材料力学超静定问题汇总

超静定问题的解法 1 画受力图画受力图 列列平衡方程平衡方程 判断静不定次数判断静不定次数 2 2 根据结构的约束条件画变形图根据结构的约束条件画变形图 找变找变 形协调关系形协调关系 列列几何方程几何方程 3 由力与变形由力与变形 或温度与变形或温度与变形 的物理关系的物理关系 列列物理方物理方 程程 4 4 联立几何方程与物理方程建立联立几何方程与物理方程建立补充方程补充方程 5 5 补充方程与平衡方程联立解全补充方程与平衡方程联立解全 部未知力部未知力 例2 求图示两端固定等直杆的约束反力 P ab EAEA BA P RARB 0 AB PRR 解 几何方程 B B PR RabPa ll E AE A 物理方程 代入平衡方程解得 A Pa R ab 平衡方程 解除约束 以已知方向约束反力代替 B PR ll 为得到变形协调方程 解除多余约束 分别 考虑外力和多余约束反力产生的位位移移叠叠加加 设B为多余约束 此处的实实际际位位移移必必须须为为0 P B A lP B A lR RB 解得 B Pb R ab 设杆的B段有初始间隙 求约束反力 解 几何 设外力在B BPRll B处的实际位移为初始间隙 P B A lP B A lR RB P ab EAEA BA 物理 BBPRRabP allE AE A 解得 例例3 3 木制短柱的四角用四个40 40 4 的等边角钢加固 角钢和木材的许用应力分别为 1 160 04 21 PNNY 21 LL 2 22 22 11 11 1 L AE LN AE LN L 几何方程 物理方程及补充方程 解 平衡方程 P 1 m P N2 4N1 P y P y 4N1 N2 250 250 解平衡方程和补充方程 得 11 1 1122 22 2 1122 0 07 4 0 72 4 E A NPP E AE A E A NPP E AE A 111 07 0 APN 求结构的许可载荷 角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得 A1 1 3 086 3 086cm2 222 72 0 APN kN104272 0 1225072 0 2 222 AP kN 4 70507 0 1606 30807 0 111 AP P 1 m P 250 250 1 1 1 1 122 22 2 1 122 4 4 E A NP E AE A E A NP E AE A P 1 m P 250 250 超静定结构的第一个特点 超静定结构的第一个特点 超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配 即 杆的刚度越大 杆件承受的内力越大 超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配 即 杆的刚度越大 杆件承受的内力越大 例例4 4 图示悬吊结构图示悬吊结构ABCABC梁刚性 各杆梁刚性 各杆EAEA相同 求各杆内力相同 求各杆内力 解解 1 平平衡衡方方程程 120220AMNaNaPa 12220NNP 2 几几何何方方程程 122 ll 2 l 1 l P AC B aa l1 2l N2N1 ABCP 3 物物理理方方程程12 12 N lN lllEAEA 补补充充方方程程与与平平衡衡方方程程联联立立解解得得 12255PPNN 例例5 已知 AE杆为刚性杆 CD杆和BF杆的横截面面积为A 0m E cos230CBNaNaPa 解 解 1 1 平衡方程平衡方程 2 2 变形几何方程变形几何方程2CBll cosCCll 3 3 补充方程补充方程 基本原则 在小变基本原则 在小变 形条件下 形条件下 CC发生垂直位移到发生垂直位移到 P a a AB D C a E Fl C l C l C C P ABCE NC NB B l C l C 物物 lN lE A iiiii NN E A E A 13 11 33 2 cos 补补 3 33 11 3 cos21 AE AE PN 2 11 33 21 cos cos2 AE AE PNN 将将物物理理方方程程代代入入几几和和方方程程得得补补充充方方程程 补补充充方方程程与与平平衡衡方方程程联联立立求求解解得得P 123 1 N 3 N 2 N P A 找找变变形形协协调调关关系系 几几何何方方程程 213cosLLL