旋转几何证明

巧用旋转解题巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中 有许多旋转的例子 尤其是正方形和等腰三角形中 因此旋转的方法是 几何学习中必备的技巧 本文将介绍旋转方法的几种典型用法 与广大读者共同学习 交 流 1 1 利用旋转求角度的大小 利用旋转求角度的大小 例 1 在等腰直角 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内一点 满足 PA PB 2 PC 1 求 BPC 的度数 6 分析 本题借助常规方法的入手是比较困难的 虽然三条线段的 长度是已知的 但是这三条线段不是三角形的三条边长 因此 要得到角度的大小是不太容易的 因此我们可以借助 旋转来分析问题 因为 AC BC 这就给我们利用旋转 创造了条件 因此可以考虑将绕点 C 逆时针旋转 APC 0 90 得 连接 通过三角形的边与角的关系分别求得和 就可得CP B P P PCP PB P 到的大小 BPC 解 由已知 AC BC 将绕点 C 逆时针旋转 得 连接 APC 0 90CP B P P 由旋转可知 ACPCBP PCCP AP BP 0 90 ACBPCBCBP 是等腰直角三角形 且 CP P 0 45 PPCPCP2 PP 在中 PB P 2222222 2 2 6 6 PBPPAPBP 是直角三角形 且 PB P 0 90 PBP 000 1359045 PBPPCPBPC 例 2 如图所示 正方形 ABCD 的边长为 1 P Q 分别为边 AB AD 上的点 的周长为APQ 2 求的大小 PCQ 分析 本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的 因为正方形的边长 BC DC 所以可以考虑将绕点 C 顺时针旋转 90 易证 E D QPBC P AB C P 三点共线 通过证明和全等即可求得的大小 ECQ PCQ PCQ 解 BC DC 将绕点 C 顺时针旋转 90 得 PBC EDC 0 90 CBPEDCPCBECD PBED CPCE 0 90 PCQDCQPCBPCQDCQECD 且 0 180 CDAEDC E D Q 三点共线 的周长为 2 即 APQ 2 PQAPAQ 又 2 ADABQDPBAPAQ EQDQEDDQPBPQ 在和中 ECQ PCQ CQCQ PQEQ CPCE ECQPCQ 0 45 ECQPCQ 练习 P 为正方形内一点 且 PA 1 BP 2 PC 3 求 APB 的大小 2 2 利用旋转求线段的长度 利用旋转求线段的长度 例 3 如图 P 是等边 ABC 内一点 PA 2 PC 4 求 BC 的长 32 PB 分析 本题 BC 虽然和 CP BP 同处一个三角形 但是要求其长还缺角度 因此直接 从已知条件入手是比较困难的 但是我们只要适当运用旋转的 方法 就可以是问题简单化 因为本题的 ABC 是等边三 角形 所以其三边是相等的 因此联想到将 ABC 内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的 解 ABC 是等边三角形 AB DC Q E P P A C E B AD CB P 将 BPA 绕点 B 逆时针旋转 60 则 BA 与 BC 重合 且 BP BE PA EC 连接 EP ABPEBC 0 60 CBPEBCCBPABP 是等边三角形 EBP 32 PBEP 在中 ECP 22222 162 32 CPECEP 0 90 CEP PCEC 2 1 0 30 EPC 0 90 BPC 7228 32 4 2222 PBPCBC 例 4 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC BC AD D 90 BC CD 12 ABE 45 若 AE 10 求 CE 的长度 分析 仔细分析就会发现本题所给的条件不易 直接求得 CE 的长度 还需要做一些变化 经观察 容易发现把把 BCE 绕点 B 顺时针旋转 90 可构成一个正方形 然后通过三角形全等 就找出 边之间的关系 解 把 BCE 绕点 B 顺时针旋转 90 得 连接 易证 A G F 三点一线 BGF AG 且易知四边形 BCDG 为正方形 由旋转可得 GBFCBE BFBE 0 45 ABE 0 45 CBEABGGBFABGABF 在和中 ABE ABF ABAB ABFABE BFBE 在 ABEABF 10 AFAE 设 则 xCE xAG 10 xxAGDGAD 2 10 12 xCEDCDE 12 在 即 ADERt 222 DEADAE 222 12 2 10 xx 解之得 02410 2 xx 6 4 21 xx AD BC GF E CE 的长为 4 或 6 练习 2 如图四边形 ABCD 中 AB AD A C 90 其面积为 16 求 A 到 BC 的距离 3 3 利用旋转探求线段之间的关系 利用旋转探求线段之间的关系 例 5 如图 在凸四边形 ABCD 中 ABC 30 ADC 60 AD DC 求证 222 BCABBD 分析 由本题的结论不难想到在直角三角形中应用 勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系 