近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

精品文档 1欢迎下载 浙江大学浙江大学 2007 20082007 2008 学年春季学期学年春季学期 微积分微积分 课程期末考试试卷课程期末考试试卷 一 填空题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在题中横线上 1 点M 1 1 2 到平面的距离d 2210 xyz 2 已知 则 2a 3b 3a b ab 3 设可微 则 f u v yx zf xy dz 4 设在 0 1 上连续 且 与为常数 f x f x0ab 01 01Dx yxy 则 D af xbf y d f xf y 5 设为连续函数 交换二次积分次序 f x y 2 22 00 xx dxf x y dy 二 选择题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的 把所选字母填入题后的括号内 6 直线l1 与直线l2 的夹角为 155 121 xyz 6 23 xy yz A B C D 2 3 4 6 7 设为连续函数 极坐标系中的二次积分 f x y 可以写成直角坐标中的二次积分为 cos 2 00 d cos sin df rrr r A B 2 1 00 y y dyf x y dx 2 11 00 y dyf x y dx C D 2 11 00 x dxf x y dy 2 1 00 x x dxf x y dy 8 设 为的以 2 为周期的余弦级数 则 1 0 2 1 22 1 2 xx f x xx S x f x 5 2 S A B C D 1 2 1 2 3 4 3 4 精品文档 2欢迎下载 9 设则在点 O处 44 0 0 0 0 0 xy x y f x yxy x y f x y 0 0 A 偏导数存在 函数不连续 B 偏导数不存在 函数连续 C 偏导数存在 函数连续 D 偏导数不存在 函数不连续 三 解答题 10 本题满分 10 分 求曲线L 在其上点M 1 1 2 处的切线方 222 222 239 3 xyz zxy 程与法平面方程 11 本题满分 10 分 设F可微 z是由F 确定的可微函数 并设xy 0yz zx 求 23 FF zz xy 12 本题满分 10 分 设D是由曲线与直线围成的两块有界闭区域的并集 3 yx yx 求 2 esin d x D xy 13 本题满分 10 分 求空间曲线L 上的点到平面的距离最大值与 222 920 335 xyz xyz xOy 最小值 14 本题满分 10 分 设平面区域D 计算二重积分 01 01x yxy 22 1 d D xy 15 本题满分 5 分 设当y 0 时可微 且已知 u x y 求 22 2222 2 yx du x yxydxx yy dy xyxy u x y 精品文档 3欢迎下载 浙江大学 2007 2008 学年春季学期 微积分 II 课程期末考试试卷答案 一 填空题 每小题 5 分 共 25 分 1 2 3 1421 d 2 2 2 249619ababababa b 3 dyxyfxxfdxyyfyxfdz xyxy1 212 1 1 lnln 4 DD d xfyf xbfyaf d yfxf ybfxaf I D baIbadbaI 2 1 2 5 2 22011 00111 xxy y dxf x y dydyf x y dx 或 或 011 111 y y dyf x y dx 111 011 y y dyf x y dx 二 选择题 每小题 5 分 共 20 分 6 选 B l1的方向向量 l2的方向向量 1 2 1 2 1 1 3 2 1 6 3 66 2 1 11 2 1 cos 7 选 D 积分区域 化成直角坐标后故知选 D 0 22 yxyxyxD 8 选 C 5111111 13 0 0 1 2222222 24 SSSff 9 选 A 偏导数存在 0 00 0 0lim0 0 00 xy x ff x 取 kxy 4400 11 lim lim k k k k kxxf xx 随k而异 所以不连续 三 解答题 10 14 每题 10 分 15 题 5 分 共 55 分 10 由L 视x为自变量 有 精品文档 4欢迎下载 0 226 0264 dx dz z dx dy yx dx dz z dx dy yx 以代入并解出 得 2 1 1 zyx dx dz dx dy 8 7 4 5 dx dz dx dy 所以切线方程为 8 7 2 4 5 1 1 1 zyx 法平面方程为 即 57 1120 48 xyz 0127108 zyx 11 133212 232332 1 y x zz F FFFFFFFzzzz xFFFyFFFxyFF 12 D在第一象限中的一块记为D1 D在第三象限中的一块记为D2 212 2 1 22 sinsinsin DDDD x D xx dyxdyxdededyxe 3 2222 3 12 10 01 xx xxxx xx DD e de ddxe dydxe dy 22221010 3333 0101 xxxx xxe dxxx e dxxxe dxxx e dx 2111 1 3 0 000 21 1 12 xuuuu xxe dxe duue dueueeee 3 3 12 10 01 sinsinsinsin xx xx DD xy dxy ddxxy dydxxy dy 10 33 01 