大学物理-气体动理论

2017/12/28,1,第三章 气体动理论,理想气体状态方程气体动理论的压强公式气体动理论的温度公式能量均分定理,麦克斯韦速率分布律 玻耳兹曼分布律,2017/12/28,2,3.1 理想气体状态方程,一、平衡态:,热学中,能为我们感官所察觉的物体称为热力学系统. 以外的物体统称外界。,宏观量: 表征系统状态和属性的物理量, 它可以直接用仪器测量。,微观量: 描述一个微观粒子运动状态的物理量,平衡过程:气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历的 过渡方式称为状态变化的过程. 如果过程所经历的所有中间状态都无限接近平衡状态, 该过程称为平衡过程.,平衡态: 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性质不随时间 改变的状态。热动平衡,2017/12/28,3,1帕=10巴,3、热力学温度 T: K T= t +273.16,2、压强 P: 帕,二、状态参量:,1、气体所占的体积 V:,4、气体的质量 M m(一个分子质量） M=Nm, （摩尔质量 ） =Nam 阿佛加得罗常数,（摩尔数）,2017/12/28,4,三、理想气体状态方程:,2017/12/28,5,解: (1),(2) 设漏气后的压力、温度、质量分别为,例:容器内装有氧气0.10kg,压力为10个大气压,温度为 。因 为漏气,经过若干时间后,压力降到原来的 ,温度降到 。,求: (1) 容器的容积, (2) 漏去了多少氧气?,2017/12/28,6,一. 理想气体微观模型的基本假设,1. 关于每个分子性质的假设,（1）分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度分子间的平均距离）（2）分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 （忽略重力）（3）服从牛顿力学规律（4）弹性碰撞（动能不变） 理想气体分子是遵守牛顿力学规律的自由运动 的弹性质点,3 -2气体动理论的压强公式,2017/12/28,7,2、关于分子集体的统计性假设：,dV-体积元（宏观小，微观大）,（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；（2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；,2017/12/28,8,二理想气体压强公式的推导,把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差不多。,设第i 组分子的速度在 区间内。,以 ni 表示第i 组分子的分子数密度。 总的分子数密度为,讨论对象：,一定质量的处于平衡态的某种理想气体。,2017/12/28,9, 考虑速度在 区间的 一个分子对器壁碰撞的冲量, 考虑所有各组分子在d t时间内，对面积 dA的冲量, 考虑整个气体对器壁的压强,讨论分四步进行：, 考虑速度在 区间的 所有分子在 dt 时间内对面积 dA 的冲量,2017/12/28,10,(1) 考虑速度在 区间的 一个分子对垂直于x的器壁碰撞的冲量：,大量分子对垂直x方向的 器壁碰撞，在 y, z方向 的合力是为零的。,设分子质量为m,因为是弹性碰撞，一个分子在 x方向的速度分量由vix变为 vix , 分子的动量的增量为,所以，没有切向力，只有沿 x 轴的法向力，只须考虑 x方向的冲量。,2017/12/28,11,(-mvix ) - mvix= - 2mvix,分子受的冲量为 -2mvix,器壁受的冲量为 2mvix,(2) 考虑速度在 区间的所有 分子在dt 时间内对面积dA的冲量：,处于小柱体内的，速度基本上为 的分子 都能在 d t 时间内碰到 dA 上，,2017/12/28,12,（3）考虑 d t 内，所有各组分子对 dA 的冲量：,它们给dA的冲量为,2017/12/28,13,（4）考虑整个气体对器壁的压强：,设分子的平均平动动能为,则,2017/12/28,14,压强只有统计意义。,事实证明：这个压强公式是与实验相符的；,上面的微观假设和统计方法也是正确的。,思考：,推导过程中是否应考虑小柱体内，会有速度为 的分子被碰撞出小柱体，而未打到 dA 面上?,三、几点讨论,1.压强是表示大量分子在单位时间内施于器壁单位面积 上的冲量。这里的压强只是统计概念,2.显示了宏观量和微观量的关系,2017/12/28,15,一定质量的处于平衡态的某种理想气体。 