大学物理-第四章p刚体力学

,第四章 刚体的转动,第四章 刚体力学,4-2 刚体定轴转动定理,4-1 刚体运动学,4-3 刚体定轴转动中的功和能,4-4 刚体定轴转动的角动量守恒,返回总目录,本章教学要求：了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。,本章重点：刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动问题本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律,返回目录,下一页,上一页,上章已经学习了质点组的运动规律（哪些？）但是这些规律大多是将质点组作为一个整体来研究，如果想获得任意质点的信息基本不可能。刚体作为特殊的质点组，我们能够精确的知道刚体内任意点的运动规律。刚体？什么是刚体？ 质点组内任意两点的相对距离不会因为受力而发生变化，则这样的质点组的就是刚体。何质点一样，刚体也是理想化的模型，即： 形变可忽略 ，但是产生弹力又必须要形变， 就好像质点大小忽略，但是质量是存在的。,4.1 刚体运动的分析,一、描述刚体位置的独立变量,力学的任务是研究物理对象的空间位置随时间的变化的运动学与动力学的规律，即机械运动的规律。因此必须要能用数字说明物体在空间的位置。质点力学中的坐标(x、y、z、)即是描述空间位置的。一个质点只需要三个相互独立的数字就可以完全确定其位置。但是一个刚体呢？对刚体，位置不光是坐标，还包括取向。,将刚体看作是大量的质点的集合体，则显然对一个刚体，从表面上看，需要确定其内部所有的质点的位置，即点数N3=3N个，共有这么多数需要完全确定。但考虑到刚体内部各点的距离不变，因此很多方程来确定坐标值。因此一个刚体的位置确定不需要3N个独立的数。那到底要多少个独立的数来确定一个刚体的位置呢？假若确定了一个点的位置坐标，则刚体位置确定了吗？没有！因为刚体还可以绕这个点转动：将刚体看作是一条线这条线的位置需要两个点来确定两点确定一条直线！所以至少要2个点的坐标，即6个参数！,所以我们必须确定2个点的位置，即定下了刚体内一条线的位置，这需要6个数！但是刚体并不是一条线，它是一个面，甚至是一个3维体！因此刚体可以绕着这条线转动，即刚体的位置还没有完全确定下来！按照平面几何的公理，三个不共线的点确定一个面因此我们还需要一个点。这样我们认为完全确定一个刚体的位置，我们需要9个数然后考虑到这9个数字之间距离不变，共有3个方程，可以消去3个未知数，因此共需要6个独立的数来确定一个刚体的位置。,因此，如果直接选择三个点来确定刚体的位置，是不方便的，因为，这三个点之间坐标有相互的关系，而导致不能独立变化，虽然6个坐标独立，但是3个点不独立.能否直接找到6个变量，这6个变量完全独立呢？考虑角度量，即 先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)3个，独立。 再用一个方向量，即3个角度 3个，不完全独立。 最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度1个,先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)3个，独立。再用一个方向量，即3个角度 3个，不完全独立。 最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度1个我们看到，现在共有7个量，利用消掉一个，剩下6个，因此，刚体的位置需要6个独立的变量来描述这区别于质点，质点只要3个独立的量。,1.刚体的平动：刚体上任何一条直线在各个时刻都保持平行的运动。,刚体平动的特点：刚体平动时，各质元的速度和加速度都相同，所以只要了解刚体上某一质元的运动，就足以掌握整个刚体的运动。物体如同一个质点，所以需要3个独立变量！,即,刚体的运动,2）定轴转动，设物体被限制在一个轴上转动，如图：物体似乎可以沿着轴运动，同时转动，故需要2个变量，一个为角度量，另一个为距离量。但是书上忽略了沿轴的移动。,3）平面平行运动如图，物体在平面内运动，物体可以转动，物体的在平面的位置需要2个坐标来确定，加上转动的角度，共需要3个量。,4）定点转动，如图的一个陀螺，绕顶点运动。如图，陀螺的顶点固定，陀螺可以绕轴线转动，同时轴线可以进动，所以需要3个独立的角度值来确定陀螺的位置。5）一般运动，当然就是不做任何限制了，共需6个独立的量！,4.2 刚体的定轴转动,相对于某一惯性参照系（例如地面）固定不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动.,这条固定不动的直线称之为固定轴.,刚体的定轴转动特点：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。,为了研究方便，我们将垂直于固定轴的平面称之为转动平面. 如图所示.,4.1.3 刚体定轴转动的运动学描述,角位置：,刚体的运动方程,角位移：,角速度: 大小为在某一时刻 t 附近的单位时间间隔内, 刚体上任一点角位移的大小; 其方向在转轴方位, 可用右手螺旋法则确定.,特征: (1) 角速度是矢量, 它反映了刚体转动瞬时角位移随时间变化的规律. (2) 定轴转动时, 转轴的方向已经给定, 角速度的方向可用正负表示, 即满足标量运算法则.,角加速度：,速度和角速度的关系:,以转轴上某点O 为参考点,角量运动学方程,角量与线量的关系,ri为到转轴的垂直距离,例题 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,角速度,返回本章目录,下一页,上一页,质点和刚体转动角动量,返回本章目录,下一页,上一页,定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：,二、刚体定轴转动角动量,4-2 刚体定轴转动定律,转动平面,力不在转动平面内,注 （1）在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,（2）,返回本章目录,下一页,上一页,略去下标Z，,2. 刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,定轴转动定律,刚体受合外力矩：,定轴转动定律: 刚体绕定轴转动时, 作用在刚体上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积.,讨论：,（4）J 和转轴有关，J 和质量分布有关；同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。