大学物理课件-第7章 波动（wave）

鞍山科技大学 姜丽娜,1,7.1 行波7.2 简谐波7.3 物体的弹性形变7.4 弹性介质中的波速7.5 波的能量,7.6 惠更斯原理7.7 波的叠加 驻波7.8 声波7.9 多普勒效应,第7章 波 动（wave),鞍山科技大学 姜丽娜,2,一定扰动的传播称波动。,一、波动：,二、 波动分类：,机械波：,机械振动在介质中的传播。,电磁波：,变化电场和变化磁场在空间的传播。,物质波：,概率波。,声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。微观粒子也有波动性，它对应一种物质波。波既可以是物质运动状态的传播而非物质自身的运动，也可以是物质本身运动的结果，甚至把波直接看作是一种粒子。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波可以在真空中传播,光波即是电磁波也是物质波。,第7章 波 动（wave),鞍山科技大学 姜丽娜,3,7.1 行波,波源,例如：绳子的抖动（绳子一端的质点作竖直方向的谐振动就是波源）,一、机械波的产生和传播,1机械波产生的过程：,鞍山科技大学 姜丽娜,4,0 1 2 3 4 5 6 7 7 9 10 12 14 16 17 7 22 24,鞍山科技大学 姜丽娜,5,2机械波产生的条件：,（1）波源：,作机械振动的物体,（2）传播介质：,传播机械振动的弹性介质。,所谓弹性介质就是构成系统的连续分布的质元之间是以弹性力相互联系着的物质。,介质中一个质点的振动，由于弹性力的作用将会引起邻近质点的振动，而较近质点的振动又会引起较远质点的振动，于是振动就以一定的速度从振源开始，由近及远地向各个方向传播出去，形成弹性波动。,3问题：,波动传播的是什么？,波动是振动状态的传播，既x、v或 (t+) 的传播；也是振动能量的传播。振动传播时，振动的质点并不沿振动的传播方向移动，而是在各自的平衡位置附近作振动（如死水潭中漂浮的树叶）。,鞍山科技大学 姜丽娜,6,1.行波：,2.脉冲：,3.脉冲波：,二、波动的概念,振动方向与传播方向平行。,6.波函数：,用数学式定量表达传播介质中各质元在不同时刻位移的解析函数。,扰动的传播。,抖动一次的扰动。,脉冲的传播。,4. 横波:,振动方向与传播方向垂直。表现为波峰、波谷沿传播方向上的移动，每个波源只在自己的平衡位置。,5. 纵波:,鞍山科技大学 姜丽娜,7,波线,波面,图（a）,7波线和波面：,波线和波面是为形象描述波的传播而引入的假想的线和面。,波线：,沿波的传播方向所画出的有向线段称波线。,波面:,波在传播过程中，每一时刻，振动位相相同点的轨迹的统称。波线垂直于波面。,波前：,某一时刻振动位相所到达的各点连成的面。,平面波：,波阵面为平面的波动称平面波。见(图a）,波前,鞍山科技大学 姜丽娜,8,波面为球平面的波动称球面波。见（图b）,波面为圆柱形的波动称柱面波。见（图c）,球面波：,柱面波：,海浪平面波：,鞍山科技大学 姜丽娜,9,7.2 简谐波,简谐波就是简谐运动在介质中的传播。,一、平面简谐波波函数,求：波函数 y=f（x、t）,均匀无吸收介质中，一等幅平面简谐横波以速度u 沿x 轴正向传播,已知波源的运动函数为,y。=Acos(t+),鞍山科技大学 姜丽娜,10,设波源在原点，则原点的运动函数：,因为 p点为任意点,所以波函数为,因为 o点t 时刻的振动状态= p点(t+xp/u) 时刻振动状态,所以p点t时刻的振动状态= o点(t-xp/u) 时刻振动状态,故p点振动方程为yp=Acos(t-xp/u)+),上题中如果波沿X 轴负向传播则波函数,鞍山科技大学 姜丽娜,11,1.波长：,二、 波的传播速度 波长 波的周期和频率,同一波线上位相差为2的两点间的距离。,注：沿波的传播方向上，每隔一个波长的距离，就出现位相相同的点。因此可以说，波长描述了波在空间上的周期性。,2.周期T：,波沿波线上传播一个波长距离所需的时间。或者说一个完整波形通过 波线上某点所需的时间。