大学物理-第1章-力学3-动量角动量

1-3 动量,一、质点的动量定理：,加速度是力的瞬时作用效果，而冲量和功则是力的过程作用效果。功是力对空间的累积，导致能量的变化；冲量则是力对时间的累积，导致动量的变化。,把牛顿第二定律 写成,积分,则得质点的动量定理,质点动量的增量等于它所受合外力的冲量。,由于动量和冲量都是矢量，按照动量定理的要求，它们应符合三角形法则。,对于碰撞过程，质点受力复杂，不便直接用牛顿定律研究；而用动量定理不涉及碰撞的具体过程，且动量的变化易于确定，便于研究问题。,平均冲力,矩形面积 = 阴影面积,例1 线密度为 的匀质细绳盘绕于光滑水平桌面上, 求(1) 以恒定加速度向上提起高度 y 时，施于绳端的力；(2) 以恒定速度向上提起高度 y 时，施于绳端的力。,解：以整段绳为研究对象，建立一维坐标系，利用动量定理,即,(1) a 恒定 (匀加速直线运动), v2 = 2ay，,(2) v 恒定 (匀速直线运动)，a = 0，,(m 为悬空段质量),二、质点系的动量定理：,对于由 N 个质点组成的质点系，根据牛顿第三定律，系统所受合力,对每一个质点利用动量定理,就得到质点系的动量定理,即质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。,或,三、动量守恒定律：,如果质点系所受合外力为零，则其总动量不变。,说明,1. 在系统外力比内力小得多的情况下，可以近似地应 用动量守恒定律。例如，有外力的碰撞、打桩。,2. 如果系统沿某方向所受合外力为零，则可以在此方 向应用动量守恒定律。例如, 若 Fx = 0, 则 px = 常量。,3. 动量守恒定律只适用于惯性系，不适合非惯性系。,例2 质量为 M，长度为 L 的小车被置于光滑平面上，上面有一质量为 m 的人匀速从一侧走向另一侧。求在地面上看人、车各有多大位移。,解：取人车为质点系。水平方向不受外力，在地面参考系中动量守恒。,所以地面参考系中车位移 人位移,建立一维坐标系，设人速度 v 0。, 火箭飞行。火箭初始质量 M1，初速 v1，燃料烧尽后 质量为 M2。火箭喷气速度为 u，求末速度 v2。,M+dM,M,t,t+dt,取喷出气体 dm 和剩余质量 M+dM 为研究系统，因为喷气反冲力很大，所以忽略重力和空气阻力，在地面系中动量守恒,Mv = (M + dM) (v + dv) + dm (-u + v + dv),代入 dm = -dM，略去二阶无穷小量 dMdv得,可见，火箭喷气速度越大，质量比 M1/M2 越大，飞行速度越高。,三级火箭的终极速度,喷出气体 dm 在 dt 时间内的动量增量为 dp = dm (u + v + dv v) = udm,火箭对其作用力为,所以根据牛三律，火箭获得的推力为,若考虑重力，则重力的冲量等于火箭动量增量,Mgdt = dp = (M + dM) (v + dv) + dm (u + v + dv) Mv,积分，得,四、质心：,质心是质点系的质量中心。,质点系有 N 个质点，质量 m1, m2, , mN，位矢 ，则质心的位矢为,直角坐标分量形式,对连续物体，N ，mi dm， ，则质心坐标为,直角坐标分量形式,说明,质心坐标与坐标系的选取有关，但质心相对于各质 点的位置关系与坐标系无关。,2. 对质量分布均匀的连续物体，质心在几何中心。,例3 在边长为 a 的等边三角形的三个顶点放置质量相同的三个质点，求其质心位置。,解：建立坐标系。,根据对称性，质心在对称轴上，建立如图坐标系，直接得到 xC = 0。,例4 一段均匀铁丝弯成半圆形，半径为 R，求其质心。,y,解：建立坐标系，易知 xC = 0。,任取线元 dl，其质量为 dm = dl，其中 为线密度，,变换积分变量，,五、质心运动定理：,将质心公式 两边对时间求导，得,所以质点系总动量,再对时间求导，得质点系的质心运动定理,质点系质心的运动可看成具有质点系总质量的质点的运动，这个质点的受力为质点系所受的合外力。,说明,1. 质点系内各质点由于内外 力的作用可能非常复杂， 但质心的运动只与合外力 有关，可能非常简单。,2. 当质点系所受合外力为零 时，该质点系总动量保持 不变，也即质心速度保持 不变。,3. 有时用牛顿定律研究 “物体” 运动实际上是研究它 的 “质心” 运动。,例1-21，1-22,1-4 质点的角动量,一、角动量：,一个动量为 的质点，对惯性参考系中某一固定点 O 的角动量定义为,其中 为质点相对于 O 点的位矢。角动量大小为,方向与 和 垂直，符合右手螺旋法则。,单位为 kg m2 / s，或者 J s 。,说到一个角动量时，必须指明对哪一个固定点而言。,行星与卫星恒星与行星,重核对 粒子的散射,二、力矩：,大小 rFsin = rF，即力与力臂的乘积。单位 N m 。,r,若 ，或者 但其方向在 O 点与质点连线上，则 。,力 对固定点 O 的力矩,其中 为质点相对于 O 点的位矢。,方向与 和 符合右手螺旋法则。,由角动量 与力矩定义的类似，又把角动量叫动量矩。,三、角动量定理：,得到质点的角动量定理,质点所受合力矩等于它的角动量对时间的变化率。这里的力矩和角动量都是对于惯性系中的同一固定点而言的。,类比,四、角动量守恒定律：,根据质点的角动量定理 ，如果 ，则 ，因而 常矢量。此即角动量守恒定律：,如果对某固定点，质点所受合力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。,r1,r2,例如：用绳系一小球使之在光滑水平面上作圆周运动，拉绳使圆半径缩短。,此过程拉力指向圆心，对圆心的力矩为零，故小球角动量守恒：,m r1v1 = m r2v2，即 v1 / v2 = r2 / r1 。,开普勒第二定律： 行星对太阳的位矢在相等的时间扫过相等的面积。,解释：角动量守恒。,角动量守恒,近日点,远日点,另一例：重核对 粒子的散射情况，角动量也守恒。,任意位置时,瞄准距离,入射时, 质点系角动量定理,作用力与反作用力力矩,对每个质点应用角动量定理,质点系总角动量,所以,所以第二项为零。,第一项