,（3）,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1） M 一定，J,定轴转动定律,刚体受合外力矩：,刚体的转动惯量：,合外力矩不是先求合外力再求力矩，而是根据每个外力F的作用点相对于固定参考点O的位置矢量r，计算出M，再求它们的矢量和。,返回本章目录,下一页,上一页,质元的质量,质元到转轴的距离,4-2-3 转动惯量J,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,对比：,平动： 平动动能,线动量,转动： 转动动能,角动量,例题4-2 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。,解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。,（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有,转动惯量的计算,因l=m，代入得,转动惯量的计算,（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有,转动惯量的计算,（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，我们有,这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。,1、平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量等于质心对该轴的转动惯量加上刚体对过质心平行轴的转动惯量。,补充：,证明：,为质心C到C轴的垂直距离,所以,例题 均质等截面细杆对杆端点的转动惯量,解 应用平行轴定理,2、 垂直轴定理：一个平面分布的质点系对垂直平面z轴的转动惯量，等于面内与z轴相交的两垂直轴的转动惯量之和。,证明：,转动惯量的计算,例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得,例题 均质等厚薄圆板对过圆心且在板面内轴的转动惯量,解：由上例可知：,应用垂直轴定理：,4-2-4 刚体定轴转动定律的应用,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,4-3 刚体定轴转动中的功和能,1.力矩的功,力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。,力 对P 点作功：,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,4-3-2刚体定轴转动的动能,转动动能：作定轴转动的刚体所具有的动能，它等于各个质元动能之和,与质点运动的动能公式相比较,根据定轴转动定理,外力矩所做元功为：,总外力矩对刚体所作的功为：,则物体在 时间内转过角位移 时,4-3-3 刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,定轴转动的动能定理,表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。,即：,质心高度为：,对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。,4-3-4 刚体的重力势能,定轴转动的功能原理、机械能守恒定律,质点系功能原理对刚体仍成立：,机械能守恒,圆锥摆,力矩作功：,如图4-13，绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上，另一端与一质量为m=2.00 kg的物体相连，已知定滑轮质量M=1.00 kg，半径R=0.100m，且轴承光滑，定滑轮转动惯量,，其初角速度,=5.00rads，方向垂直于纸面向内，求(1)定滑轮的角加速度,(2)定滑轮角速度变化到,时，物体上升的高度。,解 (1)研究定滑轮的转动，选向内作为转轴正向，重力、轴支撑力对转轴力矩为零，对转动没有影响，绳张力对转轴力矩为,则根据转动定律，有,选x轴向上，根据牛顿定律，有 T-mg=ma关联方程,(2)研究物体m、定滑轮M及地球组成的系统，在物体m上升、定滑轮转动过程中，机械能守恒，选开始m所在处为重力势能零点，有,得：h=0.0159 m,4-4-1 刚体定轴转动的角动量定理,4-4 刚体定轴转动的角动量守恒,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒,刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，,系统角动量守恒,这时角动量可在内部传递。,4-4-2 刚体(质点系)定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,恒量,实际生活中的一些现象,艺术美、人体美、物理美相互结合,高！,高！,、芭蕾舞演员的高难动作,当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落地。,因此，开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。,守恒,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,例题4-11 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能,定轴转动刚体的角动量守恒定律,零点，用表示棒这时的角速度,则,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则,（2）,式中棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由匀减速直线运动的公式得,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,定轴转动刚体的角动量守恒定律,亦即l6s；当 取负值，则棒向右摆，其条件为,亦即l 6s,棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求结果为,当取正值，则棒向左摆，其条件为,(6),定轴转动刚体的角动量守恒定律,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,例）质量为M、半径为R的转盘，可绕通过中心的竖直轴转动。开始质量为m的人相对转盘静止在离转轴中心R/2处。开始系统以角速度 旋转。然后人相对于转盘以速度v垂直于R方向走动（与原转动