大学物理-振动与波动

2-1 简谐振动 2-2 简谐振动的合成 2-3 波的描述 2-4波的衍射和干涉 2-5声波及超声波的生物效应,第二章 振动和波动,广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。,机械振动：物体在某一位置附近往复运动,复杂振动 = 若干个简谐振动的合成,研究目的 利用、减弱 或 消除,振动频率,周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次,一、描述简谐振动的特征量,令,2.1 简谐振动,质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质量的物体，称此系统为弹簧振子。建 立 如 图的 坐 标系 物体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F.,此方程的通解为：,物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为简谐振动。,上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）,简谐振动的动力学特征方程,简谐振动的动力学条件,A 振幅,T 周期,谐振动的特征量,频率,1、,2、,圆频率又称固有圆频率,3、,确定物体振动状态的物理量,简谐振动的各阶导数也都作简谐振动,二 、简谐运动的速度和加速度,简谐振动的运动学特征方程,三、 振 动 曲 线 旋转矢量,1. 振 动 曲 线,建立如图坐标系，以平衡位置为坐标原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回复力为 f 和重力 mg,例：,物体的质量为 m , 弹簧的劲度系数为 k 。其静止变形,手拉物体后无初速地释放，确定物体的运动规律 。,在平衡位置处,物体受的合力：,例、单摆,1、细线质量不计,3、阻力不计,摆角在作简谐振动,固有 园频率,0,质点 m 受力如图重力矩：,根据质点的动量距定理,设初始条件,振幅和初相=,？,3. 简谐振动的矢量图示法,采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。,旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。,振动相位,逆时针方向,M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：,的长度,旋转的角速度,旋转的方向,与参考方向x 的夹角,振幅A,振动圆频率,绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量 ，在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。,振幅矢量, t+ 相位,旋转矢量,速度、加速度的旋转矢量表示法：,沿X 轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。,M 点:,两个同频率的简谐运动：,相位之差为,采用旋转矢量直观表示为：,同相,反相,已知简谐振动表达,x,A(0),A,试画出振动曲线,例题1,一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。求：（1）简谐运动表达式； （2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度； （3）第一次通过平衡位置的时刻。,解： （1）, ?,例题2,（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；,返回10,（3）第一次通过平衡位置的时刻。,振幅矢量旋转角度,问题转化为：已知旋转2需要T 时间，问旋转 5 /6 需要多少时间？,还可以求“第二次”旋转角度11 /6,平衡位置,返回10,动能,势能,单摆的能量,LC 电路的能量,四、简谐振动的能量,能量随时间变化,能量随空间变化,胡玉才：e-mail ,五、阻尼振动,受迫振动 共振,1.阻尼振动,振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。,在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。,阻尼：消耗振动系统能量的原因。,阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼,阻尼振动的准周期性,减幅振动,阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。,位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有,显而易见，由于阻尼，振动变慢了。,阻尼振动的振幅为：,振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。,阻尼振动的三种情形：,欠阻尼,通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。,2. 受迫振动 共振,物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。,共振,对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。,根据,共振,受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。,根据,共振,在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。, 代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,2.2 简谐振动的合成,一 、同方向同频率的简谐振动的合成,结论：,仍然是同频率的简谐振动。,合振幅,式中：,可见：,合振幅最大。, 几何方法,(旋转矢量图示法),上面得到：,讨论一：,合振幅最大。,当,讨论二：,当,讨论三：,一般情况：,二.相互垂直的简谐振动的合成,1.同频率,这是椭圆方程，质点的轨迹一般是个斜椭圆。,讨论几个特例 11 12,y 超前 /2， 轨迹顺时针右旋。,y 落后 /2， 轨迹顺时针左旋。,几种特殊情况：,Q,P,.,2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,几幅典型的利萨如图形,2-3 波的描述,一、机械波的传播,机械波产生的条件:弹性介质和波源,弹性介质:是指由弹性力组合的连续介质。,波动：振动的传播（振动状态的传播）,机械波：机械振动在媒质中的传播。,振动方向与传播方向垂直,振动方向与传播方向一致,水波,质元在自己的平衡位置附近振动，并不迁移,2.波的几何描述,波面：同位相各点所组成面（位相差为零）,波前：离波源最远即最前方的波面,波线：表明波传播方向的线,在均匀且各向同性的媒质中波线与波面始终是垂直的,球面波：波前为球面,平面波：波前为平面,3.波的特征量,(1)波速 u =,跟踪某一相位，沿波线方向相位传播的速度.它与媒质的性质有关,波速单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速 ，也称之相速 。,Y 杨氏弹性模量 体密度,固体中,N 切变模量,N Y 横波x1 = x2x1,(10 t +6x2) (10 t +6x1)=2, = x2x1 = /3,T： 每个质元作一次完全振动（相位增加2）的时间,X点： t1t2 时间内相位改变了2 ,(10 t2 + 6x)(10 t1 + 6x)=2,t2t1=/5,（2）波谷经过原点的时刻,解：（2）,y=0.02cos(10t+6x),t = 0 时波形图,原点 y =0.02cos10t,波谷经过原点 y(0 ,t) = 0.02,t = (2k+1)/10 k =0 ， 1,（3）t=6 s时各波峰的位置,t =6sy =0.02cos(60+6x),波峰 y =0.02,X = (k/3) 10,o,y,x,u,思考题,t,y,o,求O点的初相,求振动的初相,y,x =0,y,2-4 波的衍射和干涉,一、惠更斯原理,波传播时，任一波阵面上的每一点都可以看作发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波阵面。,球面波,平面波,二、波的衍射,当障碍物的线度接近光的波长，衍射现象尤其显著。,衍射：波能绕过障碍物的边缘继续前进的现象,三、波的干涉,1.波的叠加原理,在各个波重叠处,质点的振动位移是各个波单独存在时在时在该点引起振动位移的矢量和.,2.波的干涉,现象：几列波叠加时产生强度的稳定分布,波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相差恒定。,P点,相位差：,合振动：,合振幅：,强度：,（强度最大）干涉相长：,（强度最小）干涉相消：,时，波程差,强度最大,强度最小,四、 波的能量,一. 弹性波的能量 能量密度,振动动能 形变势能,1 弹性波的能量密度,(以细长棒为例),动能,动能密度,势能密度,棒中有纵波时,能量密度,2 平面简谐波的能量密度,(x,t)=Acos( t-kx),能量密度,wk、w p均随 t 周期性变化,(1) 固定x,物理意义,w k = w p,(2) 固定t,wk、w p随x周期分布,=0w k w p最大, 最大 wk w p为 0,o,T,t,wk,wp,x = x0,(1/4) 2A2,3. 能流(能通量)、波的强度,（1） 能流(能通量),能流 :,单位时间内通过某 一面的能量。,平均能流,（2）能流密度,垂直于传播方向的单位面积的能流,能流密度的时间平均值,平面简谐波,平面简谐波,w u = u 2A2sin2( t-kx),波的强度,平面简谐波沿 x 方向传播，媒质不吸收能量,球面波,（1）声波机械纵波,可闻声波 ：20 Hz-20000Hz,次声波 ：20000Hz,一、声波,2-5 声波及超声波的生物效应,（2）声强：声波的能流密度,（3） 声强级,单位：贝尔（Bel）,单位： 分贝（dB）,人耳能忍受的最大声强,人耳有听觉的最小声强,引起听觉的声波的声强范围：10-12 w/m21 w/m2,标准声强,闹