coscoscoscosxxxxdxxxxxdx 10 33 01 coscoscoscos0 xxxxdxxxxxdx 所以 原式 2 e 13 L上的点到平面的距离为 它的最大值点 最小值点与的一致 用拉格朗日乘xoyz 2 z 数法 设 53329 2222 zyxzyxzzyxF 求偏导数 并令其为零有 精品文档 5欢迎下载 20 F x x 1830 F y x 2430 F zz z 22 920 F xyz x 3350 F xyz 解之得两组解 所以当时 最 12 15 1 1 5 5 33 x y zx y z 3 1 1 yx1 z 小 当时 最大 3 5 5 yx5 z 14 将分成如图的两块 的圆记为D1 另一块记为D2 4 1 DD dyxdyx 1 2222 11 2 1 22 D dyx dyxdyxdyx DDD 11 111 222222 1 2222 111 222 2 0000 211 211 211 43343 DD xydxyd drrdrdyxydx 15 由 有 22 2222 2 yx du x yxydxx yy dy xyxy 2 22 xy yx y x u 从而知 又由 推知 yyx y x yxu 22 2 1 arctan yyx yx x y u 2 2 22 2 22 22 2 2 1 x xy x yyx yy x xy y 2 2 yyyyC 所以 222 1 arctan 2 x u x yx yyC y 注 若用凑的办法亦可 22 2222 2 yx xydxx yy dy xyxy 精品文档 6欢迎下载 2 2 222 2 11 2 2 1 ydxxdyydxxdy xy ydxxdyydyd xydy x xyy y 2 2 1 arctan 2 x dxyy y 所以 Cyyx y x yxu 222 2 1 arctan ufuF 浙浙江江大大学学2 20 00 06 6 2 20 00 07 7 学学年年春春季季学学期期 微微积积分分 课课程程 期期末末考考试试 试试卷卷 开课学院 理学院 考试形式 闭卷 考试时间 年 月 日 所需时间 120 分钟 考生姓名 学号 专业 题序 一二三四五六七 总 分 得分 评卷人 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 1 直线在平面上的投影直线方程为 6 3 32 1 zyx 0522 zyx 2 数量场在点的梯度为 2 zyezyxg x 0 3 1 P u 函数在P点沿的方向导数为 ln 22 zyxzyxf u 3 设 具有二阶连续偏导数 则 2 3 fyxxuuxfz yx z 2 精品文档 7欢迎下载 4 设 则 1 11 3 yxxyxD D yx yxeyxxdd 22 2 5 已知曲面与椭球面在第一卦限内相切 则切点坐标为1 zyx1 93 22 2 zy x 公共切平面方程为 6 设函数 其中 1 2 1 2 1 0 2 xx xx xf 1 0 cos 2 n n xna a xS 则 2 1 0 dcos 2 1 0 nxxnxfan 2 7 S 二 二 满分 满分 1010 分 求直线分 求直线 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程 022 012 zyx zyx 精品文档 8欢迎下载 三 三 满分 满分 1010 分 计算分 计算 1 00 2 2 2 dd x yex y 精品文档 9欢迎下载 四 四 满分满分 1515 分分 已知由方程确定 试求 yxzz 01 3 z xezy 1 0 2 2 y xx z 五 五 满分 满分 1515 分 分 设平面为曲线上的点 1 zyxdyx 0 1 4 2 22 zyx z yx 到平面的距离 求的最大 最小值 zyx zyxd 精品文档 10欢迎下载 x y h R 六 六 满分满分 1515 分分 如图是一块密度为 常数 的薄板的平面图形 在一个半径为R的半圆直 径上拼 上一个矩形 矩形的另一边为h 已知平面图形的形心位于原点 0 0 试求 1 长度 h 2 薄板绕x轴旋转的转动惯量 七 七 满分满分 5 5 分分 求证 当时 成立不等式 0 1 st s etttts ln 精品文档 11欢迎下载 参考解答 参考解答 一 一 1 2 0522 043 zyx zyx 2 1 0 3 ee 3 3 2 3 22 22122 2 22122212 fff 4 5 6 3 2 03 3 1 3 3 1 3 1 zyx 8 3 二 直线 tztytx 1 1 曲面上点直线上点 zyxP 0000000 1 1 xzxyzyx 22222 0 2 0 22 0 1 1 xxzyzyzyxx 则旋转曲面方程 222 1 2xzy 三 1 00 2 2 2 dd x yex y 2 1 2 2 1 2 2 0 2 0 1 4 2 d41 ddyyexey 2y y y 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 1 dddd 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 eyeeyyeeyye yyyyy 四 1 1 0 z 03 2 x z xee x z zy zz ex z y x3 1 1 0 0263 2 2 22 2 2 2 x z xe x z xe x z e x z zy x z zy zzz 2 1 0 2 2 9 4 ex z y