大学物理公式总结

精品文档 1欢迎下载1欢迎下载 大学物理上公式大学物理上公式 定律和定理定律和定理 1 矢量叠加原理 任意一矢量可看成其独立的分量的和 即 把式中换成 A i A A i A A r 就分别成了位置 速度 加速度 力 电场强度和磁感应强度的叠加原理 V a F E B 2 牛顿定律 或 牛顿第三定律 万有引力定律 F a F dt pd F F r r Mm GF 2 动量定理 动量定理 动量守恒 动量守恒 条件条件pI 0 p 0 外 F 1 位置矢量 其在直角坐标系中 角位置 r kzj yi xr 222 zyxr 2 速度 平均速度 速率 角速度 dt rd V t r V dt ds V VV dt d 角速度与速度的关系 V 3 加速度 或 平均加速度 角加速度 dt Vd a 2 2 dt rd a t V a dt d 在自然坐标系中其中 r2 naaa n dt dV a r V n a 2 4 力 或 力矩 大小 M rFcos 方向 右手螺旋法则 F a F dt pd FrM 5 动量 角动量 大小 L rmvcos 方向 右手螺旋法则 Vmp VmrL 6 冲量 功 气体对外做功 A PdV dtFI F rdFA 7 动能 mV2 2 8 势能 A保 Ep不同相互作用力势能形 式不同且零点选择不同其形式不同 在默 认势能零点的情况下 机械能 E EK EP 9 热量 其中 摩尔热容量 C CRT M Q 与过程有关 等容热容量 Cv与等压热容量 Cp之间的关系为 Cp Cv R 10 压强 n tS I S F P 3 2 11 分子平均平动能 理想气体内能 kT 2 3 RTsrt M E 2 2 12 麦克斯韦速率分布函数 意义 在 V 附近单位速度间隔内的分子数所占比率 NdV dN Vf mg 重力 mgh kx 弹性力 kx2 2 F 万有引力 Ep r r Mm G 2 r Mm G 静电力 r r Qq 4 2 0 r Qq 0 4 精品文档 2欢迎下载2欢迎下载 13 平均速率 RT N dN dVVVfVV 8 0 方均根速率 最可几速率 RT V 2 2 RT p V 3 14 熵 S Kln 为热力学几率 即 一种宏观态包含的微观态数 电场强度 q0 对点电荷 E F r r q E 4 2 0 精品文档 3欢迎下载3欢迎下载 毕奥 沙伐尔定律 2 00 4r rlId Bd 磁场叠加原理 L r rlId B 2 00 4 运动电荷的磁场 2 00 4r rvq B 磁场的高斯定理 0 S SdB 磁通量 S m SdB 安培环路定理 I l d B L 0 载流直导线 12 0 sinsin 4 a I B 圆电流轴线上任一点 2 3 22 2 0 3 2 0 2 2 Rx IR r IR B 载流螺线管轴线上任一点 12 0 coscos 2 nI B 安培力 BlIdf d L BlIdf 载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩 BPM m 洛仑兹力 Bvqf 磁力的功 IAIdA I 恒量 2 1 b IB RU HAA nq RH 1 法拉第电磁感应定律 dt d i 动生电动势 a b ab l d Bv 感生电动势 涡旋电场 Sd t B l d E L ki 精品文档 4欢迎下载4欢迎下载 自感 I N L dt dI L L 2 2 1 LIWm 互感 2 121 12 I N M 1 212 21 I N M 2112 MM dt dI M 2 1212 dt dI M 1 2121 磁场的能量 22 1 2 B BH m V mm dVW 麦克斯韦方程组的积分形式 1 i S qSdD 2 0 S SdB 3 SL Sd t B l d E 4 SL Sd t D l d H ED HB E 平面简谐波方程 u r t cos HH u r t cos EE 0 0 坡印廷矢量 HES 相长干涉和相消干涉的条件 k k 12 2 3210 k 减弱 相消干涉 加强 相长干涉 2 12 k k 21 杨氏双缝干涉 精品文档 5欢迎下载5欢迎下载 暗纹 明纹 3 2 1 2 1 0 4 12 2 k k aDk akD x 薄膜反射的干涉 2 12 2 sin2 22 1 2 2 k k inne 劈尖反射的干涉 2122 2 k k ne 空气劈尖 玻璃劈尖 l sin 2 nl sin 