复变函数-工科复变5-1

1,从上一章可以看出，利用将函数 在其解析的环域 内展开成 Laurent 级数的方法，根据该级数系数的积分表达式可以计算右端的积分, 其中 是该环域内围绕点 的正向简单闭曲线。这里 的内部可能有函数 的有限个甚至无穷多个奇点。 本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。,2,第五章 留数及其应用,5-1 函数的孤立奇点及其分类5-2 留数和留数定理5-3 留数在定积分计算中的应用5-4 幅角原理及其应用,3,5-1 函数的孤立奇点及其分类,一、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态,4,在,例1,是函数,的孤立奇点.,一 、函数孤立奇点的概念及其分类,5,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,6,例3 指出函数 的孤立奇点,解：z=0是函数f(z)的奇点，zk=2/(2k+1)(k为整数)是它的孤立奇点。由于当 时， ，因此，z=0是它的奇点而不是孤立奇点。另外，f(z)在环域 内解析， 是它的孤立奇点。,7,8,定义1 若级数 中所含 的负幂项的项数分别为1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个，则分别称 为 的可去奇点、极点和本性奇点。且当 为极点时，若级数中负幂的系数 并且 则称 为 的 级极点，一级极点又称为简单极点。,9,1 可去奇点,如果Laurent级数中不含 的负幂项,则称孤立奇点 称为 的可去奇点.,定义,二、函数各类孤立奇点的充要条件,10,可补充定义,存在，,则 必是 的可去奇点。,事实上：,在 的某邻域,有界。,(由于这个原因，因此把这样的奇点 叫做f(z)的可去奇点。),11,即,这样得到下面的结论：,12,由定义判断:,幂项,由极限判断：,若极限 存在且为有限值,的可去奇点的充要条件为,注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规定,13,解,无负幂项,另解,14,如果补充定义:,时,15,显然不含负幂项。,例 z=0为函数 的孤立点，且当 时， ，因此z=0为它的可去奇点，且可补充定义 ，使它处处解析。其中 在点 的去心邻域 ， 的 Laurent 级数展开式为,16,2 极点,其中关于,的最高幂为,即,级极点.,那末孤立奇点,称为函数,的,定义,如果Laurent级数中只有有限多个,的,负幂项,17,则,由极点的定义,18,注意到:,由此可得：,19,的极点的充要条件是,为函数,例,有理分式函数,是二级极点,是一级极点.,由此也得：,20,的Laurent展开式中含有,的负幂项为有,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,由定义判别：,由定义的等价形式判别：,由极限判别：,判断 .,21,例如 是函数 的二级极点，这里,22,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,解析且,23,3 本性奇点,则孤立奇点,称为,的本性奇点.,若Laurent级数中含有无穷多个,的负幂项,例如，,含有无穷多个z的负幂项,同时,不存在.,24,例,为f(z)的孤立奇点.,综上，当z0为f(z)的孤立奇点时，可用极限 值存在有限、为 、不存在，来区分奇点是可去奇点、极点还是本性奇点。,25,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为有限值,无负幂项,含无穷多个负幂项,不存在,26,三、用函数的零点判断极点的类型,27,1、函数的零点,例,定义,若函数,在点 解析，并且,，则称,为函数,的零点,28,29,m 级零点的判别方法,零点的充要条件是：,定理1 如果,在,解析, 那末,为,的,级,证明：对于在点 解析函数 来说，它在该点的邻域内的Taylor 级数展开式的系数是唯一的，并且有，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有,30,定理2,其中,在点,解析，且,为,的,m级零点的充要条件为,另外，我们有,我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。,31,证明：如果 是函数 的m级零点，则,此处展开式的前m项系数都为零。,若记,则有,其中： 在 处解析，并且,32,推论1 点 为 的 级极点的充要条件为 是 的 级零点。,推论2 若点 为函数 的 级零点 ，则z0为函数 的 级零点；当 时，z0为函数 的 级极点。,33,推论3(LHospital法则) 设函数 不恒为零，若 为函数 和 的零点(极点)，则当 时，函数 的极限一定存在或为 ，且有,注意： 若函数 在点 解析， ，则当 为函数 的 级零点或 级极点时， 也分别是函数 的 级零点或 级极点。,34,练习,求,的奇点, 如果是极点, 指出它的,级数.,答案,35,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,36,解,这些奇点是,孤立奇点.,推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,37,例3求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数 （2）解： 显然 和 是函数 的孤立奇点，分别取 和,则可见 和 分别是 的二级极点和三级极点。,38,（4）解： 点 为 的一级零点; 函数 的零点为 ， 且 在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2， 为函数 的二级零点，又由推论1及其注意， 它为 的二级极点，而为 的简单极点。,39,四、 解析函数在无穷远点的性质,定义 如果函数 在区域 内解析，则称无穷远点 为 的孤立奇点。 在 内， 的罗伦展开式为 作变换 ，则在 内的解析函数 的罗朗展开式为：,40,定义 如果 是函数 的可去奇点， 极点 或者本性奇点，则 分别称是 的可去奇点， 极点或者本性奇点. 因此（1）如果当 时， ,那么称 为函数 的可去奇点；（2）如果只有有限（至少有一个）正整数 ，使得 ，那么称 是函数 的极点。,（3）如果有无穷多个正整数 ，使得 ，那么称 是函数 的本性奇点。,41,当 是函数 的极点时.设对于正整数 ，当 时， ，此时称 是函数 的 级极点。特别地， 时，称 是函数 的单极点,42,定