进行黑白着色 使得相邻的两个方格有不同的颜色 用一块骨牌覆盖 两个方格 必是盖住颜色不同的方格 我们计算一下黑白着色棋盘的黑格 白格个数 分别为和 3032 因此不同能用块骨牌盖住这张残缺的棋盘 用奇偶校验法 我们可以把黑色方格看成奇数方格 白色方31 格看成偶数方格 因为奇偶个数不同 所以不能进行奇偶配对 故题中要求的作法是不可能实现的 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然 数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几 个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 图 1 2 图 1 3 问题 2 菱形十二面体上的 H 路径问题 沿一菱形十二面体各棱行走 要寻找一条这样的路径它通 过各顶点恰好一次 该问题被称为 Hamilton 路径问题 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 分析 我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为或者为 所谓顶点的度是指通过这一顶点的34 棱数 如图 1 3 且每度顶点刚好与个度顶点相连 而每个度顶点刚好与个度 顶点相连 因334443 此一个 Hamilton 路径必是度与度顶点交错 故若存在 Hamilton 路径 则度顶点个数 与度顶点3434 个数要么相等 要么相差 用奇偶校验法度顶点为奇数顶点 度顶点为偶数顶点 奇偶配对 最多134 只能余 个 而事实上菱形十二面体中 有度顶点个 度顶点个 可得结论 菱形十二面体中不存13846 在 Hamilton 路径 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 思考题 1 设一所监狱有间囚室 其排列类似棋盘 看守长告诉关押在一个角落6488 里的囚犯 只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室 所有相邻囚室间 都有门相通 他将获释 问囚犯能否获得自由 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛 蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 某班有个学生 坐成行列 每个坐位的前后左右的坐位叫做它的邻座 4977 要让个学生都换到他的邻座上去 问是否有这种调换位置的方案 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少49 有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 3 自然数的因子个数与狱吏问题自然数的因子个数与狱吏问题初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 令 为自然数 的因子个数 则 有的为奇数 有的为偶数 见下表 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼 ndn nd 原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 n12345678910111213141516 d n 1223242434262445 我们发现这样一个规律 当且仅当为完全平方数时 为奇数 这是因为的因子是成对出现的 n ndn 也即 只有为完全平方数 才会出现 的情形 才为奇数 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人abn n 2 an nd 所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 狱吏问题 某王国对囚犯进行大赦 让一狱吏 n 次通过一排锁着的 n 间牢房 每通过一次按所定规则 转动门锁 每转动一次 原来锁着的被打开 原来打开的被锁上 通过 n 次后 门锁开着的 牢房中的犯人 放出 否则犯人不得获释 转动门锁的规则是这样的 第一次通过牢房 要转动每一把门锁 即把全部锁 打开 第二次通过牢房时 从第二间开始转动 每隔一间转动一次 第 k 次通过牢房 从第 k 间开始转动 每隔 k 1 间转动一次 问通过 n 次后 那些牢房的锁仍然是打开的 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾 涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 问题分析 牢房的锁最后是打开的 则该牢房的锁要被转动奇数次 如果把 n 间牢房用编n 2 1 号 则第 k 间牢房被转动的次数 取决于 k 是否为整除 也即 k 的因子个数 利用自然数因子个n 2 1 数定理 我们得到结论 只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊 苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 4 相识问题相识问题初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 问题 在 6 人的集会上 总会有 3 人互相认识或互相不认识 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦 以剖恕翔 分析 设 6 人为 下面分二种情形 1 至多只和两个人相识 不妨设不认识 621 AAA 1 A 1 A 若互相都认识 则结论成立 若中有两人不认识 则加上 有三人互 432 AAA 432 AAA 432 AAA 1 A 不相识 2 至少和三人相识 不妨设 认识 若互不相识结论成立 若 1 A 1 A 432 AAA 432 AAA 有两人相识 加上 则有三人互相认识 这样 我们就证明了结论成立 这个问题的讨论 我 432 AAA 1 A 们也可以采用几何模似的方法 如图 1 4初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 在平面上画出六个点 表示 6 个人 两点间存在连线 表示两人相识 只需说明 图中必有三点组成 三角形 有三人相识 或有三点之间设有一条连线 三人互不相识 即可 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚 腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 思考题 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 9 个人的集会中一定有 3 个人互相认识或 4 个人互相不认识初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽 屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 14 个人的集会中一定有 3 个人互相认识或者 5 个人互相不认识初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 3 17 个科学家中 每个科学家都和其他科学家通信 他们之间讨论 3 个题目 且任意两个科学家之间只讨论 1 个题目 证明其中至少有 3 名科学家 