大学物理-第六章-机械振动

第六章,机 械 振 动,本章教学要求：掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。理解旋转矢量法。掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。了解阻尼振动、受迫振动和共振。理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。了解相互垂直的简谐振动的合成。,本章重点：描述简谐振动各物理量（特别是相位）,旋转矢量法。简谐振动的运动方程,同方向、同频率的两个简谐振动的合成本章难点：振动相位,旋转矢量,简谐振动的合成,返回目录,下一页,上一页,机械振动目录,4.1 振动,4.2 简谐振动,4.4 简谐振动的合成,4.3（略）,返回总目录,第二篇 机械振动和机械波,第四章 机械振动,机械振动是自然界中普遍存在的一种现象。此外，光、电磁波也是一种振动。本章主要总结机械振动的基本特点和基本规律。,一、特点,1、周期性, 物理量的某个状态及其变化量完全重复所需 要的时间,称为振动周期T.,2、有一个平衡位置,振动一个物理量在平衡位置附近作往复运动,返回本章目录,下一页,上一页,二、两个条件,（1）回复力:指向平衡位置的力.,（2）惯性,返回本章目录,下一页,上一页,6-1 简谐振动,一、简谐振动的特点,1、弹簧振子的振动与研究简谐振动的意义,弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数为K (倔强系数)。质量为m的小球（质点）。无摩擦。,研究简谐振动的意义：（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动是研究其他振动的基础。,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,令,2. 单摆固有角频率 及周期T。,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,3、复摆 一半径为R的球体，用一根质量可忽略的细线悬挂着，球心至悬挂点的距离为l，试求这个球作小角摆动时的周期。,其解题方法是：,返回本章目录,下一页,上一页,要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。,6-1-4简谐振动运动方程,凡是描述运动的物理量满足上面二阶微分方程的运动称为简谐振动。其解为：,弹簧原长时小球m所在位置为坐标原点O.,由系统本身性质决定,与外界无关。,6-2 描述谐振动的三个物理量周期、振幅、初相,6-2-1 振幅 A： 是振动物体离开平衡位置最大的位移。,6-2-2 周期、频率、角频率,单摆周期为：,劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，求该系统的振动周期,所以两根弹簧串联，其总劲度系数,，根椐弹簧振子周期公式，,2、一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示，求振动系统的频率。,有,用隔离法截取,段进行受力分析, 如(b)所示，,，所以,，振动系统的频率为,简谐振动中的位移、速度和加速度,（a）,返回本章目录,下一页,上一页,6-2-3 相位,返回本章目录,下一页,上一页,对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.,（1）,（2）,例3. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。,返回本章目录,下一页,上一页,以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向,表面上看，物体受重力与弹力，似乎并不满足简谐振动的条件。,例4. 轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软细绳连接，细绳跨于桌边滑轮M上，而m悬于细绳下端。已知弹簧的倔强系数 ，滑轮的质量为M=1kg，半径R=0.2米，物体质量m=1.5kg。若将物体由平衡位置向上托起0.15米，然后突然放手。证明物体做简谐振动，并写出振动方程。,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,物体平衡条件：,平衡位置为坐标原点o,o,x,返回本章目录,下一页,上一页,注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持静止的位置。（2）解得的初相要结合初始速度作正确取舍。,6-3 谐振动的旋转矢量表示法,用旋转矢量确定振动初相,返回本章目录,下一页,上一页,（3）将空间分为四个象限，判断旋转矢量在哪个象限。,返回本章目录,下一页,上一页,（4） 由位移时间曲线(x-t)形状判断速度的正负， 进一步确定其位相。,曲线下降，质点向x轴负向运动，v0当x1,x2,x3.为不同坐标轴时， 其初位相分别为,返回本章目录,下一页,上一页,例5. 已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写出振动方程。,例2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解 （1）,由旋转矢量图可知,解,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿 轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,因为 ，由旋转矢量图可知,返回本章目录,下一页,上一页,1. 结论,6-4 简谐振子的能量,返回本章目录,下一页,上一页,例一物体作简谐振动，振动方程为,求该物体在t = 0时刻的动能与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比,解：物体的速度为,动能,t = 0时刻的动能：,t = T/8时的动能：,两时刻的动能之比为2:1,2、从振动系统机械能守恒出发，建立运动微分方程。,返回本章目录,下一页,上一页,一、同频率同方向简谐振动的合成,设两个振动均沿x轴（同方向）进行，而频率均为,（合振动仍沿x轴，频率不变）,返回本章目录,下一页,上一页,6-5 谐振动的合成,讨论,返回本章目录,下一页,上一页,一般情况下：,6、有两个同方向的简谐振动，它们的方程为,式中x以m计，t以s计。（1）求它们合成振动的振幅和初相位。（2）另有一同方向简谐振动的振动方程为,。问：,为何值时，x1+x3的振幅为最大？,为何值时，x2+x3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图表示（1）、（2）两小题结果。,解：（1）已知：,求：A ，,（2）当,时，合振幅为最大。取,，则,当,时，合振幅为最小。取,（3）,返回本章目录,上一页,两分振动的相位差为,下一页,用旋转矢量进行定性分析,合振动已不再是简谐振动,合振动的振幅会时大时小的变化。,6-5-2两个同方向、不同频率的谐振动的合成,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,6-5-2两个同方向、不同频率的谐振动的合成,讨论 , 的情况,方法一,方法二：旋转矢量合成法,（拍在声学和无线电技术中的应用）,返回本章目录,下一页,上一页,同方向不同频率简谐振动的合成,声音时大时小-“拍现象”,用音叉演示拍现象时，演示者用小锤敲击两个频率相近的音叉，坐在不同位置的听众都能听到时强时弱的拍音。细致讲，坐在不同位置的听众，在同一时刻，所听到的拍音的强弱不全相同，有人听到最强时，有人恰好听到的是最弱。这是因为波的强度不仅随时间是周期变化的，而且在空间也是周期分布的。,两个相互垂直的同频率简谐运动的合成,质点运动轨迹,1） 或,（椭圆方程）,2）,3）,用旋转矢量描绘振动合成图,五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,李 萨 如 图,阻尼力,固有角频率,阻尼系数,6-6 阻尼振动 受迫振动 共振 6-6-1 阻尼振动,