信号与系统-第四章(02)

1,第四章 连续系统的频域分析,2,周期信号: f(t)=f(t+nT),当其满足狄氏条件时，可展成：,非周期信号: f(t),根据傅立叶变换,频域分析法：,时域,频域,t,w,微分方程,代数方程,频谱函数,频谱结构和系统功能,第四章 连续系统的频域分析,线性时不变连续时间系统的频域分析： 根据线性系统的叠加性和齐次性，运用傅里叶级数或傅里叶变化，将信号分解为一系列离散的或连续的复指数信号之和。 然后将这些复指数信号作用于系统，并把所得的响应取和，即可给出系统对于信号f(t)的完整响应。,3,ejt通过线性系统后响应随时间变化服从ejt ， H(j)相当加权函数。,一、基本信号 ：,f(t),y(t),零状态响应：,频域系统函数,H(j)为h(t)的傅立叶变换,ejt通过线性系统的零状态响应： 基本信号ejt H(j) 。,4-1 周期信号通过线性系统,4,二、基本信号 ：,f(t),y(t),零状态响应：,正弦信号激励的响应与激励为同频率的正弦量；其振幅为激励的振幅与系统函数H(j) 模值之积；相位为激励的初相位与系统函数 H(j) 相位之和。,5,三、任意周期信号：,激励与响应均为周期信号，周期和f(t)相同。,激励作用的起点t，由初始条件所引起的系统储能的变化已消失，其零输入响应不存在。,系统响应中所有随时间而衰减的暂态分量也将由于时间的无穷延续而已消失，只有稳态分量存在。因为，周期信号作用于系统的零状态响应就是稳态响应。,6,四.周期信号通过线性系统响应的频谱,对于周期信号,周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号； 周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列，响应频谱的冲激强度被系统函数加权。,傅立叶变换,7,例1：,【解】,(n为奇数),图（a）所示系统，若激励如图(b)所示，求:(1)系统函数H(jw); (2)响应电流i(t);,图(b)可得：,正弦信号,8,响应i(t)的频谱：,(n为奇数),激励u(t)的频谱：,(n为奇数),(3)激励、响应的频谱密度函数U(jw) 、I(jw)，画出频谱图。,9,图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。,【解】,方法1：,方法2：,例2：,1,10,一、系统函数,4-2 非周期信号通过线性系统,系统函数定义：,（1）h(t)的傅立叶变换；（2）描述系统频率特性。,物理意义：,H(jw),F(jw),Y(jw),H(jw)是系统单位冲激响应h(t)的频谱函数,H(jw)是将h(t)分解为无穷多个指数信号之和，其相应的频谱密度函数,当激励为ejwt时，H(jw)是系统零状态响应的加权函数，而且，零状态响应yf(t)随时间t的变换规律与ejwt的变换规律完全相同，仅差一个加权函数H(jw) 。,11,系统函数计算：,一、系统函数,例1： 求系统函数H(j)。,12,二、系统响应：,yx(t)系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值； yf(t)系统零状态响应，取决于系统函数和激励。,三、系统频率特性：,系统幅频特性：响应与激励信号幅度比,系统相频特性：响应与激励信号相位差,13,解：,例2：求下图以UR(t)为响应的系统函数H(jw)。,电路对应的频域模型,幅频特性,相频特性,可见，该系统是一个低通滤波器,14,例3:,h(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系统零状态响应 y(t) 。,解：,例4: 图示电路，,解：,从频谱改变观点来解释激励与响应波形的差异，反映了系统本身是一个信号处理器。它依照自身的系统函数H(jw)的特性对输入信号的频谱F(jw)进行处理，使得输出响应的频谱Y(jw)为H(jw) F(jw)。 频域分析的目的：通常不是求系统的时域响应，而是在频域分析信号的频谱和系统的带宽，以及研究信号通过系统传输时对信号频谱的影响等。,15,例5,若激励电压f(t)=U(t)，求两种电路的零状态响应。,解：,(a)图,响应频谱,16,例5,若激励电压f(t)=U(t)，求两种电路的零状态响应。,解：,响应频谱,(b)图,17,低频分量受到削弱，并失去了冲激线谱，（Ya(jw)变为连续谱，输出波形是一个脉冲，ya(t)最终衰减到零）高频分量几乎不变。（高频分量存在意味着输出波形和输入一样产生突变）,低频分量几乎不变，并含有冲激。（w=0处的冲激表明在时域中含有平均值，t，yb(t)仍有一定数值） 高频分量受到抑制。