x 五 五 1 2 1 yxzyxd 1 4 1 2 222 z yxzyxyxL 精品文档 12欢迎下载 01 4 0 130 2 002 1 2 0 002 1 2 2 22 3 2 3 1 2 2 1 z yxL zyxzyxL xzL xzxyyyxL xyxL z y x 无 无无 最小距离 最大距离 2 2 3 6 3 2 3 1 3 1 d 2 2 3 6 3 2 3 1 3 1 d 六 形心 0 1 0 DD xdxdyxdxdyxy 即 0dcosddd 2 2 0 0 R h R R rrryxx RhRhR 3 2 0 3 1 2 2 1 2 32 D x dxdyyI 23 0 22 0 2 83 2 d sinddd 2 2 RRhrrryyx R h R R 七 设0 0 1 ln FtsetttstF s ln 0 tsettestF ss s 且对固定的 当当1 t 0 ln0 stFts s 0 ln stFts s 所以 取得最小值且为 0 则 即tsln 0 stF s etttts ln 1 已知 22 y f xyxy x 则 yxf 2 已知 则 dxex x 0 2 1 dxe x 2 精品文档 13欢迎下载 3 函数 22 1f x yxxyyy 在 点取得极值 4 已知 则 yyxxyxfarctan arctan 0 1 x f 5 以 为任意常数 为通解的微分方程是 x exCCy 3 21 21 C C 6知与均收敛 则常数 p 的取值范围是 c dxe xp 0 1 e p xx dx 1 1 ln A 1p B 1p C 1 2p D 2p 7数在原点间断 0 0 0 4 22 22 22 yx yx yx x yxf 是因为该函数 b A 在原点无定义 B 在原点二重极限不存在 C 在原点有二重极限 但无定义 D 在原点二重极限存在 但不等于函数值 8 若 22 22 3 1 1 1 xy Ixy dxdy 22 22 3 2 12 1 xy Ixy dxdy 22 22 3 3 24 1 xy Ixy dxdy 则下列关系式成立的是 a A 123 III B 213 III C 123 III D 213 III 9 方程具有特解 d x exyyy 3 1 596 A B baxy x ebaxy 3 C D x ebxaxy 32 x ebxaxy 323 10 设收敛 则 d 1 2 n n a 1 1 n n na A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 不定 一 填空题 每小题3分 共15分 1 2 1 1 xy y 2 3 4 1 5 6 0yyy 3 2 3 1 11 求由 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 解 3 2 yx 的函数 2 3 xy 4 x 0 yy 精品文档 14欢迎下载 为 2 3 0 xyy 且时 于是 4 x 8 y 6 3 分 分 24 88 22 33 00 8 37 73 0 4 16 80 33 128128 80 77 512 7 Vydyy dy y 12 求二重极限 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x 解 原式 3分 11 11 lim 22 2222 0 0 yx yxyx y x 6分 2 11 lim 22 0 0 yx y x 13 由确定 求 yxzz xyez z yx z 2 解 设 z F x y zzexy 则 x Fy y Fx 1 z z Fe 11 x zz z zFyy xFee 11 y zz z F zxx yFee 3分 2 22 1 1 1 1 1 1 zz z zzzz z ey e zye xyy x yyeeee 6分 14 用拉格朗日乘数法求 22 1zxy 在条件下的极值 1 yx 解 222 1 1222zxxxx 令 420zx 得 1 2 x 40z 1 2 x 为极小值点 3分 精品文档 15欢迎下载 故 22 1zxy 在 1yx 下的极小值点为 1 1 2 2 极小值为 3 2 6分 15 计算 1 2 1 2 dxedy y y y x 解 2 1 1 2 1 2 31 82 x y y y Idye dxee 6分 6 计算二重积分 22 D xydxdy 其中D是由 y 轴及圆周 22 1xy 所围成的在第一 象限内的区域 解 22 D xydxdy 1 3 2 00 dr dr 8 6分 17 解微分方程 xyy 解 令 方程化为 于是 yp py xpp 1 1 1 Cdxexep dxdx 1 Cdxexe xx 3分 1 1 Cexe xx x eCx 1 1 6分 21 2 1 1 2 1 1 CeCxdxeCxdxpy xx 18 判别级数的敛散性 11 1 33 n nn 解 33 33 2 11 11 nn nn 3分 因为 33 33 11 limlim1 1 11 nn nnn n nn n n 19 将函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 x 3 1 x 解 由于 已知 3分 3 1 1 3 1 3 1 x x 0 1 1 n n x x 11 x 精品文档 16欢迎下载 那么 6分 0 1 0 3 1 3 3 1 3 1 n n n n n x x x 33 x 20 