,3.频率：,单位时间内，通过介质中某点传出的完整波形个数。,注意：在一个周期内，质元完成一次全振动，其位相传播的距离为一个波长，我们说通过某点传出了一个完整的波形。所以，每一质元的振动频率既为波的频率，每一质元的振动周期既为波的周期。因此可以说，频率反映了波在时间上的周期性。,鞍山科技大学 姜丽娜,12,一定的振动位相在空间的传播速度。数值上等于一定位相在单位时间内传播的距离，一般又称为相速。,注意：,波速与波长、频率、周期的关系,质元每完成一次全振动，波就向前移动了一个波长的距离。在一秒钟内，质元振动了次，则波就向前推进了 的距离,其值就为波速。,波速与振动速度不同,波速仅与介质的性质有关,与波源无关。,频率仅与波源有关，而与介质无关。,意义： 2长度内含有的完整波形个数。,5. 波数：k=2/称波数。,4波速u：,波速的物理意义:,鞍山科技大学 姜丽娜,13,三、波函数的其它形式,意义：当波沿X轴正向传播时x0的点位相落后于原点;x0的点位相超前于原点。,当波沿X 轴正向传播时,当波沿X 轴负向传播时,鞍山科技大学 姜丽娜,14,如下图已知一沿X 轴正向传播，波速为u的波,p点振动方程为yp=Acos(t+),求波函数,问题:,1. 2x / 的物理意义是什么?,x点与原点的位相差。,2.波源是否一定在原点?,鞍山科技大学 姜丽娜,15,如p点 yp=Acos(t-xp/u)+-表示距波源 xp 处质元的振动规律,2.当 t 一定时，t= t。, t。时刻的波形图,=yp,四、 波函数的意义,1. 当x一定时， x= xp,3 .当x 和t 都变时,比较 t 时刻 x 处p点的运动与t+t时刻（x +ut）处q点的运动,yq=Acos(t+t -(xp +ut )/u)+),=Acos(t-xp /u)+),鞍山科技大学 姜丽娜,16,上式说明:t时刻p点的运动状态经t时间传到了q点,所以波函数表示波形的传播过程。当t连续变化时,波形连续不断前进,故波动过程可以表示为波形随时间不断向前移动的过程,波形不断前进的波称行波。,波线上距原点为x1 、x2 两点t 时刻的位相差为,波程差:,五、 位相差与波程差：,x=x2 x1， 既波线上两点的几何距离之差。,鞍山科技大学 姜丽娜,17,例1：一沿X轴正向传播的平面简谐波，在某一时刻的波形图如下图，求波长=？(SI制),解：分析 O 、p两点状态已知，则可由Op 两点的位相 求出波长,鞍山科技大学 姜丽娜,18,例2 解：,例2：已知一平面简谐波沿X轴负向传播,波速u=9m/s ，距原点1m处的A点振动方程为,求:波函数。,鞍山科技大学 姜丽娜,19,例3：已知一平面简谐波沿X轴正向传播，波速u=7m/s，在t= T/2 时刻波形图如下，求该波的波函数。,鞍山科技大学 姜丽娜,20,例3 解：分析：可由0 点在t=T/2时刻的状态求0 的初位相。,鞍山科技大学 姜丽娜,21,例4：一平面简谐波，波源在x=0的平面上，以波速u=100m/s沿X轴正向传播，波源振幅A=24mm，波的频率=50Hz，当t=0时，波源质点的位移是-12mm，且向坐标负向运动，求,波源的振动方程：,波函数;,波线上相距为25cm两点的位相差;,当波源从“-12mm”，处第一次回到平衡位置时所用时间。,鞍山科技大学 姜丽娜,22,波函数：,鞍山科技大学 姜丽娜,23,7.3物体的弹性形变,一、 形变定义：,1 线变：,物体在受到外力时，形状或体积发生变化的现象称形变。在弹性限度内的形变称弹性形变。,二、 形变形式：,胡克定律：,应力,在弹性限度内，应力与线应变成正比。,应变,杨氏模量,一段固体棒,当在其两端沿轴的方向加以方向相反大小相等 的外力时,其长度发生变化的现象称线变。,鞍山科技大学 姜丽娜,24,弹性势能：,单位体积内弹性势能：,鞍山科技大学 姜丽娜,25,切应力,在弹性限度内，切应力与切应变成正比。,切变模量,2切变：,切变胡克定律：,切应变,单位体积内弹性势能：,一块矩形材料,当它的两个侧面受到与侧面平行的方向相反、大小相等的外力作用时,其形状发生变化的现象称切变。