均值不等式和柯西不等式

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象孙嘉钰授课教师杨鹏授课时间5-5授课题目不等式（二）课 型复习使用教具讲义、白纸教学目标灵活的运用均值不等式和柯西不等式求最值教学重点和难点重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题参考教材网资教学流程及授课详案1、 柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.三维形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用条件：均值不等式，若，则（1）是正数；（2）和（）或（）为定值；（3）当且仅当时，取等号。在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形，才能求得正确的最值。 二例题：1、 柯西不等式向量求最值 1、设，试求的最大值与最小值。答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为15。2、设，试求之最小值。答案：考虑以下两组向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。3、设，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：4 设x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为解： 2x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 95设x, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_。解： 2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：最小值6 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)()9 (2 + 3 + 4)2 = 81 = 97、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值为18 等号发生于 故 又 2、均值不等式几种常见的方法一、凑正值例1 设x0，y0，且，求的最小值。2. 若a0，b0，且，求ab的最小值。3. 求的最大值。答案与提示：1. 由（定值），又知x1，y9，故当且仅当x1=y9=3，即x=4，y=12时，。2. 由，得3. ，此时，故当时，。一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。3. 分离例3. 求的值域。二、整体代换例4. 已知，求的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。四、取平方例6. 求函数的最大值。练一练1. 若，求的最大值。2. 求函数的最小值。3. 求函数的最小值。4. 已知，且，求的最小值。5 设是满足的正数，则的最大值是( )6若，且恒成立，则a的最小值是( )78 已知函数f(x)=,x1,+(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x1,+,f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围9已知，且，则的最大值为10设且，求的最大值11求的最小值。12、设x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。13、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范围