2 牛顿环 明环 3 2 12 12 kRkr 暗环 kkRr210 迈克尔逊干涉仪 Nd 2 单缝的夫琅和费衍射 3 2 1 2 12 3 2 1 2 2 sin kk kk a 明 暗条纹 a f l 2 0 2 0 l a f l 光栅公式 kba sin 倾斜入射 1 0 sin sin kkba 缺级公式 k k a ba k 21 最小分辨角 D min 221 分辨率 min 1 R 精品文档 6欢迎下载6欢迎下载 布喇格公式 3212 kksind 布儒斯特定律 1 2 210 n n ntgi 马吕斯定律 2 0cos II 洛仑兹变换 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x c u t t ut x x x c u t t utx x u u 狭义相对论动力学 2 0 1 m m 2 0 1 vm mvP 2 mcE 2 mcE 2 0 2 cmmcEk 2 0 222 EcPE 斯特藩 玻尔兹曼定律 4 T T EB 428 1067 5 KmW 唯恩位移定律 bT m Km b 3 108972 普朗克公式 1 2 52 Tk hc B e hc Te 爱因斯坦方程 Amvh 2 2 1 红限频率 h A 0 精品文档 7欢迎下载7欢迎下载 康普顿散射公式 cos1 cm h e 光子 h h P 三条基本假设 定态 nh h nL 2 mn EEh 两条基本公式 2 22 0 me nh rn o An2529 0 222 0 4 1 8nh me En eV n2 6 13 3 2 1 n 粒子的能量 hmcE 2 粒子的动量 h mvP 测不准关系 hPx x 15 16 电势 对点电荷 电势能 Wa qUa A a a rdEU r q U 0 4 W 17 电容 C Q U 电容器储能 W CU2 2 电场能量密度 e 0E2 2 18 磁感应强度 大小 B Fmax qv T 方向 小磁针指向 S N 定律和定理定律和定理 3 矢量叠加原理 任意一矢量可看成其独立的分量的和 即 把式中A i A A i A 换成 就分别成了位置 速度 加速度 力 电场强度和磁A r V a F E B 感应强度的叠加原理 4 牛顿定律 或 牛顿第三定律 万有引力定律 F a F dt pd F F r r Mm GF 2 5 动量定理 动量守恒 条件pI 0 p 0 外 F 精品文档 8欢迎下载8欢迎下载 6 角动量定理 角动量守恒 条件 dt Ld M 0 L 0 外 M 7 动能原理 比较势能定义式 k EA p EA 保 8 功能原理 A外 A非保内 E 机械能守恒 E 0 条件 A外 A非保内 0 9 理想气体状态方程 或 P nkT n N V N0 RT M PV 10 能量均分原理 在平衡态下 物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能 其 大小都为 kT 2 11 热力学第一 定律 E Q A 10 热力学第二定律 孤立系统 S 0 熵增加原理 11 库仑定律 k 1 4 0 r r Qq kF 2 12 高斯定理 静电场是有源场 无穷大平板 E 2 0 0 q SdE 13 环路定理 静电场无旋 因此是保守场 0ldE 14 毕奥 沙伐尔定律 2 0 4 r rlId Bd 直长载流导线 cos cos 4 21 0 r I B 无限长载流导线 r I B 2 0 载流圆圈 圆弧 R I B 2 0 22 0 R I B 大学物理 上 复习大学物理 上 复习 一 质点力学基础 一 质点力学基础 一 基本概念 一 基本概念 1 参照系 质点 2 矢径 kzj yi xr 3 位移 kzzjyyixxkzj yi xrrr 12121212 4 速度 k dt dz j dt dy i dt dx kji dt rd t r zyx t lim 0 克劳修斯表述 不可能把热量从低温物体传到高温物体而不产生其它影响 开尔文表述 不可能从单一热源吸取热量 使之完全变为有用的功而不产生其它影响 实质 在孤立系统内部发生的过程 总是由热力学概率小的宏观状态向热力学 概率大的状态进行 亦即在孤立系统内部所发生的过程总是沿着无序性 增大的方向进行 2 I r P o R 1 I 精品文档 9欢迎下载9欢迎下载 5 加速度 k dt d j dt d i dt d kajaia dt rd