2014-2015学年高二数学同步课件：第1章§4《逻辑联结词“且”“或”“非”》（北师大版选修1-1）

4逻辑联结词 且 或 非 一 用逻辑联结词构成新命题 p且q p或q p 思考 p且q p或q 的否定是什么 提示 p且q 的否定是 p或 q p或q 的否定是 p且 q 二 含逻辑联结词的命题的真假判断 判断 正确的打 错误的打 1 6 6是假命题 2 梯形的对角线相等且平分是 p或q 的形式 3 函数y cosx是奇函数或是周期函数是真命题 提示 1 错误 6 6是由两个简单命题 6 6和6 6复合而成 6 6是真命题 2 错误 此题属于 p且q 的形式 3 正确 此命题是由 y cosx是奇函数 和 y cosx是周期函数 复合而成 是p或q的形式 其中y cosx是奇函数是假命题 y cosx是周期函数是真命题 故p或q是真命题 答案 1 2 3 知识点拨 1 用集合的观点理解 且 或 非 的含义设集合A x x满足命题p 集合B x x满足命题q 即集合与命题建立如下的对应关系 2 简单命题与复合命题不含逻辑联结词 且 或 非 的命题是简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题 因此就有 p且q p或q 非p 形式的复合命题 其中p q是简单命题 由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词 且 或 非 的理解 3 含逻辑联结词的命题的真假的逆向理解 1 p且q为假p且q为真必须p q均为真 2 p或q为真p或q为假必须p q均为假 3 p q中一真一假 类型一用逻辑联结词构造新命题 典型例题 1 命题 1是合数或素数 中使用的逻辑联结词是 所以此命题是 形式的命题 2 分别写出由下列命题构成的 p且q p或q 非p 形式的命题 1 p 45是5的倍数 q 45是9的倍数 2 p 方程的两根都是实数 q 方程的两根不相等 解题探究 1 判断命题结构的依据是什么 2 写由p q构成的 p且q p或q 非p 的新命题的关键是什么 探究提示 1 依据是命题的语句中出现的联结词 2 关键是用 或 且 非 联结 解析 1 命题使用 或 是 p或q 形式的命题 答案 或p或q2 1 p且q 45是5的倍数且是9的倍数 p或q 45是5的倍数或是9的倍数 非p 45不是5的倍数 2 p且q 方程的两根都是实数且不相等 p或q 方程的两根都是实数或不相等 非p 方程的两根不都是实数 拓展提升 用逻辑联结词构造新命题的两个步骤 变式训练 分别写出由下列命题构成的 p或q p且q 形式的命题 1 p 是无理数 q e不是无理数 2 p 方程x2 2x 1 0有两个相等的实数根 q 方程x2 2x 1 0两根的绝对值相等 3 p 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 q 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 解析 1 p或q 是无理数或e不是无理数 p且q 是无理数且e不是无理数 2 p或q 方程x2 2x 1 0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等 p且q 方程x2 2x 1 0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等 3 p或q 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角 p且q 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角 类型二含逻辑联结词的命题的真假判断 典型例题 1 1 两直线平行 同位角相等且内错角相等是 填 真 假 命题 2 任何一个三角形都有一个内切圆或外接圆是 填 真 假 命题 2 分别判断由下列命题构成的 p且q p或q 非p 形式的命题的真假 1 p 函数y x2和函数y 2x的图像有两个交点 q 函数y 2x是增函数 2 p 7 7 q 7 7 解题探究 1 判断含逻辑联结词的命题的真假的前提是什么 2 判断 p且q p或q 非p 形式命题的真假的思路是什么 探究提示 1 前提是判断命题的构成形式 2 思路是 先指出各个命题的真假 然后根据含有逻辑联结词的命题真假的规律判断这个命题的真假 解析 1 1 两直线平行 同位角相等且内错角相等 是p且q形式的命题 因为p q都是真命题 所以p且q是真命题 2 任何一个三角形都有一个内切圆或外接圆 是p或q形式的命题 因为p q都是真命题 所以p或q是真命题 答案 1 真 2 真 2 1 命题p是真命题 命题q是真命题 p且q为真命题 p或q为真命题 非p为假命题 2 命题p是假命题 命题q是真命题 p且q为假命题 p或q为真命题 非p为真命题 互动探究 在题2条件不变的前提下 对 1 判断 p且q q或p 的真假 对 2 判断 p且 q p或 q p且 q p或 q 的真假 解析 1 命题p是真命题 命题q是真命题 p是假命题 q是假命题 即 p且q为假命题 q或p为真命题 2 命题p是假命题 命题q是真命题 p是真命题 q是假命题 p且 q为假命题 p或 