复变函数-工科复变3-2

1,3-3 Cauchy积分公式 和高阶导数公式,2,先观察等式 与 的左端与右端的特征，再寻找将它的变形后的等式的左端与右端的联系后，发现，它们均满足 于是，我们可提出下面的问题来研究：等式 对于 来说，是否是必然规律？积分基本公式对此作了回答,3,1.问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,4,5,2.Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,6,证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘 ，并且记其边界为圆 。在 上，挖去圆盘 ，余下的点集是一个闭区域 。在 上 函数解析，由柯西定理有：在这里沿 的积分是按照 区域的正向取的，沿 的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：,7,记 由柯西定理知： 是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和 在 是连续性，所以对于任意的 ，可以找到,8,使得当 ， 时，有从而当 时，,9,例 1,解,由Cauchy积分公式,10,例 2,解,由Cauchy积分公式,11,例3计算积分,被积函数在积分路径内部含有两个奇点,与,作,，有,计算上式右端两个积分,12,故,13,关于Cauchy积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示.,（这是解析函数的一个重要特征）,(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个 积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),14,观察下列等式,问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？,15,亦即 抽象后有 上式是必然的吗？下面的定理给予了回答,16,3、解析函数的高阶导数定理,设 为有界多连域（单连域），其边界正向曲线为复闭路 （简单闭路 ） 在 内及边界 上解析，则函数 在 内有任意阶导数，对于给定的 和自然数 有,17,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,18,证明： 在 内任意一点 有导数，现证明当 时，式（3-3-3）成立。设 ，由导数定义我们仅需要证明：当 时，,19,现在来估计上式右边的积分。 设以 为心，以 为半径的圆盘完全包含在 内，并且在这圆盘内取 使得 ，那么当 时，设 在 上的一个上界是 ，并且设 的长度为 ，于是我们有因此，当 ，（3-3-4）成立 。,20,现在用数学归纳法来完成定理的证明。假设（3-3-3）当 时成立。 取 与 同上，那么,21,由此可以证明：当 ， 的右边趋于零。于是（3-3-3）当 时成立时。证毕。推论： 若函数 在点 解析，则存在点 的一个邻域 ，使得在该邻域内 有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和 的各阶偏导数不仅存在而且都连续。 证明： 由函数在点 解析知：可作一圆盘使得 在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。,22,例1计算积分,解：由高阶导数公式,23,例2 （1） （2）解 （1） 函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面 ，从而在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：,24,（2）同理 其中在闭圆盘 上解析，因此,25,例 3,解,26,27,4.典型例题,例 4,解,由Cauchy积分公式,28,例 5,解,根据Cauchy积分公式知,29,例 6,解,30,例 6,解,31,由复合闭路定理, 得,例 6,解,32,例 7,解,33,根据复合闭路原理,34,于是,35,例 8,解,由Cauchy 积分定理得,由Cauchy积分公式得,36,37,例9,解,38,根据复合闭路原理和高阶导数公式,39,40,三、解析函数的实部和虚部与调和函数,由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。定义1 若 在平面区域D内有二阶连续偏导数，并且满足 Laplace 方程:则称 为区域D内的调和函数。 工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.,D,41,定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证明,根据解析函数的导函数仍是解析函数, 因此,42,再由二阶导函数的连续性,43,人们常常要问：,即：区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数.,44,现在会提出如下问题：,或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函数 u(x,y) ，使得 f (z)=uiv 是D上的解析函数?,已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=uiv是D上的解析函数?,回答是肯定的.,45,下面讨论这个问题，即已知 是区域 内的调和函数，利用函数在 内解析的充分必要条件，求出解析函数使得其实部或者虚部在 内为 。 由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此我们只讨论 为单连通区域情形。,46,先讨论在单连通区域 内，已知解析函数的实部 ，求其虚部调和函数 。这时由C-R条件，由于 在单连通区域 内调和，可得,47,因此由本章命题2（积分与路径无关）可求出 为其中 为任意实常数，该积分在 内与积分路径无关。 可在 内取定点 和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点 到点 再到点 的折线段可得,48,同理在单连通区域 内如果已知解析函数的虚部 ，可求其实部调和函数,49,例1 已知 在右半平面 是调和函数，求在该半平面解析的函数 使得,解：求偏导数得,且,50,解法1 由CR条件得：由 积分得,51,两边对 求导，并且与上面所得的 比较有于是得 即 从而,52,于是进一步由条件 可得 最后结果有,53,解法2 在该右半平面内取点由式（3.1）得,54,3. 计算实例,解,例 1,55,得解析函数,这个函数可以化为,56,注：此处用到解析函数的唯一性定理。,另一方法,57,例 2,解,58,59,所求解析函数为,60,解,所求解析函数为,另一方法,61,例 3,解,62,解,例 4,两边同时求导数,上两式分别相加减可得,63,3-4* 平面调和场及其复势,64,本章主要内容,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,积分公式及计算,65,注意,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式;,3. 复合闭路定理与复积分的计算.,66,练习 1,67,解,当 时,解答,68,练习 2,69,因此由柯西积分公式得,解答,70,71,