dt d t a z y x zyx t lim 2 2 0 6 路程 速率 7 轨迹方程 0 zyxf 8 运动方程 或 trr txx tyy tzz 9 圆周运动的加速度 牛顿定律 牛顿定律 tn aaa am dt pd F 法向加速度 切向加速度 R an 2 dt d at 10 角速度 11 加速度 dt d 2 2 dt d dt d 二 质点力学中的守恒定律 二 质点力学中的守恒定律 一 基本概念 一 基本概念 1 功 2 机械能 3 动能 b a b a dlF l d FA cos pk EEE 2 2 1 mEk 4 势能 重力势能 弹性势能 万有引力势能 mghEp 2 2 1 kxEp r Mm GEp 5 动量 6 冲量 mp t dtFI 0 7 角动量 8 力矩 prL FrM 二 基本定律和基本公式 二 基本定律和基本公式 1 动能定理 对质点 2 0 2 0 2 1 2 1 mmEEA kk 外力 对质点系 ii ikikkk EEEEAA 00内力外力 2 功能原理表达式 000pkpk EEEEEEAA 非保守内力外力 当 时 系统的机械能守恒 即 0 非保守内力外力 AA 恒量 i ipikpk EEEE 3 动量定理 对质点 pppdtFI t 0 0 精品文档 10欢迎下载10欢迎下载 对质点系 pppdtFI n i n i t n i i 1 0 1 0 1 若体系所受的合外力合外力 此时体系的动量守恒 即 0 F 恒量 i ii mp 4 碰撞定律 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 弹性碰撞 10 0 1 2010 12 e e 5 角动量定理 对质点 pr dt d dt Ld M 对质点系 i ii i i Fr dt Ld dt Ld M 外 当质点或质点系所受的合外力矩合外力矩为零时 质点或质点系的角动量守恒 即 常矢量 L 三 转动的刚体 三 转动的刚体 一 基本概念 一 基本概念 1 转动惯量 2 转动动能 连续 离散 dmr mr I i ii 2 2 2 2 1 IEk 3 力矩 4 角动量 对刚体 FrM IL 5 角冲量 6 力矩的功 tMdtMH t 0 2 1 dMA 二 基本定律和基本公式 二 基本定律和基本公式 1 平行轴公式 正交轴公式 2 mhII C yxz III 2 转动定律 3 转动动能定理 IM 2 0 2 2 1 2 1 IIdMA 4 角动量定理 00 0 IILdtMH t t 5 角动量守恒定律 若刚体受到的合外力矩 则刚体的角动量守恒0 M 恒矢量 IL 四 机械振动 四 机械振动 一 简谐振动方程 一 简谐振动方程 精品文档 11欢迎下载11欢迎下载 1 简谐振动动力学特征方程动力学特征方程 2 简谐振动运动学特征方程运动学特征方程 xkF 0 2 xx 3 简谐振动的运动方程运动方程 cos tAx 如果物体的运动规律满足上述三个方程中的任意一个 即可判定该物体的运动为简谐振动 二 描述简谐振动的物理量 二 描述简谐振动的物理量 1 周期 频率和角频率 和仅取决于振动系统本身的性质 因此称为T T 固有周期 固有频率和固有角频率 它们之间关系为 T 22 1 对于弹簧振子 有 m k k m T 2 2 2 对于单摆 有 l g g l T 2 2 2 振幅和初位相 和除与系统性质 有关外 完全由初始条件确A A 00 x 定 1 振幅 2 初位相 由 即可求A 2 02 0 xA 0 0 x tan 得 若物体初速仅知方向而不知数值时 可以采用另一种解析法或旋转矢量法来确定初位相 0 三 简谐振动的速度 加速度和能量 三 简谐振动的速度 加速度和能量 1 简谐振动的速度 2 tAtA dt dx cossin 注意 速度的位相比位移的位相超前 2 2 简谐振动的加速度 tAtAtA dt xd dt d acossincos 222 2 2 2 注意 加速度的位相比速度的位相超前 比位移的位相超前 2 3 简谐振动的能量 精品文档 12欢迎下载12欢迎下载 tAmmEk 2222 2 1 2 1 sin tkAxkEp 222 2 1 2 1 cos 2 E EE pk 222 2 1 2 1 AmkAEEE pk 四 旋转矢量投影法 四 旋转矢量投影法 该法可以简洁 直观地分析振动情况及振动的合成等问题 并能直接看出位相的超前 或落后 要求熟练掌握 五 简谐振动的合成 