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 根据统计资料 销售收 入 万元 与电台广告费用 万元 的及报纸广告费用 万元 之间的关系有如下 R1 x 2 x 的经验公式 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxR 求最优广告策略 解 公司利润为 2 2 2 1212121 1028311315xxxxxxxxRL 令即 020831 04813 21 12 2 1 xxL xxL x x 31208 1384 21 21 xx xx 得驻点 而 3分 25 1 75 0 4 5 4 3 21 xx 04 11 xx LA8 21 xx LB20 22 xx LC 06480 2 BACD 所以最优广告策略为 电台广告费用 万元 报纸广告费用 万元 6分 75 0 25 1 四 证明题 每小题5分 共10分 21 设 11 33 ln zxy 证明 1 3 zz xy xy 证 22 3311 33 1111 3333 xyzz xy xyxy 22 若与都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 1 2 n nn vu 证 由于 3分 22 0 22222 nnnnnnnn vuvuvuvu 并由题设知与都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 2 2 1 2 n n n vu 从而收敛 6分 1 2 n nn vu 精品文档 17欢迎下载 1 设 22 y f xyxy x 则 yxf 2 已 1 2 知 则 5 2 3 设函数 22 22f x yxaxxyy 在点 1 1 取得极值 则常数 a 4 已知 则 arctan4 yxyxyxf 0 1 x f 5 以 为任意常数 为通解的微分方程是 xx eCeCy 3 21 21 C C 6 已知与均收敛 dxe px 0 e p xx dx 1 ln 则常数 p 的取值范围是 A B C D 0 p0 p1 p10 p 7 对于函数 22 f x yxy 点 0 0 A 不是驻点 B 是驻点而非极值点 C 是极大值点 D 是极小值 8 已知 2 1 D Ixy d 3 2 D Ixy d 其中为 22 2 1 1xy 则 D A 12 II B 12 II C 12 II D 22 12 II 9 方程具有特解 x xeyyy 2 65 A B baxy x ebaxy 2 C D x ebxaxy 22 x ebxaxy 223 10 级数收敛 则级数 1 2 1 n n nn a 1n n a A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不定 11 求 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 3 xy 0 y 2 xx 精品文档 18欢迎下载 12 求二重极限 1 sin 1 sin lim 0 0 x y y x y x 13 设 求 xy yx z 1 arctan 2 2 x z 14 用拉格朗日乘数法求 f x yxy 在满足条件 1xy 下的极值 15 计算 1 0 1 0 dedyxx xy 16 计算二重积分 22 D xy dxdy 其中D是由 y 轴及圆周 22 1 1xy 所围成的在 第一象限内的区域 17 解微分方程 0 yyx 18 判别级数的敛散性 1 2 n n n n 19 将函数展开成的幂级数 x xf 1 3 x 20 某工厂生产甲 乙两种产品 单位售价分别为40元和60元 若生产x单位甲产品 生产 y 单 位乙产品的总费用为 22 20300 1 223 100 xyxxyy 试求出甲 乙两种产品各生产多 少时该工厂取得最大利润 21 设 证明 222 lnzyxu 222 1 xyz 2 2 2 2 2 2 z u y u x u 22 若与都收敛 则收敛 1 2 n n a 1 2 n n b 1n nnb a 可能会有错误大家一定要自己核对 一 填空题 每小题3分 共15分 1 设 且当时 则 yxfyxz 0 y 2 xz z 22 22xxyyy 2 计算广义积分 1 2 1 3 x dx 精品文档 19欢迎下载 3 设 则 xy ez 1 1 dz dydxe 4 微分方程具有 形式的特解 x xeyyy 2 65 x ebxax 22 5 设 1 4 n n u 则 1 11 22 n n n u 1 二 选择题 每小题3分 共15分 1 22 22 0 0 3sin lim x y xy xy 的值为 A A 3 B 0 C 2 D 不存在 2 和存在是函数在点可微的 A 00 yxfx 00 yxfy yxf 00 yx A 必要非充分的条件 B 充分非必要的条件 C 充分且必要的条件 D 即非充分又非必要的条件 3 由曲面和及柱面所围的体积是 D zxy 4 22 z 0 xy 22 1 A B 1 2 2 00 4d4drr dd rrr4 2 0 2 0 2 C 21 2 00 d4drr D 44 2 0 1 0 2d d rrr 4 设二阶常系数非齐次线性方程 ypyqyf x 有三个特解 xy 1 x ey 2 则其通解为 C x ey 2 3 A B xx eCeCx 2 21 xx eCeCxC 2 321 C D 2 2 1 xxx exCeeCx 2 2 2 1 xeCeeC xxx 5 