因此 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中 由于 AD DC 所以可以考虑将绕点 D 顺时针方向旋转 60 ADB 使 AD 和 DC 重合 这样就可以得到 然后通过证明BCERt 是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系 DBE 解 将绕点 D 顺时针方向旋转 60 使 AD 和 DC 重合 得并连接 ADB DCE EB 由旋转可得 CDEADB DABDCE DEDB 0 60 ADCADEBDCCDEBDCBDE 是等边三角形 DBE BEDB 0 270 DABDCBDCEDCB 中 0 90 BCEBCERt 222 BCCEBE 2222 BCCEBEBD 例 6 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC D E 在 BC 上 DAE 45 求证 222 DEBECD 分析 由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论 因此我们就需要 将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中 再由 AB AC A BD C E 我们不难想到将绕点 A 延顺时针方向旋转 90 ADC 这样我们就将 放到了同一个三角形中 DCBE 同时我们也不难证明 然后我们只要设法证明 则结论可 0 90 FBE AFEAED 得 解 AB AC 将绕点 A 延顺时针方向旋转 90 得 连接 ADC AFB EF 由旋转可得 CADFAB 0 45 ACDFBADCFB ADAF 0 45 EAD 0 45 FAEFABBAECADBAE 在和中 AFE AED AEAE FAEEAD ADAF AFEAED EDEF 0 90 ABCACDABCFBAFBE 是 FBE Rt 2222 EDEFBEBF 练习 3 如图 ABC 是正三角形 BDC 是顶角 BDC 120 的等腰三角形 以 D 为顶点作一个 60 角 角的两边分别交 AB AC 边于 M N 两点 连接 MN 探究 线段 BM MN NC 之间的关系 并加以证明 4 4 利用旋转求面积的大小 利用旋转求面积的大小 例 7 如图正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 且 BAE 30 3 AB DAF 15 求 AEF 的面积 分析 本题由已知条件直接去求结论是比较困难的 由于该题中含 15 30 等特殊角度 因此通过旋转 ADF 可构作出 45 角 构造三角形全等 通过等积变形来解决 问题是比较容易的 A B E D C F G B D C AD B E F 解 将 ADF 绕 A 点延顺时针方向旋转 90 得 ABG 由旋转性质可知 AFAG 0 15FADBAG 0 09FDAA BG 点 G B E 三点共线 0 180AA BCBG 又 0 45 BAEGABGAE 0000 45 3015 90 EAF 在和中 AFE AGE AGAF GAEFAE AEAE AFEAGE 又 EGEF 0 60 AEGAEF 中 BAE 30 ABERt 3 AB1 BE 在 Rt EFC 中 0000 60 6060 180 FEC 13 BEBCEC 13 22 ECEF 13 2 EGEF 333 13 2 2 1 2 1 ABEGS AEG 33 AEGAEF SS 例 8 如图 A B C D 是圆周上的四个点 且弦 AB 8 弦 ABCDACBD CD 6 则图中两个弓形 阴影 的面积和是多少 分析 从已知条件直接求两个弓形面积难度较大 抓住已知条件 容易发现正好是整个圆弧的一半 因此通过将弓形 ABCDACBD ABCD CmD 绕圆心旋转使点 D 与点 B 重合 就可以得到直角三角形 然后求阴影部分的面积就 会很容易 解 由于 知的长正好是整个圆弧的一半 将弓形 ABCDACBD ABCD CmD 绕圆心旋转 使点 D 与点 B 重合 如图 2 则恰好为半圆弧 ABC AC 为O 的直径 ABC 90 e 由勾股定理可求得 10AC 图 1图 2 2 11 56 812 524 22 Rt ABC SSS 阴影半圆 练习4 如图 ABC 是等腰直角三角形 D 为 AB 的中点 AB 2 扇形ADG 和 BDH 分别是以 AD BD 为半径的圆的 求阴影部分面积 4 1 参考答案 练习 提示 如图将逆时针旋转得 连接 分别求得 0 135BPC 0 90AEB PE 和 APE BPE 练习 2 距离为 4 如图通过旋转变换得正方形 练习 3 把 BDM 绕点 D 顺时针旋转 120 得到 易证MNNCBM CDM DMNCDM 练习 4 将扇形 BDH 和 BDC 绕 D 点顺时针旋转 180 1 1 2 观察巧旋转观察巧旋转 妙解题妙解题 沈岳夫 旋转是几何图形运动中的重要变换 随着课程改革的进一步深入 利用旋转知识进行 有关计算或证明的题目很多 尤其是题目中没有涉及到旋转等文字 使不少学生在解答时 无从着手 找不到解题的途径 但如果能根据题目特征加以观察 通过旋转 找到解题的 突破口 那么问题就简单化了 现采撷部分试题加以归纳 供参考 