五 简谐振动的合成 1 同方向 同频率两简谐振动的合成 同方向 同频率两简谐振动的合成仍然是简谐 振动 其角频率与原来分振动的角频率相同 其振幅和初位相分别为 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA arctg 当时 合振动的振幅为最大 2102 12 kk 21 AAA 当时 合振动的振幅为最小 21012 12 kk 21 AAA 当分振幅 合振幅 21 AA 0 A 2 同方向 频率稍有差异的两简谐振动的合成 合振动为拍振动 振幅变化的频率 称为拍频率 大小为 21 3 相互垂直 频率相同的两简谐振动的合成 合振动质点运动的轨迹通常为椭圆 特殊情况下为直线或圆 五 机械波 五 机械波 一 机械波的产生与传播 一 机械波的产生与传播 1 条件 波源和媒质 2 位相传播 波传播的是振动的位相 沿波的传播方向 各质点振动的位相依次落后 二 波速 波长和周期 二 波速 波长和周期 波速 单位时间内 一定振动位相传播的距离 其值决定于媒质的性质 u 波长 波传播方向上位相差为的两点间的距离 表示波的空间周期性 2 周期 波中各质点完成一次完全振动所需的时间 表示波的时间周期性 T 频率 单位时间内通过波线上某一点的 完整波 的数目 1 T T u 三 平面简谐波 三 平面简谐波 波源为简谐振动 媒质为均匀的 各向同性的 无限大整个 空间 1 波动方程 波函数 0 u x tAtxy cos 精品文档 13欢迎下载13欢迎下载 2 能量密度 3 平均能量密度 0 222 u x tAw sin 22 2 1 Aw 4 平均能流密度 波强度 uAuwI 22 2 1 四 惠更斯原理 四 惠更斯原理 波所传播到的空间各点都可以看作是发射子波的波源 任一时刻这些子波的包络就是 新的波面 五 波的干涉 五 波的干涉 波的叠加原理 几列波在媒质中任一点相遇时 相遇点振动的位移等于各列波单独存 在时该点振动位移的矢量和 波的相干条件 减弱 加强 2 1 0 12 2 1 0 2 2 12 12 kk kkrr 当时 21 减弱 加强 2 1 0 2 12 2 1 0 12 kk kk rr 六 驻波 六 驻波 两列振幅相同的相干波 在同一直线上沿相反方向传播时 形成驻波 有波节和波腹 相邻两波节或波腹之间的距离为 没有位相和能量的传播 2 七 多普勒效应 七 多普勒效应 当观察者和波源相向运动时 S S R R u u 当观察者和波源相背运动时 上式和取负值 R S 六 气体动理学理论 六 气体动理学理论 一 基本概念 一 基本概念 1 平衡态 准静态过程 理想气体分子模型 统计假设 2 气体分子的自由度 srti 对于常温下的刚性分子 单原子 双原子 多原子分子的 分别为rti i 3 5 6 3 三种特征速率 麦克斯韦速率分布下 最概然速率 RTRT m kT p 414 1 22 精品文档 14欢迎下载14欢迎下载 平均速率 RTRT m kT df60 1 88 0 方均根速率 RTRT m kT df732 1 33 2 1 0 22 4 平均碰撞频率 ndZ 2 2 5 平均自由程 pd kT ndZ 22 22 1 二 基本定律和基本公式 二 基本定律和基本公式 1 状态方程 理想气体 RTpV 范德瓦尔斯气体 1mol 要理解和b的物理含义 RTbV V a p 0 2 0 2 0 V a 2 理想气体的压强公式 Tknnnmp t 3 2 3 1 2 3 能量均分定理 刚性分子 刚性多原子分子 刚性双原子分子 单原子分子 kT kT kT kT i E 2 6 2 5 2 3 2 4 理想气体的内能公式 RT i E 2 5 麦克斯韦速率分布律 物理含义 de kT m df N dN kT m 2 2 2 3 4 2 2 其中 分布函数 物理含义 2 2 2 3 4 2 2 kT m e kT m f 归一化条件 1 0 df 6 玻尔兹曼分布律 dzdydxendN kT Ep 0 kT Ep enn 0 对于重力场 kT mgh enn 0 kT mgh epp 0 7 迁移过程基本公式 精品文档 15欢迎下载15欢迎下载 1 内摩擦 S dy du Fr 3 1 2 热传导 S dy dT K dt dQ VV CC K 3 1 3 扩 散 S dy d D dt dM 3 1 D 七 热力学基础 七 热力学基础 一 基本概念 一 基本概念 1 内能 状态量 气体 理想气体 