大学物理课件-第6章 振动（vibration）

鞍山科技大学 姜丽娜,1,6.1 简谐运动的描述,6.2 简谐运动的动力学方程,6.3 简谐运动的能量,*6.8 相互垂直的简谐运动的合成,6.4 阻尼振动,6.5 受迫振动 共振,6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成,6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成,第6章 振 动（vibration）,鞍山科技大学 姜丽娜,2,第6章 振 动（vibration）,引言：,在一定位置附近做来回往复的运动,称机械运动。如弹簧振子的运动、钟摆、心脏的跳动等。,因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、 交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此， 机械振动的研究也为光学、电学、 交流电工学、无线电技术等打下了一定的基础。 任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直线振动的叠加。,广义振动：凡是物理量随时间作周期性变化的现象都称振动。,2.学习机械振动的意义:,1. 机械振动:,鞍山科技大学 姜丽娜,3,6.1 简谐运动的描述,一、简谐运动定义：,当物体运动时，物体离开平衡位置的位移（或角位移）是时间的正弦或余弦函数，物体的这种运动称为简谐运动。,如弹簧振子在光滑水平面的运动,弹簧倔强系数k,谐振子质量m,注意：,2. 弹簧振子:由谐振子和轻质弹簧构成的系统称弹簧振子。,:做简谐振动的刚性物体；,1. 谐振子,鞍山科技大学 姜丽娜,4,二、简谐振动中的速度与加速度,讨论：,当v=0时， amax=2A,a=0时，vmax=A,简谐振动是一种变加速运动,(A)代表物体振动的速度幅度。,(2A)代表物体振动的加速度幅度。,鞍山科技大学 姜丽娜,5,1.A振幅,三、简谐振动中的特征物理量,意义:物体离开平衡位置最大位移的绝对值。 A代表物体振动的幅度,鞍山科技大学 姜丽娜,6,2. 角频率,周期T物体完成一次全振动所需的时间;,频率单位时间内物体完成全振动的次数;,意义：角频率代表 2个时间单位内物体完成全振动的次数。,鞍山科技大学 姜丽娜,7,谐振子频率,单摆频率,对于给定的振动系统其周期 T、 频率 、角频率一定。,将弹簧振子放在斜面上振动,其频率是否变化?,注意:,问题:,将单摆放在月球上摆动,其频率是否变化?,鞍山科技大学 姜丽娜,8,3. t+位相(周相),由简谐振动方程可知,当谐振动的振幅A 、频率 已知时,如果知道某时刻的位相(t+),则可得到该时刻的位置、速度、 加速度,故位相(t+)代表物体做简谐振动状态的物理量。它与x 、v具有等价性。能够反映物体运动的周期性。,初相,初相反映物体运动的初始状态，它与x0 、v0具有等价性。,规定：,简谐振动的描述方法,1. 解析法,2. 曲线法,o,A,-A,t,x, = /2,T,3. 旋转矢量法, t+,x,x,t = t,t = 0,x = A cos( t + ),.o,矢量长度 = A；以为角速度绕o点逆时针旋转；t = 0时矢量与x轴的夹角为 矢量端点在x轴上的投影为SHM。,相位差, =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1),对两同频率的谐振动 = 2- 1,初位相差,(i) 当2 -1 = 0 ,(ii) 当 2 -1 = ,对两同频率的谐振动,两振动步调相同,称同相,两振动步调相反 , 称反相 。,(iii)若 2- 10,称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,则 x2比x1较早达到正最大,鞍山科技大学 姜丽娜,15,练习:,1.已知振幅为A、周 期 为T的单摆，t=0时分别处于下列图（a）、（b） 状态， 分别求其振动方程。,鞍山科技大学 姜丽娜,16,(a),(b),鞍山科技大学 姜丽娜,17,2.如图，一简谐振动振幅A、频率 已知，求其振动方程。,鞍山科技大学 姜丽娜,18,过平衡位置向X轴正向运动;,求:上述两种情况下的振动方程,过x=A/2处向X轴负向运动。,3.一个沿X轴方向运动的弹簧振子,振幅A,周期T已知, t=0时的状态分别为:,鞍山科技大学 姜丽娜,19,鞍山科技大学 姜丽娜,20,1. 简谐运动中的特征量与相量图中各物理量的关系：,周期T旋转矢量转一周所需的时间。,角频率旋转矢量的角速度。,振幅A旋转矢量的模OM。,位相(t+ ) t时刻旋转矢量OM与x 轴正向的夹角。,初相 初始时刻旋转矢量OM与x 轴正向的夹角。,用旋转矢量来描述简谐运动的方法称相量图法。,鞍山科技大学 姜丽娜,21,2.相量图法的优点：,初位相直观明确。,比较两个简谐振动的位相差直观明确。,计算同一简谐振动状态变化所经历的时间容易。,鞍山科技大学 姜丽娜,22,例1 已知一个物体沿X轴作简谐振动,周期T=2s、振幅A=0.20m，t=0时,求：振动方程x(t)；(0.20cos(t-3/4) t=1s时, x=?(0.14m) 由x=0.10m，回到平衡位置所需的最短时间？(1/6 s),鞍山科技大学 姜丽娜,23,鞍山科技大学 姜丽娜,24,6.2 简谐运动的动力学方程,一、恢复力,简谐运动特点,简谐运动物体所受的合外力,恢复力,二、简谐运动的动力学特征,三、简谐运动的动力学方程,鞍山科技大学 姜丽娜,25,谐振子的初始弹性势能,谐振子的初始动能,鞍山科技大学 姜丽娜,26,四、简谐振动的判断:,位移是时间的正弦或余弦函数。,物体所受的合外力与位移成正比反向。,判断下列运动是否是简谐振动：,球与地面 的反复弹性碰撞。