【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习： 概率与统计

1 概率与统计概率与统计 1 随机抽样方法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等 且 是不放回抽样 问题 1 某社区现有 480 个住户 其中中等收入家庭 200 户 低收入家庭 160 户 其他为高 收入家庭 在建设幸福社区的某次分层抽样调查中 高收入家庭被抽取了 6 户 则该社区本 次抽取的总户数为 答案 24 解析 由抽样比例可知 则 x 24 6 x 480 200 160 480 2 对于统计图表问题 求解时 最重要的就是认真观察图表 从中提取有用信息和数 据 对于频率分布直方图 应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频 率 茎叶图没有原始数据信息的损失 但数据很大或有多组数据时 茎叶图就不那么直观 清晰了 问题 2 从某校高三年级随机抽取一个班 对该班 50 名学生的高校招生体检表中视力情况 进行统计 其结果的频率分布直方图如图所示 若某高校 A 专业对视力的要求在 0 9 以上 则该班学生中能报 A 专业的人数为 答案 20 3 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平 均数 叫做这组数据的中位数 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 即 x1 x2 xn x 1 n 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和 2 标准差的平方就是方差 方差的计算 1 基本公式 s2 x1 2 x2 2 xn 2 1 nxxx 2 简化计算公式 s2 x x x n 2 或写成 s2 x x x 2 即方 1 n2 12 22 nx 1 n 2 12 22 nx 差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方 问题 3 已知一个样本中的数据为 0 12 0 15 0 13 0 15 0 14 0 17 0 15 0 16 0 13 0 14 则该 样本的众数 中位数分别是 答案 0 15 0 145 4 变量间的相关关系 假设我们有如下一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 回归方程 x y b a 其中Error 问题 4 回归直线方程 x 必经过点 y b a 答案 xy 5 独立性检验的基本方法 一般地 假设有两个分类变量 X 和 Y 它们的取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列 联表如表 y1y2总计 x1aba b x2cdc d 总计a cb da b c d 根据观测数据计算由公式 k 所给出的检验随机变量 K2的观测值 k n ad bc 2 a b a c b d c d 并且 k 的值越大 说明 X 与 Y 有关系 成立的可能性越大 可以利用数据来确定 X 与 Y 有关系 的可信程度 问题 5 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 对该班 50 名学生进行了问卷调查 得到了如下的 2 2 列联表 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生20525 女生101525 合计302050 则至少有 的把握认为喜爱打篮球与性别有关 请用百分数表示 3 附 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d P K2 k0 0 100 050 0250 0100 0050 001 k02 7063 8415 0246 6357 87910 828 答案 99 5 6 互斥事件有一个发生的概率 P A B P A P B 1 公式适合范围 事件 A 与 B 互斥 2 P 1 P A A 问题 6 抛掷一枚骰子 观察掷出的点数 设事件 A 为出现奇数点 事件 B 为出现 2 点 已知 P A P B 则出现奇数点或 2 点的概率之和为 1 2 1 6 答案 2 3 7 古典概型 P A 其中 n 为一次试验中可能出现的结果总数 m 为事件 A 在试验中包含的基本事件 m n 个数 问题 7 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次 则出现向上的点数之和为 4 的概率为 答案 1 12 8 几何概型 一般地 在几何区域 D 内随机地取一点 记事件 该点在其内部一个区域 d 内 为事件 A 则事件 A 发生的概率为 P A 此处 D 的度量不为 0 其中 度量 的意义依 D 确定 d的度量 D的度量 当 D 分别是线段 平面图形和立体图形时 相应的度量分别为长度 面积和体积等 即 P A 构成事件A的区域长度 面积和体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积和体积 问题 8 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 O 为底面 ABCD 的中心 在正方体 ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 A B 1 12 12 C D 1 6 6 答案 B 解析 记 点 P 到点 O 的距离大于 1 为 A 4 P A 1 23 1 2 4 3 13 23 12 9 解排列 组合问题的依据是 分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合 解排列 组合问题的规律是 相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 多排问题单排法 定位 问题优先法 定序问题倍缩法 多元问题分类法 有序分配分步法 综合问题先选后排法 至多至少问题间接法 1 排列数公式 A n n 1 n 2 n m 1 其中 m n N m n 当 m n 时 m n n n m A n n 1 2 1 n 规定 0 1 n n 2 组合数公式 C m n Am n Am m n n 1 n 2 n m 1 m n m n m 3 组合数性质 C C C C C 规定 C 1 其中 m n N m n m nn mnm nm 1nmn 10 n 问题 9 1 将 5 封信投入 3 个邮筒 不同的投法共有 种 2 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台 其中至少要甲型和乙型电视机各一台 则 不同的取法共有 种 答案 1 35 2 70 10 二项式定理 1 定理 a b n C an C an 1b C an rbr Cabn 1 C bn n N 0 n1 nr nn 1nn n 通项 展开式的第 r 1 项 Tr 1 Crnan rbr 其中 C r 0 1 n 叫做二项式系数 r n 2 二项式系数的性质 在二项式展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等 