q为假命题 p且 q为假命题 p或 q为真命题 拓展提升 判断 p且q p或q 非p 命题真假的两个步骤 类型三逻辑联结词的应用 典型例题 1 p q x2 4x 5 0 若p且q为假命题 则x的取值范围是 2 设有两个命题 命题p 不等式x2 a 1 x 1 0的解集是 命题q 函数f x a 1 x在定义域内是增函数 如果p且q为假命题 p或q为真命题 求a的取值范围 解题探究 1 由 p且q 为假命题得到什么结论 2 由 p且q 为假命题 p或q 为真命题 能得出什么结论 探究提示 1 由 p且q为假 得到 p q至少有一个为假 2 由 p且q 为假 p或q 为真得到p q一真一假 即p真q假和p假q真两种情况 解析 1 p x 3 q 1 x 5 p且q为假命题 p q中至少有一个为假 x 3或x 1 答案 1 3 2 对于p 因为不等式x2 a 1 x 1 0的解集是 所以 a 1 2 4 0 解这个不等式得 3 a 1 对于q f x a 1 x在定义域内是增函数 则有a 1 1 所以a 0 又p且q为假命题 p或q为真命题 所以p q必是一真一假 当p真q假时有 3 a 0 当p假q真时有a 1 综上所述 a的取值范围是 3 0 1 拓展提升 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤步骤1 分别求出命题p q对应的参数集合A B 步骤2 由 p且q p或q 的真假讨论p q的真假 步骤3 由p q的真假转化为相应的集合的运算 步骤4 求解不等式或不等式组得到参数的取值范围 变式训练 2013 九江高二检测 已知下列两个命题 p 函数y x2 2mx 4 x R 在 2 上单调递增 q 关于x的不等式4x2 4 m 2 x 1 0 m R 的解集为R p且q为假命题 p或q为真命题 求m的取值范围 解析 p m 2 则 p m 2 q 1 m 3 则 q m 1或m 3 由题知p q一真一假 若p真q假 则m 1 若p假q真 则2 m 3 综上 m的取值范围是m 1或2 m 3 规范解答 用逻辑联结词求参数的范围 典例 条件分析 规范解答 方程x2 mx 1 0有两个不相等的负根 m 2 2分 p真 m 2 又 方程4x2 4 m 2 x 1 0无实根 0 即16 m 2 2 16 0 m 2 2 1 0 m 1 m 3 0 1 m 3 q真 1 m 3 4分 p或q 为真 p且q 为假 p q一真一假 6分 当p真q假 时 m 3 8分当p假q真 时 1 m 2 11分综上所述 m的取值范围是1 m 2或m 3 12分 失分警示 防范措施 1 根的分布已知方程ax2 bx c 0 a 0 根的情况求参数的范围时 一般要从两个方面分析 1 判别式 2 根与系数的关系 如本例利用x1 x2 0的情况 2 重视命题真假的判断规律对于含有联结词的命题的真假的判断 要根据 p且q p或q 的真假判断p q的真假 如本例就是由 p或q 为真 p且q 为假 判断出p q一真一假 3 分类讨论的意识在解决问题时 当出现不同情况时要注意分类讨论 如本例中 p q一真一假 并未点明p和q谁真谁假 自然想到分类讨论 类题试解 已知p 不等式mx2 1 0的解集是R q f x logmx是减函数 若p或q为真 p且q为假 求m的取值范围 解析 因为不等式mx2 1 0的解集是R 所以或m 0 解得m 0 即p m 0 又f x logmx是减函数 所以0 m 1 即q 0 m 1 又p或q为真 p且q为假 所以p和q一真一假 即p为真 q为假 或p为假 q为真 得m 1 m的取值范围是m 1 1 若p是真命题 q是假命题 则 A p且q是真命题B p或q是假命题C 非p是真命题D 非q是真命题 解析 选D p且q 一假即假 A错 p或q 一真即真 B错 非p 与 p 非q 与 q 真假相反 故C错 D对 2 已知命题 p或q 为真 非p 为假 则必有 A p真q假B q真p假C q真p真D p真 q可真可假 解析 选D 非p为假 p为真 p或q为真 q可真可假 3 已知命题p 存在x R 使tanx 2 命题q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 下列结论 命题 p且q 是真命题 命题 p且 q 是假命题 命题 p或q 是真命题 命题 p或 q 是假命题 其中正确的是 A B C D 解析 选D p q均为真命题 因此 正确 4 已知命题p 若实数x y满足x2 y2 0 则x y全为零 命题q 若a b 则给出下列四个复合命题 p且q p或q 非p 非q 其中真命题是 只填序号 解析 由于命题p是真命题 命题q是假命题 由真值表可知 p且q为假 p或q为真 非p为假 非q为真 所以真命题是 答案 5 设命题p x 1 命题q a x a 1 若 p是 q的必要不充分条件 则a的取值范围是 解析 p是 q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件 p q且qp a 且a 1 1 0 a 答案 0 6 写出下列各组命题构成的 p或q p且q 以及 非p 形式的命题 并判断它们的真假 1 p 是有理数 q 是整数 2 p 不等式x2 2x 3 0的解集是 1 q 不等式