E VTEE RT i TEE 2 2 功 过程量 气体准静态过程的膨胀压缩功为 ApdVdA 2 1 V V pdVA 规定系统对外做功 外界对系统做功 0 A0 A 3 热量 过程量 规定系统吸收热量 放出热量 Q0 Q0 Q 4 摩尔热容 对于理想气体 dT dQ C 1 1 定容摩尔热容 2 定压摩尔热容 R i C mV 2 R i RCC mVmp 2 2 3 等温摩尔热容 4 绝热摩尔热容 mT C 0 mQ C 5 梅逸公式 6 比热容比 RCC mVmp i i C C mV mp 2 5 准静态过程 可逆过程和不可逆过程 6 熵 状态量 熵是系统无序度的量度 定义为 为系统某宏观态对应的 lnkS 微观状态数 二 基本定律和基本公式 二 基本定律和基本公式 1 热力学第一定律 是热运动范围内的能量守恒定律 表达式为 或dAdEdQ AEQ 2 热力学第二定律 具体表述很多 最著名的有开尔文表述和克劳修斯表述 这两种表述 是等价的 热力学第二定律指明了自然界中一切实际的热力学宏观过程都是单向的 不可逆的 热力学第二定律的微观意义 不可逆过程的实质是从一个概率较小的宏观状态向概率 精品文档 16欢迎下载16欢迎下载 较大的宏观状态的转变过程 热力学第二定律的数学表达式 1 熵增加原理 对孤立系统或绝热过程 或 0 dS0 12 SSS 式中 不等号对应不可逆过程 等号对应可逆过程 2 克劳修斯不等式 T dQ dS 2 1 12 T dQ SSS 式中 不等号对应不可逆过程 等号对应可逆过程 3 循环效率 1 2 1 1 Q Q Q A 式中 为一循环过程中系统对外所做的净功 为一循环过程中系统吸收热量的总和 A 1 Q 为一循环过程中系统放出热量的总和 绝对值 2 Q 对于卡诺循环则有 1 2 1 T T 卡 式中 和分别为高温热源和低温热源的温度 1 T 2 T 4 致冷系数 21 22 QQ Q A Q w 式中 为一循环过程中外界对系统所做的功 为一循环过程中系统从低温热源吸收A 2 Q 的热量 为一循环过程中系统向高温热源放出的热量 1 Q 对于致冷卡诺循环则有 21 2 TT T w 卡 5 卡诺定理 1 2 1 T T 卡 6 理想气体各种准静态等值过程表 过 程定容过程等压过程等温过程绝热过程多方过程 特 征 常数 V0 dV 常数 p 0 dp 常数 T 0 dT 0 Q常数 n 过程方程常数 T p 常数 T V 常数 pV 3 1 2 1 1 CpT CTV CpV 常数 n pV 精品文档 17欢迎下载17欢迎下载 A0 TRVpA 1 2 1 2 ln ln p p RT V V RTA 1 2211 VpVp TC EA mV 1 2211 n VpVp A E TR i TC mV 2 TC mV 0 TC mV TC mV Q 同E TC mp 同A0AE C R i C mV 2 RCC mVmp mT C 0 mQ C 1 n R CC mVmn i i C C mV mp 2 i i C C mV mp 2 i i C C mV mp 2 i i C C mV mp 2 热一律 EQ EAQ AQ EA 0 EAQ 物理意义 图 像 八 真空中的静电场八 真空中的静电场 一 基本概念及场的叠加原理 一 基本概念及场的叠加原理 1 电场强度 2 点电荷电场强度公式 0 q F E 0 2 0 4 r r q E 3 电场强度叠加原理 1 点电荷系的场强 i i i i i i r r q EE 0 2 0 4 1 2 电荷连续分布的任意带电体的场强 0 2 0 4 r r dq Ed 0 2 0 4 1 r r dq EdE 4 电荷在电场中受力 qEqF 5 电势 6 电势差 a a a l d E q W V 0 b a ba l d EVV ba cd p V b a c d p V d ac b p V d a c b p V b a c d p V ba c d p V d a c b p Vd ac b p V 精品文档 18欢迎下载18欢迎下载 7 电势叠加原理 电荷作连续分布 点电荷系 r dq r q VV i i i i 0 0 4 1 4 1 8 电荷在电场中运动时电场力的功 q baab VVqA 9 电场强度与电势的关系 0 n dn dV E l d EV a a 微分关系 积分关系 10 电通量 S e SdE 二 基本规律 定理 二 基本规律 定理 1 库仑定律 