,鞍山科技大学 姜丽娜,26,压强的改变,体积模量,3体变：,体变胡克定律：,体应变,单位体积内弹性势能：,一块物质周围受到的压强改变时,其体积发生变化的现象称体变。,鞍山科技大学 姜丽娜,27,7.4 弹性介质中的波速,波动方程,一、平面简谐波的波动方程：,注意：任何物理量y，只要它与时间和坐标的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播，且y 对时间的二阶偏导的系数的倒数的平方根就是这种波的传播速度。,鞍山科技大学 姜丽娜,28,二、纵波的波动方程：,设棒中无波时，棒中一质元两端面的坐标分别为：,y和 y+y,棒中有波时，t 时刻质元两端面的位移分别为：,x 和 x+x,平衡位置坐标为x的微小质元在t时刻的线应变为：,由胡克定律，t 时刻质元两端受力分别为：,鞍山科技大学 姜丽娜,29,t 时刻质元两端受合力为：,质元质量为：,由牛顿第二定律得：,化简得：,棒中纵波的波动方程,鞍山科技大学 姜丽娜,30,在“无限大”的各向同性均匀固体介质中，横波的传播的速度为,F为绳(或细线)中的张力, l 为单位长度的质量。,G为介质的切变模量，为介质的密度。,拉紧的绳索或细线中，横波的速度为：,棒中纵波的传播速度为：,三、波的传播速度：,鞍山科技大学 姜丽娜,31,设波速为 u的简谐波沿X轴正向传播，波函数为,7.5 波的能量,在波的传播过程中,介质质元都在各自的平衡位置附近振动,因而具有动能；同时弹性介质要产生形变，因而具有势能。下面将证明，随着波的传播就有机械能的传播。这是波动过程的一个重要特征。,一、 波的能量,1介质质元m的动能,设介质的密度为 ，介质中一质元的体积元为V，则此质元的质量为 m= V，质元的振动速度为：,则质元的动能为:,鞍山科技大学 姜丽娜,32,2介质质元m的势能,质元的形变为,质元的形变势能为,E杨氏模量,鞍山科技大学 姜丽娜,33,3介质质元m的总机械能,由动能 、势能 结果来看，波在传播过程中任一质元的动能和势能都随时间变化，且在同一时刻， 位相相同，大小相等。,问题：如何理解波动中任一质元这种动能与势能的变化关系完全不同于弹簧振子动能和势能的变化关系？,4讨论,既动能达到最大值时，势能也达到最大；动能为零时，势能也为零。,鞍山科技大学 姜丽娜,34,因为弹簧振子是保守孤立系统，质元却与周围介质有相互作用。,a点：位移最大处，动能为零； 没有形变，形变势能为零。,b点：位移为零处，动能最大； 形变最大，形变势能最大,质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。如何理解？,由m2A2逐渐减少为0，表明该质元向外部输出能量。,整个过程，介质不积累能量。所以波的传播过程也是能量的传播过程。, 质元能量由0逐渐增加为m2A2，表明该质元从外部吸收能量；,鞍山科技大学 姜丽娜,35,二、波的能量密度 w,单位体积内波的能量称为波的能量密度。,2.平均能量密度：,1.波的能量密度 w定义：,鞍山科技大学 姜丽娜,36,3.讨论,三、波的能流P,1.能流P的定义:单位时间内垂直通过某一面积的能量。,2.平均能流,鞍山科技大学 姜丽娜,37,四、平均能流密度(波的强度)I,大小为单位时间内垂直通过单位面积的平均能流。,（单位：W/m2）,（1）波的强度与振幅的平方成正比，这一结论不仅适用于简谐波，而且具有普遍意义。,I 的定义：,注意：,（2）根据上式和能量守恒概念，可以研究波传播时振幅的变化。,鞍山科技大学 姜丽娜,38,如果介质不吸收能量，既单位时间内通过两个截面的能量相等时，则波在这两个平面处的振幅也相等。,平面波振幅,鞍山科技大学 姜丽娜,39,设球面波在均匀介质中传播，设波源在O点，在距波源分别为 r1 和 r2处取两个球面，面积分别为S1和 S2，设介质不吸收能量,球面波振幅：,所以，球面波波幅A与传播距离 r成反比。即球面波波幅既使在介质不吸收能量时，也要随距离变小。