a a a A B C D P 1 1 先解静不定先解静不定 2P a a a A B C D 2P P RA RD 平 平衡 衡方 方程 程0 Y 30 ADRP R 几 几何 何方 方程 程 DPRLL 物 物理 理方 方程 程 3 3 D P D R P aP aL EAEA RaL EA 联 联立 立以 以上 上4式 式得 得 33 3 26 7ADRkN RkN 例 例7 a a a A B C D 2P P RA RD 2 校校核核杆杆的的强强度度 画画杆杆的的轴轴力力图图 D y N kN 26 7 6 7 33 3 最大轴力最大轴力 max 33 3NkN 3 max max 6 33 3 10 200 10 166 5 N A MPa 相相对对误误差差 166 5 160 160 4 5 结论结论 杆安全杆安全 33 3 26 7 AD RkN RkN 例 8 aa A B DC a G P F横梁ABCD为刚性横梁 1 2杆 截面积相同 材料相同 求两根 12 解 1 取AB横梁为研究对象 画受力图 B D CA P 1N 2N 平面一般力系 三个独立的方程 四个未知力一 一次 次静 静不 不定 定 0 FMA 2 列 平衡方程 032cos 21 aPaNaN 1 l aa A DC a G P F 12 3 变形几何方程 B C D E CCl 1 EDl 2 cos DD a a DD CC 2 cos 212ll 4 物理方程 EA lN l 1 1 EA lN l cos 2 2 cos 2cos 12EAlNEAlN 2 1 2两式联立求解 例 9 L L AB D C L E F P 已知 AE杆为刚性杆 CD杆 和BF杆的横截面面积为A 弹 性模量为E 求CD杆 BF杆的 平面一般力系 三个独立的 方程 四个未知力 LLL ABCE P CDN BFN 解 1 取AE杆为研究对象 画受力图 一一次次静静不不 3 物理方程 cosEA LN l CD CD cos 2 EA LN l BF BF L L AB D C L E F P BFCD NN 2sin 2sin 2 03 sinsin LP LNLN BFCD 1 1 BFCD NN sinsin2 BFCDll 温度应力和装配应力练习题 RA RB LT RB LR 解解 1 平平衡衡方方程程 共共线线力力系系 0 0 AB AB XRR RR 得 一一次次静静不不定定 2 几几何何方方程程 例例1010 输输热热管管道道AB长长为为L 横横截截面面积积A 材材料料的的弹弹性性摸摸 量量E 热热膨膨胀胀系系数数为为 试试 求求 当当温温度度升升高高 T oC 时时 TR LL 温度变形 再次变形 AB L LT RB LR 3 物理方程物理方程 4 补充方程补充方程 B R L T L EA B RT R L LLT L EA 补补充充方方程程与与平平衡衡方方程程联联立立解解得得 AB RREAT 5 温度应力温度应力 A T REAT ET AA 两个概念两个概念 2 几几何何方方程程 TR LL 温度变形 再次变形 例 图示悬吊结构AB 求各杆装配应力 aal 解 0321 NNN31NN 2312 lll iiiiiAElNl NEAl 2 3 NEAl 1 6 平衡方程 N1N2N3 变形几何方程 物理方程 1 l 2 l 3 l AB 13 横梁AB为刚性横梁 悬挂于三根平行 杆上 1杆由黄铜制成 若温度升高20度 求各杆的轴力解 1 取AB横梁为研究对象 2 ab C P c ll 2ml 40KNP 5 1ma 1mb 25 0mc 2 0m 221cmA 1001GPaE 105 16161 C 2 3杆由低碳钢制成 122cmA 20032GPaEE 105 121632 C 323cmA B 1N 2N3N P 列平衡方程 0Y 1 321 PNNN 0 FME E 2 31 bNcPaN NEAl 2 3 NEAl 1 6 AB 13 2 几何方程 11AAl 12DDl ba b ll ll 31 32 2 ab C P c l l 1A D 1D 1B 13BBl 3 物理方程 A TlAA1 NlAA11 Tl 1 11 1 AE lN NTllAAl1111 TlDD2 NlDD21 Tl 2 22 2 AE lN NTllDDl2212 TlBB3 NlBB31 Tl 3 33 3 AE lN NTl