表明时域波形不能剧变，故输出波形只能逐渐上升到稳态值。,高通,低通,18,例6：激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应 y(t)。,解：,H(jw),f(t),y(t),19,例7: 求零状态响应 y(t) 。已知：,解：,x(t),20,时域：,4-3 信号通过线性系统不失真条件,频域：,无失真传输条件,21,信号失真类型,信号失真,线性失真,非线性失真：,相位失真：,幅度失真：,系统对激励信号所有频率分量的幅度衰减不是均等，一部分频率分量严重衰减，而另一部分频率分量可能畅通无阻，从而使输出波形不同于激励波形。,原因：,尽管信号所有频率分量的幅度衰减相等，但如果各频率分量的相移没有一定规律，致使各次谐波间相对位置发生变化，也将引信号失真。,产生新的频率成分,无失真:,指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而波形不变化。,22,例1,输出电压y(t), 输入电流f(t), 试求电路频域系统函数H(j)。为了能无失真传输，试确定R1和R2的数值。,解：,+-,无失真传输的条件为：,系统函数,R1=R2=1,频域电路模型,第四章,23,一. 理想低通滤波器,0 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。,在00的低频段内，传输信号无失真。（有时延）,4-4 理想低通滤波器,滤波器：使一部分频率范围的信号通过，而另一部分信号得以抑制的系统。,分类： 低通、高通、带通、带阻等滤波器。,（通带）,（阻带）,第四章,24,二. 单位冲激响应h(t),已知： ，根据对称性：,将 换成20，得：,根据时移特性：,第四章,25,h(t)与(t)比较，严重失真； h(t)为抽样函数，最大值为kw0/；滤波器限制输入信号高频成分；高于w0的频率分量都衰减为零。冲激响应主峰出现的时刻t0比激励信号(t)延迟了一段时间t0，它正是低通滤波器相频特性的斜率；,二. 单位冲激响应h(t),h(t)有效持续时间：2/w0 w0 ，系统将失去低通滤波特性而变成一个无失真传输系统；,t0时，h(t)0 非因果系统，物理上不可实现 。,（实际低通滤波器通过逼近实现）,物理可实现的滤波器，其幅频特为,Paley -Wiener 准则 （佩利-维钠准则）,二阶低通滤波器,第四章,26,三. 理想低通滤波器阶跃响应,正弦积分函数,第四章,27,单位阶跃响应讨论：,上升时间tr：响应由最小值到最大值所经历的时间，记作,阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。,理想低通滤波器的单位阶跃响应为正弦积分函数,t0时，g(t)存在，反映理想低通滤波器的非因果性和不可实现性 。,最大值位置：,最小值位置：,低通滤波器的带宽,滤波器无低通特性成为一个无失真传输系统,第四章,28,四、矩形脉冲响应,线性时不变性,如果过窄或w0过小，则响应波形上升与下降时间连在一起，完全失去了激励信号的脉冲形象，y(t)波形失真将更加严重。,第四章,29,五、系统的物理可实现性,时域准则 冲激响应h(t)在t0时为零；或者说冲激响应h(t)波形的出现必须是有起因的，不能在冲激作用之前就产生响应，即h(t)应该是因果信号。 h(t)0， t2m）,有限带宽信号,=,*,=,第四章,39,当s 2m时，Fs(j )是F(j )在不同s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts 。,讨论：采样周期变化对频谱的影响,当s2m）,*,第四章,41,四、时域抽样定理的图解,抽样定理,第四章,42,五、信号恢复 (Signal Reconstruction),s 2m,当s 2m时，Fs(j )含有F(j )完整频谱,s =2m,几点认识：,（2）Fs(jw)以ws为周期的连续谱，有新的频率成分，即F(jw)的周期性延拓。,（3）原信号重现，可接一个理想低通滤波器。,第四章,43,五、信号恢复 (Signal Reconstruction),（s 2m）,信号f(t)的恢复实现：理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters),第四章,44,五、信号恢复 (Signal Reconstruction),频域分析,第四章,45,时域分析,*,=,（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值； （2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，那么其合成信号就是原连续信号。