无穷级数 为任意实数 D 1 1 1 n p n np A 收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 无法判断 三 计算题 每小题6分 共60分 1 求下列极限 0 0 lim 1 1 x y xy xy 解 0 0 lim 1 1 x y xy xy 0 0 1 1 lim 1 1 x y xyxy xy 3分 精品文档 20欢迎下载 0 0 lim 1 1 1 12 x y xy 6分 2 求由与直线 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 xy 1 x4 x 0 y x 解 4 2 1 d x Vxx 4分 7 5 6分 3 求由所确定的隐函数的偏导数 zz xy xyzez yxzz 解 方程两边对求导得 x 有 3分 x z xyyz x z ez 1 zx z xye yz x z z 方程两边对求导得 y 有 6分 y z xyxz y z ez 1 zy z xye xz y z z 4 求函数 322 42f x yxxxyy 的极值 解 322 42f x yxxxyy 则 2 382 x fx yxxy 22 y fx yxy 68 xx fx yx 2 xy fx y 2 yy fx y 求驻点 解方程组 2 3820 220 xxy xy 得和 2 2 2分 0 0 对有 0 0 80 xx f 0 0 2 xy f 0 0 2 yy f 0 0 于是 2 120BAC 所以是函数的极大值点 且 0 0 0f 4分 0 0 对 2 2 有 2 2 4 xx f 2 2 2 xy f 2 2 2 yy f 于是 2 120BAC 2 2 不是函数的极值点 6 计算积分 其中是由直线及所围成的闭区域 D d x y D xyxy2 2 1 xx 解 22 1 x x D yy ddxdy xx 4分 精品文档 21欢迎下载 2 1 39 24 xdx 6分 7 已知连续函数满足 且 求 xf x xxxfdttf 0 2 0 1 f xf 解 关系式两端关于求导得 x 即 2分 1 2 2 xf xxfxf x xf x xf 2 1 2 1 这是关于的一阶线性微分方程 其通解为 f x 2 1 22 ce x exf x dx x dx 5分 1 1 x c cx x 又 即 故 所以 6分 0 1 f 01 c1 c 1 1 x xf 8 求解微分方程 0 2 1 2 y y y 解 令 yp 则 dp yp dy 于是原方程可化为 2 2 0 1 dp pp dyy 3分 即 2 0 1 dp p dyy 其通解为 2 21 11 1 dy y pc ec y 5分 即 2 1 1 yc dx dy dxc y dy 1 2 1 故原方程通解为 6分 21 1 1 cxc y 9 求级数 3 1 2 n n x n 的收敛区间 解 令 2tx 幂级数变形为 3 1 n n t n 3 3 1 1 limlim1 n t nn n a n R an 3分 当时 级数为 3 0 1 1 n nn 收敛 1 t 精品文档 22欢迎下载 当时 级数为 3 1 1 nn 发散 1 t 故 3 1 n n t n 的收敛区间是 5分 1 1 t I 那么 3 1 2 n n x n 的收敛区间为 1 3 x I 6分 10 判定级数是否收敛 如果是收敛级数 指出其是绝对收敛还是条件收敛 1 2sin n n n x 解 因为 sin 2 1 n x nn 2分 由比值判别法知 1 1 n n 收敛 1 1 lim0 1 n n n 4分 从而由比较判别法知 1 sin 2 n n x n 收敛 所以级数 1 sin 2 n n x n 绝对收敛 6分 四 证明题 每小题5分 共10分 1 设正项级数 1 n n u 收敛 证明级数 1 1 nn n u u 也收敛 证 3分 2 1 11 nnnn uuuu 而由已知收敛 故由比较原则 也收敛 5分 2 1 1nn uu 1nnu u 2 设 其中为可导函数 证明 22 yxf y z uf 2 11 y z y z yx z x 证明 因为 2分 2 2 f fxy x z 4分 2 2 2 f fyf y z 精品文档 23欢迎下载 所以 5分 22 2 2 12211 y z yfyf fyf f f y y z yx z x 一 填空题 每小题3分 共15分 1 设 zxyf yx 且当 0 x 时 2 zy 则 z 22 22xxyxy 2 计算广义积分 2 1 dx x 1 3 设 则 1 2 dz 12 33 dxdy 1ln 22 yxz 4 微分方程具有 形式的特解 x exyyy 3 1 596 x ebxax 323 5 级数的和为 5 8 1 9 13 n n n 二 选择题 每小题3分 共15分 1 22 22 0 0 3sin lim x y xy xy 的值为 B A 0 B 3 C 2 D 不存在 2 和在存在且连续是函数在点可微的 B yxfx yxfy 00 yx yxf 00 yx A 必要非充分的条件 B 充分非必要的条件 C 充分且必要的条件 D 即非充分又非必要的条件 3 由曲面和及柱面 22 4xy 所围的体积是 B zxy 4 22 z 0 A 24 2 00 d4drrr B 2 2 2 00 4d4drrr C 22 2 00 d4drr D 2 2 2 00 4d4drr 4 设二阶常系数非齐次微分方程 ypyqyf x 有三个特解 2 