0 2 21 0 4 1 r r qq F 2 高斯定理 说明静电场是有源场 i S qSdE 0 1 高斯定理的意义 1 理论上 揭示了静电场是有源场的基本性质 2 应用上 提供了另一种求的简便方法 E 适用高斯定理求电场强度的 球对称 轴对称 面对称 3 环路定理 说明静电场是无旋场 保守力场 0 S l d E 说明 环流为零 静电场力作功与路径无关 静电场是无旋场 有势场 静电场线不闭E 合 三 几种典型的静电场公式 三 几种典型的静电场公式 1 均匀带电球面 Rrr r q Rr E 0 2 0 4 0 2 均匀带电球体 Rrr r q Rrr R qr E 0 2 0 0 3 0 4 4 精品文档 19欢迎下载19欢迎下载 3 无限长均匀带电圆柱面 Rrr r Rr E 0 0 2 0 4 无限长均匀带电直线 0 0 2 r r E 5 无限大均匀带电平面 方向垂直于带电平面 0 2 E 九 静电场中的导体和电介质 九 静电场中的导体和电介质 一 静电场中的导体 一 静电场中的导体 1 静电平衡条件 或 导体为等势体 表面为等势面 0 内 E 表面 表面 E 2 静电平衡时导体上的电荷分布 1 电荷全部分布在导体表面 导体内部各处净电荷为零 2 表面上各处电荷面密度与该处表面紧邻处的电场强度的大小成正比 3 静电屏蔽 1 空腔导体能屏蔽外电场的作用 2 接地的空腔导体隔离内 外电场的影响 二 静电场中的电介质 二 静电场中的电介质 1 极化的宏观效果 1 处于电场中的电介质 因极化使电介质的表面 或内部 出现束缚电荷 2 电极化强度是量度电介质极化程度的物理量 其定义为 对各向同性P V P P i 电介质 EP r 1 0 3 束缚电荷面密度 nP 2 电位移 D 1 定义 2 对于各向同性电介质 PED 0 EED r 0 三 有介质时的高斯定理 三 有介质时的高斯定理 i i S qSdD 自由 四 电介质的电容 四 电介质的电容 1 定义 BA VV q C 2 常见电容器的电容 精品文档 20欢迎下载20欢迎下载 1 平行板电容器 2 球形电容器 d S C AB BA RR RR C 4 3 圆柱形电容器 4 孤立导体 A B R R l C ln 2 RRC 4 五 静电场的能量 五 静电场的能量 1 电容器的能量 BABAe VVQVVC C Q W 2 1 2 1 2 2 2 2 电场的能量密度 DEEwe 2 1 2 1 2 3 电场的能量 VVV ee DEdVdVEdVwW 2 1 2 1 2 精品文档 21欢迎下载21欢迎下载 1 位置矢量 由坐标原点引向质点所在处的有向线段 通常用表示 r 简称位矢或矢径 在直角坐标系中 1 1 zkyixir 在自然坐标系中 1 2 srr 在平面极坐标系中 1 3 0 rrr 2 位移 由超始位置指向终止位置的有向线段 就是位矢的增量 即 1 4 12 rrr 精品文档 22欢迎下载22欢迎下载 位移是矢量 只与始 末位置有关 与质点运动的轨迹及质点在其间往返 的次数无关 路程是质点在空间运动所经历的轨迹的长度 恒为正 用符号表示 s 路程的大小与质点运动的轨迹开关有关 与质点在其往返的次数有关 故在一 般情况下 1 5 sr 但是在时 有0 t 1 6 dsdr 由于矢量的增量既有方向改变又有大小的改变 故应区分不同 rr 与 不同 drdr与 3 速度与速率 vv 平均速度 1 7 t r v 平均速率 1 8 t s v 因此 平均速度的大小 平均速率 t s t r v 质点在 时刻的瞬时速度t 1 9 dt dr v 质点在 时刻的速度t 1 10 dt ds v 由 1 6 式知 1 11 v dt ds dt dr v 精品文档 23欢迎下载23欢迎下载 可见瞬时速度的模就是瞬时速率 在直角坐标系中 1 12 kvjvivk dt dz j dt dy i dt dx v zyx 式中 分别称为速度在轴 轴 轴的分 dt dz v dt dy v dt dx v zyx xyz 量 在自然坐标系中 1 13 0 vv 式中是轨道切线方向的单位矢 0 位矢和速度是描述质点机械运动的状态参量 rv 4 加速度 1 14 2 2 dt rd dt dv a 加速度是描述质点速度变化率的物理量 在直角坐标系中 1 kajaiak dt zd j dt yd i dt xd k dt dv j dt dv i dt dv a zyx z y x 2 2 2 2 2 2 