大学物理-第2章-力学5-刚体

第二章 刚体, 刚体：特殊的质点系。,(1) 无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际上 是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元)；,(2) 无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任 意两点间的距离不会因施力和运动而改变；,(3) 同质点一样，刚体也是物体的理想简化模型。,一、刚体的运动：,平动：任意两点连线在运动中的方位不变，即各点 的位移、速度和加速度相同，可用质点力学 处理。,转动：各点都绕同一固定直线 (转轴) 做圆周运动。 转轴固定的转动叫定轴转动。,3. 一般运动：平动 + 转动，较复杂。,2.1 刚体的定轴转动,不宜用线量来描述，宜用角量描述。,二、描述刚体的转动：,2. 角位移：,类似质点运动学，对于匀加速转动， 不变，有,1. 角位置：,三、角量和线量的关系：,1. 角量用来描写整个刚体： 线量用来描写刚体上的点：,其中,定轴转动时， 和 只有两种可能的取向，这时把它们当作标量，以正负号表示这两种取向。,2. 实际上， 为标量，d, , 为矢量，,矢量的方向与旋转方向符合右手螺旋关系,对定轴转动， 方向沿 或,四、定轴转动刚体的转动惯量：,类似于质量是质点惯性的量度，转动惯量是刚体转动惯性的量度。转动惯量越大的刚体，转动状态越不易改变。,1. 定义：,其中 ri 和 r 分别为质点 mi 和质元 dm 到转轴的距离。,单位：kg m2,对简单几何形状和质量均匀分布的刚体，积分比较容易, 否则常用实验测定转动惯量 (通过定轴转动定律)。,2. 性质：,1. 转动惯量具有可累加性。,J = J1 + J2,2. 形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量 越大。,3. 总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量 越大。,4. 同一刚体，转轴不同，转动惯量就不同。所以说刚 体的转动惯量，必须指明是对哪一个轴的。,例1 求质量为 m，半径为 R 的均匀球体的转动惯量。转轴为任意直径。,解：,1. 先求细圆环的转动惯量。,2. 再求薄圆板的转动惯量。,3. 最后求球体的转动惯量。,例2 求长为 L，质量为 m 的均匀细棒的转动惯量。（分别对于通过棒的一端和中心并与棒垂直的轴求）,x,dx,L,解：(1) 对于通过棒的一端并与棒垂直的轴，建立如图坐标系，,x,dx,L/2,-L/2,(2) 对于通过棒的中心并与棒垂直的轴，建立如图坐标系，,注意，,另解：,例3 求质量为 m，半径为 R 的均匀薄圆盘对任意直径的转动惯量。,x,y,解：取垂直于转轴的窄条，距离盘心为 y，长为 2x，质量为,其转动惯量为（利用均匀细棒对质心轴的转动惯量公式）,所以圆盘的转动惯量为,3. 平行轴定理：,质量为 m 的任意刚体，如果对通过其质心 C 的轴的转动惯量为 JC ，则对与此轴平行并且相距为 d 的另一个轴的转动惯量为,这种关系称为平行轴定理。,例如，对均匀圆盘,对均匀球体,五、定轴转动刚体的角动量：,质元 mi 对刚体转轴上任意一点 O 的角动量为,其大小为,沿转轴的分量为,整个刚体角动量沿转轴的分量为,此即刚体对转轴的角动量，它是矢量，与 同向，,2.2 刚体定轴转动定律,一、定轴转动力矩：,作用在质元 mi 上的力,对轴上任意点 O 的力矩,沿转轴分量,与 O 点位置无关，称为力 对转轴的力矩。,定义与转轴垂直平面内的力对转轴的力矩,二、刚体定轴转动定律：,在刚体定轴转动中，其所受力矩平行于转轴。,刚体中任意质元 mi，受内力 fi 和外力 Fi，切向力,两侧同乘 ri 并求和，得,左侧第一项：内力的作用力与反作用力的力矩，为零,左侧第二项：对转轴的所有外力矩的代数和，记为 M,右侧括号内项：刚体对该转轴的转动惯量 J,得刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,刚体所受对固定转轴的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积。,说明,1. M 是各外力对固定转轴的力矩的代数和。,2. M, J, , 是对同一固定转轴的角量。,例1 分析自行车闸对轮子施加的力矩以及对轮子运动的影响。,压力 N 的力矩为零，摩擦力的力矩 M = - f R，根据转动定律 M = J ，得 = - f R / J。轮子近似看成匀减速转动时， = 0 + t 。,例2 一圆形板绕过圆心而垂直于板面的定轴紧贴地面旋转， 圆盘质量为 m，半径为 R，与地面的摩擦系数为 ，求摩擦力对薄板施加的力矩。,解：取面元 dS，它受到的摩擦力为 df = gdm = gdS，对转轴 O 的力矩为 r df = rgdS，,所以圆盘受到的摩擦力的总力矩为,例3 把质量为 m，半径为 R 的定滑轮当作均匀圆盘。 