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文档简介

有这么一个关于两个等边三角形的问题，俗称拉手模型. 该问题可以衍生出很多有趣的结论，在学习该模型的过程中综合运用了多次三角形全等、相似、等边三角形判定、截长补短、四点共圆的性质与判定等较难初等几何问题，是一个复习的好载体. 下面将本问题进行简单阐述并说明证明思路，详细证明过程请读者自己摸索（亦可通过邮件讨论）.已知：ABC和CDE均为等边三角形，并且B、C、D三点共线，如图I.求证以下几个结论：（1）三组三角形全等： BCE ACD； BCF ACG； ECF DCG；如图II. 证明思路：第一组全等利用两个等边三角形边相等及每个角都是60的性质，根据SAS证明全等；由第一组全等可以得到GAC=FBC和FEC=GDC，根据ASA证明后两组全等.（2）两组角相等：GAC=FBC；FEC=GDC. 两组边相等：BE=AD；CF=CG.证明思路：由（1）的三组全等引申出来的结论.（3）FCG是等边三角形, 如图III. 从而FG/BD. 证明思路：由（2）有CF=CG，又易得FCG=60，得证.由FGC=GCD，得FG/BD.（4）AHF=EHG=60. 如图IV. 证明思路：由（2）已有HAF=CBF，对顶角相等有AFH=BFC，由三角形内角和定理易得AHF = BCF= 60，同理可证EHG=60.（5）两组相似三角形：AFH BFC；HGE CGD证明思路：由（4）易得上述两组相似.（6）A、H、C、B四点共圆，E、D、C、H四点共圆.证明思路：由（4）或者（5）易得上述结论.（7）连结CH，则CH平分BHD. 如图V.证明思路：此结论有较多证明方法，下面介绍较容易三种证法：（证法V-1：角平分线的判定）过点C作CXBE于X，CYAD于Y. 由（1）有BCEACD，利用面积法易得CX=CY，从而平分线得证.（证法V-2：相似三角形）由（5）AFH BFC，则AF:BF=HF:CF，又由对顶角相等，可以得到AFB HFC， 从而对应角CHF=BFA=60，同理可证CHG=DGE=60. 得证.（证法V-3：四点共圆） 由（6） A、H、C、B四点共圆 ，故 CHF=BFA=60 ；同理可证CHG=DGE=60. 得证. （8）证明HD=HC+HE；HB=HC+HA. 如图VI. 证明思路：（截长法）在线段HD上取一点Z，使得HZ=HC. 第一步：由（7）易证HCZ为等边三角形，故CZ=CH. 如图VI(1)； 第二步：证明CHECZD，故HE=ZD. 如图VI(2)； 第三步：HD= HZ+ZD=HC+HE.
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