1 yx x ey 2 则其通解为 D x ey 2 3 A 222 12 xxx C eeC ex B 22 123 xx C xC eC e C 22 12 xx xC eC e D 2 2 2 1 2xxx exCeeCx 精品文档 24欢迎下载 5 无穷级数 1 2 1 1 n p n n 为任意实数 A p A 无法判断 B 绝对收敛 C 收敛 D 发散 三 计算题 每小题6分 共60分 1 求下列极限 0 0 24 lim x y xy xy 解 00 00 244 4 limlim 24 xx yy xyxy xyxyxy 3分 0 0 111 lim 22424 x y xy 6分 2 求由在区间上 曲线与直线 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 2 0 xysin 2 x 0 y x 解 2 2 0 sind x Vx x 4分 2 1 4 6分 3 求由所确定的隐函数的偏导数 zz xy xyxyz z e yxzz 解 一 令 zyxFxyxyz z e 则 yyz x F xxz y F xy z F z e 利用公式 得 3分 xy yyz xy yyz z F x F x z zz ee 6分 xy xxz xy xxz z F y F y z zz ee 二 在方程两边同时对x求导 得 精品文档 25欢迎下载 y x z xyyz x z z e 解出 3分 xy yyz x z z e 同理解出 6分 xy xxz y z z e 4 求函数的极值 33 812 yxyxyxf 解 则 33 812 yxyxyxf yxyxfx123 2 xyyxfy1224 2 xyxfxx6 12 yxfxy无 yyxfyy48 求驻点 解方程组得和 2分 无 无 01224 0123 2 2 xy yx 0 0 1 2 对有 0 0 0 0 0 xx f12 0 0 xy f0 0 0 yy f 于是 所以点不是函数的极值点 4分 0144 2 ACB 0 0 对有 1 2 12 1 2 xx f12 1 2 xy f48 1 2 yy f 于是 且 所以函数在点取得极小值 04812144 2 ACB012 A 1 2 33 2 1 212 2 1 8 18f 6分 5分 6 计算二重积分 其中是由及所围成的闭区域 D dyx 2 Dx yxy 1 2 y 解 2 1 1 2 2 y y D xy ddyxy dx 4分 2 2 2 1 119 21 6 ydy y 6分 7 已知连续函数满足 求 xf 0 2 0 x xxfdttf xf 解 关系式两端关于求导得 x 精品文档 26欢迎下载 即 2分 01 2 xfxf 2 1 2 1 xfxf 这是关于的一阶线性微分方程 其通解为 f x 2 1 22 ceexf dxdx 5分 222 1 xxx cecee 又 即 故 所以 6分 0 0 f c 101 c 1 2 x exf 8 求微分方程的通解 02 1 2 yxyx 解 这是一个不明显含有未知函数 y 的方程 作变换 令 dy p dx 则 2 2 d ydp dxdx 于是原方程降阶为 2 1 20 dp xpx dx 3分 分离变量 2 2 1 dpx dx px 积分得 2 1 lnln 1 lnpxC 即 2 1 1 pCx 从而 2 1 1 dy Cx dx 5分 再积分一次得原方程的通解 y 3 12 3 x C xC 6分 9 求级数的收敛区间 1 3 n n n x 解 令 幂级数变形为 1 1 limlim1 n t nn n a n R an 3分 3 xt 1n n n t 当时 级数为收敛 1 t 0 1 1 n n n 当时 级数为发散 1 t 1 1 n n 故的收敛区间是 5分 1n n n t 1 1 t I 精品文档 27欢迎下载 那么的收敛区间为 6分 1 3 n n n x 4 2 x I 10 判定级数 1 cos n n x n 是否收敛 如果是收敛级数 指出其是绝对收敛还是条件收敛 解 因为 cos 1 n x nn 2分 由比值判别法知 1 1 n n 收敛 1 1 lim0 1 n n n 4分 从而由比较判别法知 1 cos n n x n 收敛 所以级数 1 cos n n x n 绝对收敛 6分 四 证明题 每小题5分 共10分 1 设级数 2 1 n n a 收敛 证明 1 0 n n n a a n 也收敛 证 由于 3分 1 2 1 2 2 n a n a n n 而 都收敛 故收敛 由比较原则知 n a n 收敛 5分 2 n a 2 1 n 1 2 1 2 2 n an 2 设 证明 2 cos2 2 t xz 02 2 2 2 tx z t z 证明 因为 2分 2sin 2 1 2 sin 2 cos 22tx t x t x t z 4分 2cos 2 2 tx t z 2 222 2 2cos 2 t z tx xt z tx z 所以 5分 02 2 2 2 tx z t z 中南民族大学06 07微积分 下 试卷 精品文档 28欢迎下载 及参考答案 06年A卷 评 分 阅卷 人 1 已知 22 y f xyxy x 则 yxf 2 已知 则 dxex x 0 2 1 dxe x 2 3 函数 22 1f x yxxyyy 在 点取得极值 4 已知 则 yyxxyxfarctan arctan 0 1 x f 5 以 为任意常数 为通解的微分方程是 x exCCy 3 21 21 C C 二 选择题 