一 通过旋转 解答角度问题 例 1 如图 1 P 是正三角形 ABC 内的一点 且 PA 6 PB 8 PC 10 求 APB 的度数 AD CB E P 练习 1练习 2练习 3练习 4 图 1 解析 先将部分已知条件集中到一个三角形中 再研究这个三角形与所求的关系 将 PAC 绕点 A 逆时针旋转 60 后 得到 FAB 连接 PF 如图 2 则 BF PC 10 FA PA 6 FAP 60 FAP 是等边三角形 FP PA 6 在 PBF 中 BPF 90 APB APF FPB 60 90 150 图 2 二 通过旋转 计算线段长度问题 例 2 如图 3 P 是正 ABC 内一点 PA 2 PC 4 求 BC 的长 图 3 解析 此题乍一看似乎无从着手 但只要运用旋转的方法来解题 就显得十分容易 将 BPA 绕点 B 逆时针旋转 60 则 BA 与 BC 重合 如图 4 BP BM PA MC 连接 MP 则 MBP 是正三角形 即 由 故 CMP 90 因为 所以 MPC 30 又因为 MPB 60 故 CPB 90 得 图 4 例 3 如图 5 在梯形 ABCD 中 AD BC BC AD D 90 BC CD 12 ABE 45 若 AE 10 求 CE 的长度 图 5 解析 经观察 把 BCE 绕点 B 顺时针旋转 90 可构成一个正方形 然后通过三 角形全等 找出边之间的关系 延长 OA 把 BCE 绕点 B 顺时针旋转 90 与 DA 的延长线分别交于点 G 点 M 如图 6 易知四边形 BCDG 为正方形 BC BG 又 CBE GBM Rt BEC Rt BMG BM BE ABE ABM 45 ABE ABM AM AE 10 设 CE x 则 在 Rt ADE 中 即 所以 CE 的长为 4 或 6 图 6 三 通过旋转 巧算面积问题 例 4 如图 7 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 且 BAE 30 DAF 15 求 AEF 的面积 图 7 解析 由于该题中含 15 30 等特殊角度 通过旋转 ADF 可构作出 45 角 构 造三角形全等 通过等积变形而获解 将 ADF 绕 A 点顺时针旋转 90 到 ABG 的位置 如图 8 由旋转性质可知 AG AF BAG FAD 15 故 GAE 15 30 45 EAF 90 GAE FAE 又 AE AE AEG AEF SAS EF EG AEF AEG 60 在 Rt ABE 中 BAE 30 则 BE 1 在 Rt EFC 中 FEC 即 图 8 例 5 如图 9 A B C D 是圆周上的四个点 且弦 AB 8 弦 CD 4 则图中两个弓形 阴影 的面积和是多少 结果保留三个有效数字 图 9 解析 要直接求两个弓形面积难度较大 抓住已知条件 运用整体思维可简易求得 由于 知长等于圆的周长的一半 将弓形 CmD 绕圆心 旋转 使点 D 与点 B 重合 如图 10 则恰好为半圆弧 此时 AC 为圆 O 的直径 从而 ABC 90 由勾股定理可求得 故其面积和为 15 4 图 10 四 通过分割 旋转 拼接平行四边形 例 6 如图 11 已知四边形纸片 ABCD 现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边 形纸片 如果限定裁剪线最多有两条 能否做到 用 能 或 不能 填空 若填 能 请确定裁剪线的位置 并说明拼接方法 若填 不能 请简要说 明理由 图 11 解析 解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形 然后通过分割旋转达到目的 简答如下 能 如图 12 取四边形 ABCD 各边的中点 E G F H 连接 EF GH 则 EF GH 为裁剪线 EF GH 将四边形 ABCD 分成 1 2 3 4 四个部分 拼接时 图中的 1 不动 将 2 4 分别绕点 H F 各旋转 180 3 平移 拼成的四边形满足条件 如图 13 图 12 图 13 五 通过旋转巧证三点一直线 例 7 已知 点 P 是正方形 ABCD 内的一点 连接 PA PB PC 1 将 PAB 绕 B 点顺时针旋转 90 到 的位置 如图 14 设 AB 的长为 a PB 的长为 b b a 求 PAB 旋转到 的过程中边 PA 所 扫过区域 图 14 中阴影部分 的面积 若 PA 2 PB 4 APB 135 求 PC 的长 图 14 2 如图 15 若 请说明点 P 必在对角线 AC 上 解析 要说明点 P 必在对角线 AC 上 即点 A 点 P 点 C 三点成一直线 关键是弄 懂第 1 小题的问题 实质第 1 小题的解答过程为第 2 问埋下伏笔 让学生从中受 到启发 运用类比方法就易解答该题 简答如下 1 图 15 如图 16 连接 将 PAB 绕 B 点顺时针旋转 90 到 的位置 则 AP APB 为等腰直角三角形 PC 6 图 16 2 将 PAB 绕点 B 顺时针旋转 90 到 的位置 如图 17 则 APB 连接 则 即点 P 必在对角线 AC 上 图 17 六 通过旋转探求线段之间的关系 例 8 如图 18 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点 AF 平分 EA