,球在光滑斜面的往复运动。,从运动学观点看：,从动力学观点看：,鞍山科技大学 姜丽娜,27,例 2已知弹簧振子k=0.80N，m=0.20kg，x0=0.10m，v0=0,求：振动方程x(t)；(0.10cos2.0t),由x0首次到达 x=A/2所用的最短时间 t=?(0.52s),小球首次在x=A/2处的速率 v=?加速度a=? (-0.16m/s；0.2m/s2),鞍山科技大学 姜丽娜,28,鞍山科技大学 姜丽娜,29,简谐运动实例,一、单摆,鞍山科技大学 姜丽娜,30,二、LC振荡,由基尔霍夫回路电压方程:,LC振荡,鞍山科技大学 姜丽娜,31,以弹簧振子为例, t时刻系统振动的动能和势能分别为,6.3 简谐运动的能量,2. 简谐运动系统机械能守恒。,注：1. 简谐运动系统动能极大时势能为0；,鞍山科技大学 姜丽娜,32,一个周期内的平均动能和平均势能分别为,鞍山科技大学 姜丽娜,33,6.4 阻尼振动,一、无阻尼自由振动,物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无阻尼自由振动。,二、阻尼振动,物体在弹性力（或准弹性力）和阻力作用下产生的运动称阻尼振动。如弹簧振子放在液体中的振动。,1.阻尼振动定义,2.阻尼振动的种类：,在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种：,一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力，使振动系统的能量逐渐变为热运动的能量而造成能量损失。这种称摩擦阻尼。,另一种是由于振动物体引起邻近质点振动，使 振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量，而造成系统能量损失。这种称辐射阻尼。,鞍山科技大学 姜丽娜,34,3.摩擦阻尼振动方程：,谐振子受阻力与速度的关系为：,为正比例系数,它的大小由物体的形状、大小、表面状况和介质的性质决定。,质量为m的物体在弹性力（或准弹性力）和上述阻力作用下的运动方程：,鞍山科技大学 姜丽娜,35,反映物体在弹性力（或准弹性力）和阻力作用下的周期性运动。,反映阻尼使振幅逐渐减小。,4.阻尼振动曲线：,鞍山科技大学 姜丽娜,36,5.阻尼振动周期：,6.讨论：,(a)欠阻尼：,周期随阻尼增大而增大，振幅随阻尼增大而逐渐减小。,欠阻尼振动曲线,鞍山科技大学 姜丽娜,37,(b)过阻尼：,物体以非周期运动方式慢慢回到平衡位置。,过阻尼振动曲线,鞍山科技大学 姜丽娜,38,(c) 临界阻尼：,物体以非周期运动方式回到平衡位置。此时物体从静止开始运动回到平衡位置需要的时间最短。,临界阻尼振动曲线,判断下列三条不同颜色的曲线各属于什么状态？,鞍山科技大学 姜丽娜,39,6.时间常量与品质因数：,在欠阻尼情况下，振幅：,振动能量E：,所经过的时间为：,时间常量,品质因数,鞍山科技大学 姜丽娜,40,6.5 受迫振动 共振,一、受迫振动,1.受迫振动定义：,物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称受迫振动。该周期性外力称驱动力，如声波引起耳膜的振动。,2.受迫振动方程：,设驱动力为：,鞍山科技大学 姜丽娜,41,受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。,减幅振动，经过一段时间后可以忽略,受迫振动的稳定态方程：,稳定态受迫振动与驱动力的相差为：,振幅：,鞍山科技大学 姜丽娜,42,二、共振,振幅极大值时的角频率为：,相应振幅极大值为：,在弱阻尼即0 的情况下,=0,即驱动力频率等于振动系统的固有频率时,振幅达到极大值。这种振幅达到极大值的现象称共振。,鞍山科技大学 姜丽娜,43,受迫振动的振幅曲线,鞍山科技大学 姜丽娜,44,在共振情况下：,在共振情况下振动速度：,上式说明，共振时振动速度与驱动力同相，因而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地从外界得到能量。这就是共振时,振幅达到极大值的原因。,鞍山科技大学 姜丽娜,45,6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成,实际振动常是几个振动合成的结果,一般情况下振动合成较复杂,本节仅介绍简单而重要的同方向、同频率简谐振动的合成。,设两个谐振动方程分别为,合振动：,一、两个同方向、同频率简谐振动的合振动方程：,鞍山科技大学 姜丽娜,46,当两个谐振动位相差为,讨论:,鞍山科技大学 姜丽娜,47,例 :已知,鞍山科技大学 姜丽娜,48,鞍山科技大学 姜丽娜,49,鞍山科技大学 姜丽娜,50,鞍山科技大学 姜丽娜,51,二、n个同方向、同频率简谐振动的合振动方程：,设n个谐振动方程分别为,由COM,合振动振幅：,由COP,第n个振动振幅：,鞍山科技大学 姜丽娜,52,合振动方程：,M,鞍山科技大学 姜丽娜,53,讨论：,鞍山科技大学 姜丽娜,54,6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成,同方向不同频率、振幅相同的两个简谐运动的合成,合振动振幅：,一、振动方程：,合振动频率：,鞍山科技大学 姜丽娜,55,二、拍：,频率都很大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的这种合振动忽强忽弱的现象称拍。,鞍山科技大学 姜丽娜,56,三、拍频：,单位时间内振动加强或减弱的次数称拍频。,设合振动振幅变化的周期为：,拍频：,鞍山科技大学 姜丽娜,57,*6.8 相互垂直的简谐运动的合成,设两个同频率的简谐运动分别在X轴和Y轴上运动：,一、质点轨道方程