把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小， 方向都差不多。,二理想气体压强公式的推导,一次碰撞单分子动量变化,在 dt 时间内与dA碰撞的分子数,ni vix dt dA,设 dA 法向为 x 轴,2 mvix,2017/12/28,16,dt 时间内传给 dA 的冲量为,三、几点讨论,气体动理论的压强公式：,1.压强是表示大量分子在单位时间内施于器壁单位面积 上的冲量。这里的压强只是统计概念,2.显示了宏观量和微观量的关系,2017/12/28,17,二、几点讨论,1、温度是分子无规则热运动强弱的标志，热力学温度是分子平均平动动能的量度,2、温度是个统计概念，是用来描述大量分子的集体状态，对单个分子谈论它的温度是毫无意义的。,3.3 气体动理论的温度公式,一、理想气体的温度公式,或,三、方均根速率,2017/12/28,18,一、自由度 i,确定物体位置的独立坐标数目,例,1、质点 x y z,i =3 平动自由度,2、刚性细杆,3、刚体,位置x y z,方向 ,i =5 （3 平动+2 转动）,位置 x y z,方向 ,自转角度 ,i =6 （3 平动+3 转动）,弹性物体+ 振动自由度,气体分子,单原子,双原子 （常温）,多原子 （常温）,高温时分子类似于弹性体 要考虑振动自由度,3.4 能量均分定理,2017/12/28,19,二、能量按自由度均分定理,平衡态理想气体分子平均平动动能,温度为T 的平衡态理想气体,分子的每一个平动自由度对应一份相同的能量,分子的每一个自由度对应一份相同的能量,分子平均总动能,单原子,双原子,多原子,2017/12/28,20,内能：与系统内所有分子热运动相关的能量,动能,相互作用势能,化学能、核能,不涉及化学反应、核反应,理想气体不考虑 相互作用势能,T K, mol,1mol 理想气体的内能,理想气体的内能是温度的单值函数！,三、理想气体的内能,理想气体的内能：动能,2017/12/28,21,说明,1、前面的结果是对应温度不太高，只考虑分子的平 动、转动，并且除了碰撞分子间没有其他作用力。,（1）对于个别分子，某一瞬间的总能量可能与,差别很大。,（2）当考虑分子转动、振动的量子效应时，能量均分的概念不再成立 。,2、高温时，视作弹性体的分子，还要考虑振动的动能和弹性势能所对应的能量。,3、能量均分定理是按经典的统计规律得出的结果，所以：,2017/12/28,22,理想气体系统由氧气组成，压强P =1atm，温度T = 27oC。,例题,求（1）单位体积内的分子数；（2）分子的平均 平动动能和平均转动动能；（3）单位体积中的内能。,解（1） 根据,（2）,（3）,2017/12/28,23,例题,将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气，求内能增加的百分比,解,2 mol 水,2 mol 氢气,1 mol 氧气,2017/12/28,24,3.5 麦克斯韦速率分布,一、速率分布函数,考察总分子数为N，温度T 的 平衡态气体系统分子速率分布。,把速率v（0，）分成一个个 d v 小区间,考察每个d v 区间的分子数d Nv,d Nv,速率分布函数速率在v 附近，单位速率区间的分子数占总分子书的百分比。,2017/12/28,25,二、麦克斯韦速率分布率,to13,（2）平衡态麦克斯韦速率分布函数,（1）速率在vv+d v区间的分子数，占总分子数的百分比,2017/12/28,26,三、麦克斯韦速率分布曲线,1、曲线下的小面积表示速率在 区间的分子数占总数的百分比,2、不同速率区间的分子数占总数的百分比不同, 概率不同,3、曲线下的总面积是一, 归一化条件,2017/12/28,27,1、对于给定气体f（v）只是T 的函数。,T1,T2,T，速率分布曲线如何变化？,温度升高，速率大的分子 数增多，曲线峰右移，曲线下面积保持不变，所以峰值下降。,2、速率分布是统计规律，只能说：某一速率区间的分子有多少；不能说：速率为某一值的分子有多少。,3、由于分子运动的无规则性，任何速率区间的分子数都在不断变化，dNv 只表示统计平均值。为了使dNv 有意义，dv必须宏观足够小，微观足够大。,注意：,T1 T2,2017/12/28,28,v0v0+d v,（1）速率在v0v0+d v区间的分子数，占总分子数的百分比,（2）速率在v1v2 区间的分子数，占总分子数的百分比,v1 v2,to18,2017/12/28,29,（3）全部分子占总分子数的百分比=1,归一化条件,（4）速率在v1v2 区间的分子的平均速率,（5）全部分子的平均速率,（6）速率平方的平均值,To20,2017/12/28,30,四、分子速率的三个统计平均值,速率为v p 的分子数最多？