即 C C C C C C C C 0 nn n1 nn 1n2 nn 2nr nn rn 二项式系数的和等于 2n 组合数公式 即 C C C C 2n 0 n1 n2 nn n 二项式展开式中 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和 即 C C C C C C 2n 1 1 n3 n5 n0 n2 n4 n 特别提醒 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念 在求法上也有很大的 差别 往往因为概念不清导致出错 5 问题 10 设 6的展开式中 x3的系数为 A 二项式系数为 B 则 A B x 2 x 答案 4 1 解析 Tr 1 C x6 r 1 r rr 6 2 x C 1 r2r 6 r 3 r 2 系数 A 60 二项式系数 B C 15 所以 r 6 3 6 2r x 3 22 6 A B 4 1 4 1 11 要注意概率 P A B 与 P AB 的区别 1 在 P A B 中 事件 A B 发生有时间上的差异 B 先 A 后 在 P AB 中 事件 A B 同时发 生 2 样本空间不同 在 P A B 中 事件 B 成为样本空间 在 P AB 中 样本空间仍为 因而 有 P A B P AB 问题 11 设 A B 为两个事件 若事件 A 和 B 同时发生的概率为 在事件 A 发生的条件 3 10 下 事件 B 发生的概率为 则事件 A 发生的概率为 1 2 答案 3 5 12 求分布列 要检验概率的和是否为 1 如果不是 要重新检查修正 还要注意识别独立 重复试验和二项分布 然后用公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率为 Pn k C pk 1 p n k k n 问题 12 若随机变量 的分布列如下表 则 E 的值为 012345 P2x3x7x2x3xx 答案 20 9 解析 根据概率之和为 1 求出 x 1 18 则 E 0 2x 1 3x 5x 40 x 20 9 13 一般地 如果对于任意实数 a b 随机变量 X 满足 P a X b x dx 则称 X 的 b a 分布为正态分布 正态分布完全由参数 和 确定 因此正态分布常记作 N 2 如果随 6 机变量 X 服从正态分布 则记为 X N 2 满足正态分布的三个基本概率的值是 P X 0 682 6 P 2 X 2 0 954 4 P 3 X 3 0 997 4 问题 13 已知随机变量 服从正态分布 N 2 2 且 P 4 0 8 则 P 0 2 等于 A 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 答案 C 解析 P 4 0 2 由题意知图象的对称轴为直线 x 2 P 4 0 2 P 0 4 1 P 4 0 6 P 0 2 P 0 4 0 3 1 2 易错点 1 统计图表识图不准致误 例 1 如图所示是某公司 共有员工 300 人 2012 年员工年薪情况的频率分布直方图 由此可 知 员工中年薪在 1 4 万元 1 6 万元之间的大约有 人 错解 由频率分布直方图 员工中年薪在 1 4 万元 1 6 万元之间的频率为 1 0 02 0 08 0 10 0 10 0 08 0 62 估计年薪在 1 4 万元 1 6 万元之间约有 300 0 62 186 人 找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义 频率分布直方图中 纵轴 矩形高 表示 每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率 由于概念不清 识图 频率 组距 不准导致计算错误 正解 由所给图形可知 员工中年薪在 1 4 万元 1 6 万元之间的频率为 7 1 0 02 0 08 0 08 0 10 0 10 2 0 24 所以员工中年薪在 1 4 万元 1 6 万元之间的共有 300 0 24 72 人 答案 72 易错点 2 在几何概型中 测度 确定不准致误 例 2 如图所示 在等腰 Rt ABC 中 过直角顶点 C 在 ACB 内部任意 作一条射线 CM 与线段 AB 交于点 M 求 AM AC 的概率 错解 记 AM AC 为事件 E 设 CA CB a 因为 ABC 是直角三角形 所以 AB a 2 在 AB 上取一点 D 使 AD AC a 那么对线段 AD 上的任意一点 M 都有 AM AD 即 AM AC 因此 AM0 0 B 0 0 a b a b 9 C 0 D 0 0 a b a b 答案 B 解析 作出散点图如下 观察图象可知 回归直线 x 的斜率 0 故 0 0 y a a b 3 2014 湖北 由不等式组Error 确定的平面区域记为 1 不等式组Error 确定的平面区域为 2 在 1中随机取一点 则该点恰好在 2内的概率为 A B 1 8 1 4 C D 3 4 7 8 答案 D 解析 如图 平面区域 1就是三角形区域 OAB 平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就 是区域 OACD 易知 C 故由几何概型的概率公式 1 2 3 2 得所求概率 P S四边形OACD S OAB 2 1 4 2 7 8 10 4 2014 湖南 x 2y 5的展开式中 x2y3的系数是 1 2 A 20 B 5 C 5 D 20 答案 A 解析 x 2y 5展开式的通项公式为 Tr 1 C x 5 r 2y r C 5 r 2 r x5 r yr 1 2r 5 1 2r 5 1 2 当 r 3 时 C 2 2 3 20 3 5 1 2 5 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 上任意一点 若在矩形 ABCD 内部随 机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A B 1 4 1 3 C D 1 2 2 3 答案 C 解析 这是一道几何概型的概率问题 点 Q 取自 ABE 内部的概率为 S ABE S矩形ABCD 1 2 AB AD AB AD 1 2 故选 C 6 2014 福建 如图 在边长为 e e 为自然对数的底数 的正方形中随机撒一粒黄豆 则它落 到阴影部分的概率为 答案 2 e2 解析 由题意知 所给图中两阴影部分面积相等 故阴影部分面积为 S 2 e ex 1 0 dx 2 ex ex 2 e e 0 1 2 1 0 又该正方形面积为 e2 11 故由几何概型的概率公式可得所求概率为 2 e2 7 2014 江西 10 件产品中有 7 件正品 3 件次品 从中任取 4 件 则恰好取到 1 件次品的 概率是 答案 1 2 解析 从 10 件产品中取 4 件 共有 C种取法 取到 1 件次品的取法为 C C 种 由古典 4 101 33 7 概型概率计算公式得 P C1 3C3 7 C 4 10 3 35 210 1 2 8 如图所示 图 2 中实线围成的部分是长方体 图 1 的平面展开图 其中四边形 ABCD 是边 长为 1 的正方形 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点 它落在长方体的平面展开图内的 概率是 则此长方体的体积是 1 4 答案 3 解