每小题3分 共15分 评 分 阅卷 人 7知与均收敛 dxe xp 0 1 e p xx dx 1 1 ln 则常数 p 的取值范围是 精品文档 29欢迎下载 A 1p B 1p C 1 2p D 2p 8数在原点间断 0 0 0 4 22 22 22 yx yx yx x yxf 是因为该函数 A 在原点无定义 B 在原点二重极限不存在 C 在原点有二重极限 但无定义 D 在原点二重极限存在 但不等于函数值 8 若 22 22 3 1 1 1 xy Ixy dxdy 22 22 3 2 12 1 xy Ixy dxdy 22 22 3 3 24 1 xy Ixy dxdy 则下列关系式成立的是 A 123 III B 213 III C 123 III D 213 III 9 方程具有特解 x exyyy 3 1 596 A B baxy x ebaxy 3 C D x ebxaxy 32 x ebxaxy 323 10 设收敛 则 1 2 n n a 1 1 n n na A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 不定 三 计算题 每小题6分 共60分 评 分 评 分 评阅 人 精品文档 30欢迎下载 11 求由 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 2 3 xy 4 x 0 yy 评 分 评阅 人 12 求二重极限 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x 评 分 评阅 人 13 由确定 求 yxzz xyez z yx z 2 精品文档 31欢迎下载 评 分 评阅 人 14 用拉格朗日乘数法求 22 1zxy 在条件下的极值 1 yx 评 分 评阅 人 15 计算 1 2 1 2 dxedy y y y x 精品文档 32欢迎下载 评 分 评阅 人 16 计算二重积分 22 D xydxdy 其中D是由 y 轴及圆周 22 1xy 所围成的在第一 象限内的区域 评 分 评阅 人 17 解微分方程 xyy 精品文档 33欢迎下载 评 分 评阅 人 18 判别级数的敛散性 11 1 33 n nn 评 分 评阅 人 19 将函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 x 3 1 x 精品文档 34欢迎下载 评 分 评阅 人 20 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 根据统计资料 销售收 入 万元 与电台广告费用 万元 的及报纸广告费用 万元 之间的关系有如下 R1 x 2 x 的经验公式 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxR 求最优广告策略 四 证明题 每小题5分 共10分 评 分 评 分 评阅 人 21 设 11 33 ln zxy 证明 1 3 zz xy xy 精品文档 35欢迎下载 评 分 评阅 人 22 若与都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 1 2 n nn vu 答案 一 填空题 每小题3分 共15分 1 2 1 1 xy y 2 3 4 1 5 6 0yyy 3 2 3 1 二 选择题 每小题3分 共15分 6 C 7 B 8 A 9 D 10 D 三 计算题 每小题6分 共60分 11 求由 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 2 3 xy 4 x 0 yy 解 3 2 yx 的反函数为 2 3 0 xyy 且时 于是 4 x 8 y 精品文档 36欢迎下载 6 3 分 分 24 88 22 33 00 8 37 73 0 4 16 80 33 128128 80 77 512 7 Vydyy dy y 12 求二重极限 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x 解 原式 3分 11 11 lim 22 2222 0 0 yx yxyx y x 6分 2 11 lim 22 0 0 yx y x 13 由确定 求 yxzz xyez z yx z 2 解 设 z F x y zzexy 则 x Fy y Fx 1 z z Fe 11 x zz z zFyy xFee 11 y zz z F zxx yFee 3分 2 22 1 1 1 1 1 1 zz z zzzz z ey e zye xyy x yyeeee 6分 14 用拉格朗日乘数法求 22 1zxy 在条件下的极值 1 yx 解 222 1 1222zxxxx 精品文档 37欢迎下载 令 420zx 得 1 2 x 40z 1 2 x 为极小值点 3分 故 22 1zxy 在 1yx 下的极小值点为 1 1 2 2 极小值为 3 2 6分 15 计算 1 2 1 2 dxedy y y y x 解 2 1 1 2 1 2 31 82 x y y y Idye dxee 6分 16 计算二重积分 22 D xydxdy 其中D是由 y 轴及圆周 22 1xy 所围成的在第一 象限内的区域 解 22 D xydxdy 1 3 2 00 dr dr 8 6分 17 解微分方程 xyy 解 令 方程化为 于是 yp py xpp 1 1 1 Cdxexep dxdx 1 Cdxexe xx 