15 式中 分别称为加速 2 2 dt xd dt dv a x x 2 2 dt yd dt dv a y y 2 2 dt zd dt dv a z z 度在轴 轴 轴的分量 xyz 在自然坐标中 1 16 nx aan v dt dv a 0 2 0 式中 是加速度是轨道切线方向和法线方向的分 0 2 0 n v a dt dv a n a 量式 3 运动学中的两类问题 以直线运动为例 精品文档 24欢迎下载24欢迎下载 1 已知运动方程求质点的速度 加速度 这类问题主要是利用求导数 的方法 如已知质点的运动方程为 txx 则质点的位移 速度 加速度分别为 1 17 2 2 12 dt xd dt dv a dt dx vxxx 2 已知质点加速度函数 以及初始条件 建立质点的运动 tvxaa 方程 这类问题主要用积分方法 设初始条件为 时 0 t 00 xxvv 若 则因 taa dt dv a 所以 dttadv tv v 0 0 即 1 18 dttavv t 0 0 1 19 dttvvv t 0 0 若 则因 vaa va dt dv 所以 1 20 tv v dt va dv 0 0 求出 再解出代入 1 17 式即可求出运动方程 0 va dv t v v tvv 若 是因 有 xaa xa dx dv va 1 21 x x V V dxxavdv 00 精品文档 25欢迎下载25欢迎下载 4 曲线运动中的两类典型 抛体运动 若以抛出点为原点 水平前进方向为轴正向 向上方为轴正向 则xy 1 运动方程为 2 0 2 1 singttvy t cos vx 0 2 速度方程为 gtvv v y sin cos 0 0 x v 3 在最高点时 故达最高点的时间为0 y v 1 22 g v tH sin 0 所以射高为 1 23 g v H 2 2sin 2 0 飞得总时间 H tT2 水平射程 1 24 g v R 2sin 2 0 4 轨道方程为 1 25 2 2 0 cos 2 tanx v g xy 圆周运动 1 描述圆周运动的两种方法 线量 角量 0 dsdr d 00 dt ds vv dt d 精品文档 26欢迎下载26欢迎下载 1 0 2 0 2 2 0 2 0 n R v dt sd n R v dt dv a 2 2 dt d dt d 26 线量与角量的关系 Rv Rddr 1 27 2 RaRa n 2 匀角加速 即 常数 圆周运动 可与匀加速直线运动类比 故有 t 0 2 00 2 1 tt 1 28 2 0 2 0 2 3 匀变速率 即常数 的曲线运动 以轨道为一维坐标轴 以弧 x a 长为坐标 亦可与匀加速直线运动类比而有 tavv x 0 2 00 2 1 tatvss 1 29 2 0 2 0 2 ssavv 4 匀速率圆周运动 即 它在直角坐标系中的运动方程为0 a 1 30 tRv tRx y sin cos 轨道方程为 1 31 22 yxR 5 刚体定轴转动的描述 1 定轴转动的角量描述 刚体在定轴转动时 定义垂直于转轴的平面 为转动平面 这时刚体上各质点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的圆周运 精品文档 27欢迎下载27欢迎下载 动 在刚体中任选一转动平面 以轴与转动平面的交点为坐标原点 过原点 任引一条射线为极轴 则从原点引向考察质点的位矢与极轴的夹角即为角 i r 位置 于是一样可引入角速度 角加速度 即本书对质点圆周运动的描述 1 26 1 27 1 28 式中在刚体的定轴转动中依然成立 2 刚体定轴转动的运动学特点 角量描述的共性 即所有质点都有 相同的角位移 角速度 角加速度 线量描述的是个性 即各质点的线位移 线速度 线加速度与质点到轴的距离成正比 6 相对运动的概念 1 我们只讨论两个参考系的相对运动是平动而没有转动的情况 设相 对于观察者静止的参考系为 S 相对于 S 系作平动的参考系为 则运动物体 S A 相对于 S 系和系的位矢 速度 加速度变换关系分别为 S 1 32 SSSAAS SSSAAS SSSAAS aaa rvv rrr 2 上述变换关系只在低速 即 运动条件下成立 如果系相cv S 对于 S 系有转动 则 1 32 式中的速度变换关系亦成立 而加速度变换关系 不成立 二 重点 难点分析 1 关于矢量性 1 注意区分矢量 A 的增量的模和模的增量 12 AAA 在运动学中要区分 