, v p 附近单位速率区间的分子数最多！,可用求极值的方法求得。,令,解出 v,m: 一个分子的质量,k=1.3810-23（SI）, : 一摩尔分子的质量,得,1.最概然速率v p,NA=6.0221023,R=8.31（SI）,2017/12/28,31,2.平均速率,一段速率区间v1v2的平均速率,与区间v1-v2的选择有关。,0整个速率区间的平均速率,麦克斯韦分布律,2017/12/28,32,3.方均根速率,一段速率区间v1v2的方均速率,0 整个速率区间的方均速率,2017/12/28,33,例题,求：27oC 时氢分子、氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率。,解 系统的热力学温度,氢分子的摩尔质量,氧分子的摩尔质量,2017/12/28,34,本章讲述的内容到此结束,2017/12/28,35,1. 玻尔兹曼分布律,当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分布律中的指数项应以总能量 代替动能 ，这样在保守力场中分子的空间分布也不均匀。,玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分子数 dN,玻尔兹曼,3.6 玻尔兹曼分布,2017/12/28,36,2. 重力场中气体分子按高度分布,重力场中考虑一竖直空气柱，,设Ep=0 处分子数密度为n0 ，,在 Z 处分子数密度为,2017/12/28,37,当大气温度均匀时，分子数密度随高度增加按指数规律减小。,在同一高度,重力场中气体分子按高度分布,玻尔兹曼分布,38,的压强随高度的增加按指数规律减小。,将分子数密度代入，得:,设Z=0处分子数密度为P0 ，重力场中气体,重力场中气体分子按高度分布,2017/12/28,39,恒温气压公式（高度计）,设温度不随高度变化,根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。,由上式可得高度 h 为：,2017/12/28,40,3-7 气体分子平均自由程,一、平均碰撞频率:,运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞,该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面 = d2,2017/12/28,41,二、平均自由程,P=nkT,每个分子都在运动，平均碰撞修正为,s-1,m,2017/12/28,42,例:求氢气在标准情况下,在一秒钟内,分子的平均碰撞次 数.已知氢分子的有效直径为 米.,解:,80亿次,2017/12/28,43,当系统各部分的物理性质如流速、温度或密度不均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种过渡称为输运过程。输运过程有三种：内摩擦、热传导和扩散。本节介绍其基本规律。,3-8 气体内的输运过程,2017/12/28,44,宏观规律只讨论最简单的单纯扩散过程：混合气体的温度和压强各处相同。两种组分的化学性质相同如CO2气体。但一种有放射性如14C，另一种无放射性如12C。,一、扩散两种物质混合时，如果其中一种物质在各处的密度不均匀，这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布，这种现象叫扩散。,2017/12/28,45,设一种组分的密度沿z轴方向减小，密度是z的函数，其不均匀情况用密度梯度d/dz表示。设想在z=z0处有一界面dS。实验指出，在dt内通过dS面传递的这种组分的质量为D为扩散系数,微观机制（只讨论气体）气体的扩散在微观上是分子在热运动中输运质量的过程。根据分子运动论可导出,2017/12/28,46,宏观规律设A、B两平行平板之间充有某种物质其温度由下而上逐渐降低，温度T是z的函数，其变化情况可用温度梯度dT/dz表示.,二、热传导物体内各部分温度不均匀时，将有热量由温度较高处传递到温度较低处，这种现象叫做热传导。,2017/12/28,47,微观机制（只讨论气体）气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输运热运动能量的过程。根据分子运动论可导出,设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通过dS沿z轴方向传递的热量为 叫做导热系数,2017/12/28,48,宏观规律设想流体被限制在两大平行平板P、Q