华东师大数学分析习题解答5

数学分析选论习题解答第 五 章 级数下列命题中有些是真命题，有些是伪命题对真命题简述理由；对假命题举出反例（题中“”是“”的简写）：（），发散发散；（），收敛收敛；（）收敛收敛；（），绝对收敛绝对收敛；（）收敛，绝对收敛绝对收敛；（）收敛，收敛；（）收敛，收敛；（）收敛；（）收敛收敛；（）收敛；（）收敛收敛；（）收敛收敛；（）与收敛收敛；（）收敛收敛；（）发散；（）收敛收敛；（）收敛；（）收敛收敛；（）与同敛态；（）收敛解其中有十二个真命题：（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）；其余八个是伪命题现依此简述如下：（）反例：为收敛（）反例：收敛，为发散（）因（），（） 因 收敛收敛（）反例：，为发散（）因 ，收敛（）因（）据阿贝尔判别法，收敛，单调有界，故收敛（）反例：收敛，而不存在极限（）由收敛，（）反例：收敛，发散（）（）反例： 发散，但因，故 为收敛（）反例：收敛，满足（）（）反例：同（）题（）收敛时，有所以满足柯西条件，从而收敛（）可见与同时收敛，或同时发散（）设的前项部分和为，且则有设为证项级数，试证对数判别法：（） 若存在和，使得当 时，有，则收敛；（）若存在，使得当 时，有，则发散证把不等式分别改写成：（）；（）根据比较法则，（）时收敛；（）时发散利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性：（）；（）；（）解（），故收敛（），故收敛（），由于，故当时收敛；时发散证明：（） 若收敛，则收敛；（） 若收敛，则时也收敛证（）由阿贝尔判别法，已知收敛，而单调有界，故收敛（）同理，由，收敛，当时单调有界，故收敛证明：若与都在上一致收敛，则在上也一致收敛证设，依据定义，当时，对一切，恒有，；于是又有所以，注：本题也可用确界逼近准则（ p.138 定理5.2 ）来证明设在区间上一致连续，且，试证：，证因在上一致连续，故，只要，便有对上述，由，必定，当时，对一切，均有记，则有这就证得 ， 证明：在上一致收敛的必要条件是证设，则由题易知设收敛，试证上一致收敛证由一致收敛的阿贝尔判别法，数项级数收敛即一致收敛；对每个，对单调（减），且一致有界故在上一致收敛 判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛：（），；（），；（），（），（）；（）解（）由于，且，因此，（）由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法，为一致有界；，关于单调（减）；且，从而，所以，在上为一致收敛（） 事实上，记，由 ，求出的最大值点，和最大值由于，因此（） 设，则有（）由于，因此在上不一致收敛，从而在上更不一致收敛（）当时，由于，因此，（） 设由于，因此有根据优级数判别法，由收敛，可知在上一致收敛 证明：在任何闭区间上一致收敛；但对任何不绝对收敛 证由于为一致有界，关于单调（减），设，因此根据狄利克雷判别法，该级数在任何上一致收敛又因对任何，所以发散 设在上可积，试证在上一致收敛证设，则可依次估计得：，而易用比式判别法得知它收敛，故级数在上一致收敛已知在上一致收敛试讨论：当在上满足何种条件时，就能保证在上一致收敛？解这里可用一致收敛的柯西准则来讨论由于在上一致收敛，故，当时，对一切和，恒使而，因此当设在上有界，即时，就有此即表示在上一致收敛证明：若对每个是上的单调函数，且都绝对收敛，则在上为绝对一致收敛证由假设条件，对每一个有由于与都收敛，因此 与也都收敛，从而收敛依据优级数判别法，证得在上为一致收敛设试求解由于，而为收敛，因此为一致收敛，于是可以逐项求积据此便可求得设函数在内连续可微，记试证：（）在任何上一致收敛于；（）证（）由于在上连续，从而一致连续故，只要 且, 便有而由假设，所以，当时，对任何，恒有这就证得，（） 利用逐项积分定理，易得证明：函数在上连续，且有连续的导数证由于，收敛，因此在上一致收敛又，收敛，故在上也一致收敛因为在上满足定理和定理的条件，所以在上连续，且有，又因