3分 1 1 Cexe xx x eCx 1 1 6分 21 2 1 1 2 1 1 CeCxdxeCxdxpy xx 18 判别级数的敛散性 11 1 33 n nn 解 33 33 2 11 11 nn nn 3分 精品文档 38欢迎下载 因为 33 33 11 limlim1 1 11 nn nnn n nn n n 6分 19 将函数展开成的幂级数 并求展开式成立的区间 x 3 1 x 解 由于 已知 3分 3 1 1 3 1 3 1 x x 0 1 1 n n x x 11 x 那么 6分 0 1 0 3 1 3 3 1 3 1 n n n n n x x x 33 x 20 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 根据统计资料 销售收 入 万元 与电台广告费用 万元 的及报纸广告费用 万元 之间的关系有如下 R1 x 2 x 的经验公式 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxR 求最优广告策略 解 公司利润为 2 2 2 1212121 1028311315xxxxxxxxRL 令即 020831 04813 21 12 2 1 xxL xxL x x 31208 1384 21 21 xx xx 得驻点 而 3分 25 1 75 0 4 5 4 3 21 xx 04 11 xx LA8 21 xx LB20 22 xx LC 06480 2 BACD 所以最优广告策略为 电台广告费用 万元 报纸广告费用 万元 6分 75 0 25 1 四 证明题 每小题5分 共10分 精品文档 39欢迎下载 21 设 11 33 ln zxy 证明 1 3 zz xy xy 证 22 3311 33 1111 3333 xyzz xy xyxy 3分 22 33 11 33 11 33 1111 3333 11 33 11 33 xyzz xyxy xy xyxy xx xy 6分 22 若与都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 1 2 n nn vu 证 由于 3分 22 0 22222 nnnnnnnn vuvuvuvu 并由题设知与都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 2 2 1 2 n n n vu 从而收敛 6分 1 2 n nn vu 06 年 B 卷 一 填空题 每小题3分 共15分 评 分 阅卷 人 1 设 22 y f xyxy x 则 yxf 2 已 1 2 知 则 5 2 精品文档 40欢迎下载 3 设函数 22 22f x yxaxxyy 在点 1 1 取得极值 则常数 a 4 已知 则 arctan4 yxyxyxf 0 1 x f 5 以 为任意常数 为通解的微分方程是 xx eCeCy 3 21 21 C C 二 选择题 每小题3分 共15分 评 分 阅卷 人 6 已知与均收敛 dxe px 0 e p xx dx 1 ln 则常数 p 的取值范围是 A B C D 0 p0 p1 p10 p 7 对于函数 22 f x yxy 点 0 0 A 不是驻点 B 是驻点而非极值点 C 是极大值点 D 是极小值点 8 已知 2 1 D Ixy d 3 2 D Ixy d 其中为 22 2 1 1xy 则 D A 12 II B 12 II C 12 II D 22 12 II 9 方程具有特解 x xeyyy 2 65 精品文档 41欢迎下载 A B baxy x ebaxy 2 C D x ebxaxy 22 x ebxaxy 223 10 级数收敛 则级数 1 2 1 n n nn a 1n n a A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不定 三 计算题 每小题6分 共60分 评 分 评 分 评阅 人 11 求 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积 3 xy 0 y 2 xx 评 分 评阅 人 12 求二重极限 1 sin 1 sin lim 0 0 x y y x y x 精品文档 42欢迎下载 评 分 评阅 人 13 设 求 xy yx z 1 arctan 2 2 x z 评 分 评阅 人 14 用拉格朗日乘数法求 f x yxy 在满足条件 1xy 下的极值 精品文档 43欢迎下载 评 分 评阅 人 15 计算 1 0 1 0 dedyxx xy 评 分 评阅 人 16 计算二重积分 22 D xy dxdy 其中D是由 y 轴及圆周 22 1 1xy 所围成的在 第一象限内的区域 精品文档 44欢迎下载 评 分 评阅 人 17 解微分方程 0 yyx 评 分 评阅 人 18 判别级数的敛散性 1 2 n n n n 精品文档 45欢迎下载 评 分 评阅 人 19 将函数展开成的幂级数 x xf 1 3 x 评 分 评阅 人 20 某工厂生产甲 乙两种产品 单位售价分别为40元和60元 若生产x单位甲产品 生产 y 单 位乙产品的总费用为 22 20300 1 223 100 xyxxyy 试求出甲 乙两种产品各生产多 少时该工厂取得最大利润 精品文档 46欢迎下载 四 证明题 每小题5分 共10分 评 分 评 分 评阅 人 21 设 证明 222 lnzyxu 222 1 xyz 2 2 2 2 2 2 z u y u x u 评