他们互相通信中讨论的是同一题目初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内 犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 第二节第二节状态转移问题状态转移问题初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 图 1 4 本节介绍两种状态转移问题 解决这种问题的方法 有状态转移法 图解法及用图的邻接距阵等 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有 关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 1 人 狗 鸡 米问题人 狗 鸡 米问题初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节第一节 有关自然数的几个模型有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 人 狗 鸡 米均要过河 船上除人 狗 鸡 米均要过河 船上除 1 人划船外 最多还能运载一物 而人不在场时 狗要吃鸡 鸡要人划船外 最多还能运载一物 而人不在场时 狗要吃鸡 鸡要 吃米 问人 狗 鸡 米应如和过河 吃米 问人 狗 鸡 米应如和过河 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 分析 假设人 狗 鸡 米要从河的南岸到河的北岸 由题意 在过河的过程中 分析 假设人 狗 鸡 米要从河的南岸到河的北岸 由题意 在过河的过程中 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中 每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 两岸的状态要满足一定条件 所以该问题为有条件的状态转移问题 两岸的状态要满足一定条件 所以该问题为有条件的状态转移问题 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪 律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 允许状态集合允许状态集合 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 我们用 我们用 w x y z w x y z 0 或或 1 表示南岸的状态 例如 表示南岸的状态 例如 1 1 1 1 表示它们都在南岸 表示它们都在南岸 0 1 1 0 表示狗 鸡在南岸 人 米在北岸 很显然有些状态是允许的 有些状态是不允许的 用 表示狗 鸡在南岸 人 米在北岸 很显然有些状态是允许的 有些状态是不允许的 用 穷举法可列出全部穷举法可列出全部 10 个允许状态向量 个允许状态向量 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律 酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律 酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 我们将上述我们将上述 10 个可取状态向量组成的集合记为个可取状态向量组成的集合记为 S 称 称 S 为允许状态集合为允许状态集合初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽 朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 状态转移方程 状态转移方程 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 对于一次过河 可以看成一次状态转移 我们用向量来表示决策 例 对于一次过河 可以看成一次状态转移 我们用向量来表示决策 例 1 0 0 1 表示人 米过河 表示人 米过河 令令 D 为允许决策集合 为允许决策集合 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 D 1 x y z x y z 0 或或 1 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构 瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 另外 我们注意到过河有两种 奇数次的为从南岸到北岸 而偶数次的为北岸回到南岸 因此得到下另外 我们注意到过河有两种 奇数次的为从南岸到北岸 而偶数次的为北岸回到南岸 因此得到下 述转移方程 述转移方程 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 1 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟 k k kk dSS 1 1 燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 表示第表示第 k 次状态 次状态 为决策向量为决策向量 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖 kkkkk zyxwS Ddk 恕翔 图图 2 1初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 2 人 狗 鸡 米过河问题 即要找到人 狗 鸡 米过河问题 即要找到 初等数学方法建模初等数学方法建模Dddd m 121 SSSS m 10 0 0 0 0 0 S 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 且满足 且满足 2 1 式 式 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 1 1 1 1 m S 下面用状态转移图求解下面用状态转移图求解初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至多认识这群人中的个人 不包括自己 则至少有两个人所认识的人数瓷质竿脱冒竣已袒巩农递饰婚腔内犬龙熙翼曰没嘘亥桨涧陆吻韧翁端铀最品契挽朗构瑞羊苟燎炙督浚浇登商郡圾涪律酪盛蚕需甚锅拔糜坦以剖恕翔 将将 10 个允许状态用个允许状态用 10 个点表示 并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态 则这两个允许个点表示 并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态 则这两个允许 状态间存在连线 而构成一个图状态间存在连线 而构成一个图 如图如图 2 1 在其中寻找一条从 在其中寻找一条从 1 1 1 1 到 到 0 0 0 0 的路径 的路径 这样的路径就是一个解这样的路径就是一个解 可得下述路径图可得下述路径图 初等数学方法建模初等数学方法建模 48 第一节 有关自然数的几个模型 1 1 鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理 把个苹果放入 个抽屉里 则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果 问题 1 如果有个人 其中每个人至