若 m1 m2，忽略轴承摩擦力，且绳与滑轮间无滑动，求物体 m1 和 m2 的加速度。,解：用隔离法分析三物体受力。,对滑轮利用定轴转动定律,由于绳与滑轮间无滑动，所以,解得,若不计滑轮质量 m = 0，则,解：圆盘1,圆盘2,皮带不打滑,解得：,例4 两个匀质圆盘 (m1, R1, m2, R2)，在圆盘 1 上施一恒力矩 使之转动，设皮带不伸长不打滑，求两盘的角加速度各为多少?,例5 长为 l，质量为 m 的均匀细直棒一端固定于轴上,可在竖直平面内转动。求棒由水平位置下摆 角时的角速度和角加速度，这时棒受轴的力的大小和方向。,解：对固定轴 O，棒仅受重力矩,由定轴转动定律可得棒的角加速度,因为,所以,积分,得,为了求棒受轴的力，应用质心运动定理,法向,切向,得,所以棒受轴的力,该力与此时棒的夹角,2.3 对定轴转动的角动量守恒,一、角动量定理：,称为刚体定轴转动的角动量定理，即合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量的增量。,刚体对定轴的角动量为,利用 得,角动量定理可扩展为质点系，或刚体系统，或质点与刚体组成的系统（刚体是特殊的质点系) 。,二、角动量守恒定律：,对于刚体 ，如果 M外 = 0，则 L = 常量。,这就是刚体对定轴的角动量守恒定律。如果刚体对固定轴的合外力矩为零，则对此轴的角动量守恒。,例如，跳水、花样滑冰等。,定轴角动量守恒定律可以扩展为质点和刚体组成的系统，甚至质点系。,例1 两个圆盘 (参数 m1, m2; R1, R2 ) 以角速度 10, 20旋转，求它们以下面两种方式衔接后各自的角速度。,解：(1) 两圆盘系统仅有摩擦内力矩，无外力矩作用，所以角动量守恒：,(2) 两圆盘旋转不同轴，无角动量守恒。接触处分别有切向摩擦力 f1, f2 (= f1),且,例2 质量 M，半径 R 的圆盘可绕中心竖直轴旋转，边缘站着一个质量为 m 的人，最初二者静止，当人在盘上沿盘边跑一周时，盘对地面转过多大角度？,M,m,解：人盘系统所受对竖直轴的外力矩为零，角动量守恒：,所以,积分,得,人在盘上跑一周时,例3 水平圆盘 M, R 以角速度 1 绕垂直光滑轴在水平面内转动，一小物块 m 以速度 v 垂直落在盘边，并粘上。求：(1) 盘的角速度2 ； (2) 小物块受到的冲量。,解：(1) 对 m, M 系统，碰撞过程所受合外力矩为零，角动量守恒：,(2) 应用动量定理,平行于转轴方向,垂直于转轴方向,角动量守恒时动量不一定守恒,2.4 刚体定轴转动的功和能,一、力矩的功：,此即力矩的功, 它是力的功在刚体转动中的特殊形式。,二、转动动能：,所以刚体转动动能为,它是刚体所有质元动能的总和，并不是新的动能。,三、刚体转动的动能定理：,利用刚体的转动定律，可得,这样就得到刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量。,四、重力势能：,刚体受保守力 (例如重力) 的作用，也可以引入势能的概念。 刚体的重力势能即为各质元重力势能的总和，可以表示为,不太大的刚体的重力势能等于刚体质心处同样质量质点的重力势能。,五、刚体机械能守恒：,对于有刚体的系统，如果在运动过程中，只有保守内力 (矩) 做功，则该系统机械能守恒。,例1 如图所示系统，不可伸长不打滑细绳缠绕在球壳大圆、圆盘上，求物体由静止下落 h 时其速度大小。,解：(1) 利用刚体转动定律和牛顿定律，有,绳不打滑，则,物体做匀加速直线运动，则,联立方程，解得,再利用,对球壳、圆盘、物体、地球系统，仅保守内力 (重力) 做功，故机械能守恒：,可解得同样结果,例2 滑轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动。现托住物体使弹簧保持原长，然后由静止释放。求：(1) 物体下落 h 高度时的速度； (2) 弹簧最大伸长量。,解：取物体、滑轮、弹簧、地球为研究系统：,外力：轴承支持力、地对弹簧的拉力， 无位移，做功为零；,内力：重力和弹簧弹力为保守力，绳 张力 (矩) 功为零 (因绳不伸长)。,机械能守 恒,例3 长 l，质量 M 的均匀直棒一端挂于光滑水平轴上，静止在竖直位置。质量 m 的子弹以水平速度 v0 入射棒下端而不复出，求棒和子弹一起运动可摆至多大角度。,解：子弹射入的短暂过程中，子弹、棒系统所受外力 (重力和轴的支持力)对轴的力矩为零，角动量守恒,它们摆上的过程中，子弹、棒、地球系统仅有保守力 (重力) 对轴产生力矩，所以机械能守恒,例4 一半径为 R，质量为 M = 2m 的匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑水平轴旋转，开始时静止。一质量为m 的土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞粘合，之后一起转动。求碰撞后瞬间盘的角速度 0，P 点转到 A 点时盘的角速度 和角加速度 。,解：m 自由下落,碰撞冲力远大于重力，重力矩可忽略，角动量守恒,对土块、盘、地球系统，只有重力矩做功，机械能守恒,根据转动定律,质点力学与刚体力学物理量和物理规律对