12 AAA 12 12 rrr rrr 位矢的模的增量 位矢的增量的模 12 12 vvv vvv 速度模的增量 速度增量的模 精品文档 28欢迎下载28欢迎下载 上述关系可用图 1 1 表示 图中 表示矢量的增量 故矢量增量的模当然表示为 12 AAA 而 表示矢量 A 的模的增 12 AAA 1222 AAOcAAA 量 由此可知 小它是速度径向分量的大 表示位矢的模的变化率 表示速度的大小 r v dt dr v dt dr dt dr dt dr 表示切向加速度的大小 表示加速度的大小 a dt dv a dt dv dt dv dt dv 2 切忌将矢量与其模连等 例如下面的等式就mjir47 4 24 是一种错误的书写方式 2 用矢量方法来描述物理规律 其优越性在于 a 具有鲜明的物理意 义 b 简洁的数学形式及对于各种坐标系保持不变的形式 具体运算时 常将 各矢量写成坐标分量式 如一个作平面曲线运动的质点 其加速度 a 可分别表 示为 0 2 000 2 2 2 2 n v dt dv naa dt dv a j dt yd i dt xd jaia dt dv a yx yx 即如图 1 2 2 关于瞬时性 在中学读者所遇到的物理量都是恒量 如匀加速 即 常量 恒力作用a 即 F 常量 但在大学物理中我们接触到的基本上是变量 如 t a a F F t 等 因此 必须应用微积分的知识 在运动学中 从运动方程求速度 加速度主要是求导的方法 从速度 加 速度和初始条件求运动方程主要是用积分的方法 当被积函数的变量与积分元 精品文档 29欢迎下载29欢迎下载 的变量不一致时 要通过恒等变换使得两者一致 例如 一质点的加速度 3 5x 求其速度表示式 a 显然 若只是简单地写成下式 dtxdv x dt dv a 53 53 是不能完成题目所求的 因为等式右边被积函数 3 5x 是 x 的函数 而积分变量是 t 为完成这个积分 须进行下面的恒等变换 因为 v dx dv dt dx dx dv dt dv a 所以 dxxvdv 53 若设初始条件为 则有0 0 00 vx xv dxxvdv 00 53 积分解得 2 56xxv 作定轴转动的刚体同样存在两类问题 即已知刚体定轴转动的运动方程求 角速度 角加速度 已知刚体定轴转动的角加速度的函数及初始条件 求运动 方程 对这些知识 能力的要求与质点在直线运动中的要求相同 此处不再重 复 3 关于相对性 式 1 32 描述的是同一个运动在两个平动参考系中的运动学量之间的 转换关系 正确运用 1 32 式的关键是明确每个运动学量与观察者之间的关 系 即要区分 牵连 相对 绝对 等物理量 例如 为牵连位矢 SS r 为相对位矢 为绝对位矢 AS r AS r 遵从 1 32 式适用的条件和范围是正确运用的另一个关键 4 自然坐标系 大家不太熟悉 因而是难点之一 这里的关键是记住下面一组公式并能熟 练应用 精品文档 30欢迎下载30欢迎下载 R vv a dt sd dt dv a dt ds v n 22 2 2 例如一质点沿半径为 R 的圆周按规律运动 b c 均为常数 2 2 1 ctbts 且 则其切向加速度和法向另速度相等所经历的最小时间是多少 Rcb 解 由于 c dt sd actb dt ds v 2 2 R ctb R v an 22 故 当时 n aa 2 c R ctb c R c b t min 解题示例 例 1 1 质点作平面曲线运动 已知 求 1 质mtytmx 2 1 3 点运动的轨道方程 2 地的位矢 3 第 2内的位移和平均速度 st3 s 4 时的速度和加速度 5 时刻 t 的切向加速度和法向加速度 st2 6 时质点所在处轨道的曲率半径 st2 解 1 由运动方程消去 t 得轨道方程为 9 1 2 x y 2 时的位矢 大小为st3 jijyixr89 3 3 33 方向由与轴的夹角mr126481 3 3 rx 精品文档 31欢迎下载31欢迎下载 表示 3841 3 3 arctan x y a 3 第 2内的位移为 sjijyyixxr33 1 2 1 2 大小 方向与与轴成 平均速mr2399 x 45arctan x y a 度的大小不能用表示 但它的分量可表示为 vvyx t y v t x v yx 4 由 23当时tjij dt dy i dt dx v 43 2 jiv 大小 853 3 4 arctan 5169 2 1 asmv方向为 j d