数学物理方法 梁昆淼 试题1

1 广西民族学院试题广西民族学院试题 200 200 学年度第学年度第 1 学期学期 课程名称 课程名称 数学物理方法数学物理方法 考核时长 考核时长 120120 分钟分钟 考核方式 闭卷考核方式 闭卷 得得 分分评卷人评卷人 考生注意 考生注意 1 学号 姓名 学号 姓名 专业班级等应填专业班级等应填 写准确 写准确 2 考试作弊者 考试作弊者 责令停考 成绩责令停考 成绩 作废 作废 学学 号号 姓姓 名名 专专 业业 班班 级级 命题教师注意 命题教师注意 1 试题务必用碳 试题务必用碳 素墨水笔书写 素墨水笔书写 字迹要工整 字迹要工整 2 考试前一星期 考试前一星期 交试题到教务处交试题到教务处 印刷 印刷 命题教师命题教师 王志文王志文 教研室主任教研室主任 系主任签字系主任签字 卷别卷别B 一 填空 每空 2 分 1 复数 的指数形式为 三角形式为 i 1 2 f z 2xyi ax2 by2 是解析函数 则系数 a b 3 dzzz z 4 23 1068 4 dz az z z3 22 4 5 级数的收敛半径 R 0 n n z n a 6 dtttwtwt 2cos sin 0 2 7 f1 x f2 x 8 e tf t 二阶偏微分方程uxx 6uxy 9uyy 0 的特征方程是 此微分方程是 型方程 主要描述 类物理现象 10 二阶偏微分方程uxx 4uxy 5uyy 0 是 型方程 其特征方程是 主要描述 类物理现象 11 稳定型方程的无界空间格林函数是 12 a b 的付氏 勒让德级数 f 22 cos2 1 baba f 13 已知 P0 x 1 P1 x x 1x3 2 1 x P 2 2 x3x5 2 1 x P 3 3 f x 2x3 3x2 2 展开付氏 勒让德级数 f x 2 15 定解问题 iwx t iwx xxtt awexuexu uau 0 0 0 2 则无界问题的解为 u x t 二 判断体 每题 2 分 1 2 0dx x P 1 0 1 0 1 1 dxxxP 3 4 0 0 dJJ kn b km 0 0 dJJ m b km 5 0sin knmddYY n k s m 三 计算体 50 分 1 导出杆作纵振动的偏微分方程 并写出一端固定 另一端被拉离平衡于 h h L 处释放后的定解 条件 3 姓姓 名名 专业年级专业年级 2 2 用分离变量法求解定解问题 0 x 0 0 cos5 0 0 0 0 2 xuxxu tutu uau t x xxtt 4 3 匀质圆柱的半径为 R0 高为 L 上 下底的温度分别为u0 柱侧面的温度分布为 0 0 uz L u zf 求柱内温度分布 提示先将上 下底边界齐次化 再进行求解 齐次上下分离变量的径向为虚宗量贝塞尔方程 5 姓姓 名名 专业年级专业年级 4 利用积分变换法求解 0 0 xxu uu xxt 提示 1 2 F1 w F2 w f1 x f2 x 2 2 2 2 22 4 2 4 4 1 2 1 b k b k xb e b e b e 6 7 姓姓 名名 专业年级专业年级 Answer 一 填空 40 每空 2 分 1 2 1 1 3 0 4 0 5 4 sin 4 cos22 4 ie i 6 sin2wt0 cos2wt0 7 2 F1 w F2 w 8 F p 9 y 3 抛物 输运 10 椭圆 y 2 i or y 2 i 稳恒 0 1 0 cos 12 1 4 1 11 l l l l P a b f rr 3 5 6 2 5 4 13 0123 xPxPxPxPxf atx atx iwatxiwatxiwatxiw dawe a eeore 2 1 2 1 14 二 判断 每题 2 分 1 3 4 错误 2 5 正确 三 计算 50 20 0 0 0 0 20 2 2 2 1 22 tlutuxux L h xu auau u Y dx uu Y uuuYSSdxu uYSuYSVu uuYS uYuYx dx du Yu dx du duduutdxxuxdxx txuxtdxxx xt S Y xxtt xx x x dxx x tt x x dxx xtt x x dxx xtt x x dxx x dxx xdxx x xx x 定解条件 杆的纵振动方程 得 即 其动力学方程为 则微元段所受张力 处即在 由胡克定律 张应力相对伸长为 的则该微元段长为点的位移为 点位移为时刻 设 选微元段解 将杆纵向无限分割 8 xnatn nn n txu B nn n dnA xnaBn xxnA xnatnBatnAuu nxnatnBatnAu atnBatnATanirTnaT xncxX nxXc c c c cc xcxcxX X c c c c xccX X c c ecec cc ececXr XX XX XX TaT X X tTX tTX X X Ta T TXaTX tTxXutTxXu tTxXutTxXu tTxXtxu xuxxu tutu uau n n n n n n n n n n nn n n nnn nn xx xx xxx ttt t x xxtt 2 1 sin 2 1 cos 3212 12 2 1 10 2 0 3212 12 2 1 10 2 1 coscos5 2 0 2 1 cos 2 1 cos5 2 1 sin 4 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 3 2 1 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 0 2 1 2 2 1 sin 2 2 1 0cos 0 0 2 0cos 0 0 cos 00sin0cos sin cos 0 3 20 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 2 0 0 sin3 0 0 0 1 0 1 1 11 2 2 1 2 2 1 1 2 21 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2 代入初始条件 原边值问题的解 得 将本征值代入时间方程 为本征函数为本征值 对应的解值使原方程有意义 只有此 即无意义 只有 则若 代入边界 代入边界 此解无意义 代入边界 时其解有三种可能 的解 由其特征方程 对于常微分方程 代入原方程 解 令分 求定解问题 9 姓姓 名名 专业年级专业年级 2sin 12 21 sin 21 sin sin 2sin 0sin0 010 0 sin1cos1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 3 1 0 00 2 0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 L n L n I R L n I u uwVzu n u R L n I dz L n z L u L R L n I c L n R L n IczRw L n L n Iczw z L n cZ L n vvLLZ cZ vzdvzcZv vcIR zwz L u zRw Lww w wVu uV BLAuLu Buu BzAV zuuz L u zRu uLuu u n n L n n n n n nn 代入边界 代入边界 代入轴向方程解得将 考虑自然有界性 解为 虚宗量贝塞尔方程 其 分离变量的径向为上下底边界 且轴对称由于此问题为齐次一类 有界 令 代入上下底边界得 令 有界 定解问题为 解 问题有轴对称性 10 2 2 1 2 1 1 4 4 1 2 2 4 0 0 4 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 4 4 4 1 4 2 4 2 11 2 de t e t xtxu e t eFe t eF t be b eF ekFtkUFtxu ektkU kc cetkU kkU UktkU ta x t x t x tktk t x b k xb tk tk tk 故 即 则有令 故 代入初值得 业变换得 解 对原方程进行傅立 2 2 1 2 1 1 4 4 1 2 2 4 0 0 4 4 4 4