,鞍山科技大学 姜丽娜,40,球面波波函数：,鞍山科技大学 姜丽娜,41,该原理说明了波的传播过程中波前在介质中的传播规律,它是荷兰物理学家惠更斯在创立光的波动说时首先提出来的。,7.6惠更斯原理（Huygens principle）,1实验表明：在均匀媒介质中传播的波前，任意时刻形状不变，当遇到障碍物或小孔时，或由一种介质进入另一种介质时，波前的形状和波的传播速度、传播方向将改变。,例如：当水波通过芦苇时，波面由平面变成柱面。,鞍山科技大学 姜丽娜,42,2惠更斯原理：,介质中波传播到的各点，都可以看着是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是新的波源。,任何波在介质中的传播都可以根据该原理利用几何作法由某一时刻的波前来确定下一时刻的波前。,鞍山科技大学 姜丽娜,43,3惠更斯原理的应用,例1：设波以速度u 从波源向外传播，已知t时刻的波前为半径为R1的球面波S1，求t+t 时刻的波前S2,例1图,例2：设波以速度u 从波源向外传播，已知t时刻的波前为平面波S1，求t+t 时刻的波前S2,例2图,鞍山科技大学 姜丽娜,44,例3 用惠更斯原理解释波的绕射,鞍山科技大学 姜丽娜,45,7.7波的叠加 驻波,一、波的独立传播定律,二、波的叠加原理,前面我们仅讨论了一列波在介质传播的情况，如果有几列波同时在同一介质中传播时而又相遇会怎么样？,当几列波同时在同一介质中传播时，它们是各自独立地进行的，与其它波的存在与否无关。（如乐队合凑、二重唱等）,当两列或多列强度较弱的波同时在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每点的振动是各列波单独在该点产生的振动的合成。,鞍山科技大学 姜丽娜,46,三、 驻波,一般来说，任意几列波在同一介质中传播相遇时，情况是很复杂的。讨论由两个频率相同、振动方向相同、两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加情形既驻波。,鞍山科技大学 姜丽娜,47,上式表明,合成后各点都以相同的周期作简谐振动,但各处振幅不同。x点的振幅为,这种原地振荡,而不向前传播的运动状态,叫做驻波。驻波是由波节的波腹相间组成的波,各点振幅随位置而作余弦变化。,鞍山科技大学 姜丽娜,48,波节位置 :,相邻波腹或波节之间的距离为/2；,驻波中振动的相位取决于cos2x/因子的正负,它每经过波节变号一次。所以,相邻波节之间各点具有相同的位相,波节两侧的振动位相相反。,驻波波腹的位置为,波腹与波节之间的距离为/4。,鞍山科技大学 姜丽娜,49,驻波的形成,鞍山科技大学 姜丽娜,50,波节,波腹,驻波实验,鞍山科技大学 姜丽娜,51,驻波应用,当拨动两端固定的弦时 :,量子化波长 :,弦振动的简正模式 :,基频,二次谐频,三次谐频,弦的振动,鞍山科技大学 姜丽娜,52,水波的干涉,鞍山科技大学 姜丽娜,53,中国古代鱼洗,鞍山科技大学 姜丽娜,54,频率7000Hz称超声波;,7.7 声波,7Hz7000Hz,介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的差额称声压。,声波是纵波疏密波稀疏区域：实际压力小于静压力，声压为负值稠密区域：实际压力大于静压力，声压为正值,鞍山科技大学 姜丽娜,55,2.介质中的声压：,对于平面简谐波波函数：,介质中平面简谐波声压：,K为介质的体积模量,液体和气体中纵波的速度：,鞍山科技大学 姜丽娜,56,4.声强级（分贝dB）,人耳所能忍受的声强级：,0dB17dB,引起听觉的声强 I 范围：,10 -12W/m2 1W/m2,声压振幅：,3.声强：,（令Io=10 -12W/m2）,鞍山科技大学 姜丽娜,57,闹市车声 70 响,通常说话 60 正常,室内轻声收音机 40 轻轻,耳语 7 轻,树叶沙沙声 10 极轻,声 源 声强级/分贝 响 度,铆钉机 100 震耳,鞍山科技大学 姜丽娜,58,多普勒效应,鞍山