结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。,信号恢复,第四章,46,一个最高频率为m的有限带宽信号f(t)，可用均匀抽样间隔 的抽样信号fs(t)值唯一确定。,3) 若从fs(t) 恢复f(t),可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为Ts，截止频率:,说明： 1) f(t)为有限带宽信号，即： | | m时,F(j )=0 2) 抽样间隔,或: 抽样频率,奈奎斯特抽样间隔(Nyquist Sampling Interval),奈奎斯特抽样频率(Nyquist Sampling Frequency,六、时域抽样定理,（t-domain Sampling theorem),第四章,47,例 1,若电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有_个抽样点。 ()625 ()768 ()1250 ()15625,B,第四章,48,例 2,H1(j),H2(j),如图所示信号处理系统。,(1)画出信号 f (t)的频谱图：,(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，则Ts(t)的最大抽样间隔(即奈奎斯特间隔)Ts应为多少？,最大抽样间隔,第四章,49,例 2,H1(j),H2(j),(3)分别画出在奈奎斯特角频率 s及2 s时的 f s(t)的频谱图；,当 s=2m时,当2 s=4m时,第四章,50,理想低通滤波器频谱,例 2,H1(j),H2(j),如图所示信号处理系统。,(4)在2 s的抽样频率时，欲使响应信号y(t)= f (t)，则理想低通滤波器H2(j)截止频率c的最小值应为多大？,从频谱图可看出：,TS,第四章,51,例 3,对周期信号f (t)5cos(1000 t)cos(2000 t) 每秒抽样4500次，使抽样信号通过截止频率为2600Hz的理想低通滤波器。假定滤波器在通带内有零相移和单位增益，试求输出信号？若要在输出端得到重建的f (t)，问允许信号唯一重建的最小抽样频率是多少？,解：周期信号表示式可展开为,f (t)5cos(1000 t)(1+cos4000t),第四章,52,4000,例 3,抽样频率 f s = 4500Hz, 即：s =2 f s =9000。抽样信号的频谱为：,理想滤波器的截止频率 f c =2600Hz, 即：c =2 f c =5200当抽样信号通过理想低通滤波器后, 其输出为：,5200,信号f(t)的最高角频率为：m=5000 , fm = m/ 2 =2500Hz ；所以使信号唯一重建的最小抽样频率为:,若要在输出端得到重建的f (t)，问允许信号唯一重建的最小抽样频率是多少？,F(jw)图,第四章,53,一个持续时间(-tm, tm)有限信号f(t)的频谱F (j ) ，可用均匀的抽样值F (jn s)唯一确定，其抽样间隔,这样可得到f(t)在时域中重复形成周期信号fs(t) ，不会产生混叠。 3) 若从fs(t) 恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。,说明： 1) f(t)为持续时间有限信号，即： | t | tm时, f(t)=0 2) 抽样间隔,七、频域抽样定理,（-domain Sampling theorem),第四章,54,时域与频域分析对比,第四章,55,4-6 信号的调制与解调,调制与解调： 所谓调制，就是用一个信号（原信号也称调制信号）去控制另一个信号（载波信号）的某个参量，从而产生已调制信号。根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：调幅，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。调频，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。调相，利用原始信号控制载波信号的相位。这三种调制方式的实质都是对原始信号进行频谱搬移，将信号的频谱搬移到所需要的较高频带上，从而满足信号传输的需要。解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。,第四章,56,调 制,调制信号,载波信号,已调信号fS (t)= f (t)cos0t,其频谱为Fs(j)=F(j) *S(j) =Fj(- 0)+Fj(+ 0),y(t)= f (