WR习题振动和波动

1 第一章振动第二章波动习题 2 振动 1 掌握简谐振动的基本特征 运动学 动力学和能量特征 掌握描述简谐振动各物理量的物理意义及其相互关系 2 会根据简谐振动的特征判断物体是否作简谐振动 并能建立其运动方程 微分方程 3 掌握用解析法 旋转矢量法或所给的振动图线描述简谐振动 并根据所给条件建立振动表达式 4 掌握两个同频率同方向简谐振动的合成规律 了解两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 了解阻尼振动 受迫振动和共振现象 3 波动 1 理解机械波产生的条件 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系 掌握根据已知振动条件或已知波形的振动曲线建立平面简谐波的运动学表达式 2 理解波的能量特征及能流 能流密度等概念 3 了解波动微分方程建立的方法及其意义 4 理解惠更斯原理和波的叠加原理 掌握波的相干条件 掌握相干波叠加后振幅加强或减弱对应的相位差 或波程差 的条件 5 理解驻波的概念及其形成条件 了解驻波的特点 它与行波的区别 能确定波腹和波节的位置 6 了解多普勒效应及其产生原因 4 例1 1 一质点沿X轴做谐振动 振动方程为 从t 0时刻起 到质点位置在x 2cm处 且向X轴正方向运动的最短时间间隔为 A 1 8s B 1 4s C 1 2s D 1 3s 解法 1 解析法 将x 2cm代入振动方程 得 考虑到振子此时向X轴正方向运动 v 0 故取 5 解法 2 旋转矢量法 p Q 且向轴正方向运动时 转过的角度 6 例1 2 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上 放一小物体 使其静止于轨道的最低处 然后轻碰一下此物体 使其沿圆弧轨道来回做小幅度运动 试证 1 此物体做简谐振动 2 此简谐振动的周期 解 1 当小物体偏离圆弧轨道最低点 角时 切向力为 由牛顿第二定律 故物体作简谐振动 2 7 例1 3 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等分 取出其中的两根 将它们并联在一起 下面挂一质量为m的物体 则振动系统的频率为 解 设每一等分弹簧的劲度系数为k0 因此由弹簧串联关系 有 两个同样的弹簧并联 有 振动频率为 答案 B 8 例1 4 在长为L的细杆的两端各固定一个同样的重物 绕水平轴作简谐振动 此轴距上端为d 如不计杆的重量 求此摆的周期及折合摆长 与其同周期的单摆的摆长 解设重物质量为m 合外力矩为 周期 等效摆长 由转动定律 9 例1 5 倾角为 的固定斜面上放一质量为m的物体 用细绳跨过滑轮把物体与一弹簧相连接 弹簧另一端与地面固定 弹簧的劲度系数为k 滑轮可视为半径为R 质量为M的匀质圆盘 设绳与滑轮间不打滑 物体与斜面间以及滑轮转轴处摩擦不计 1 求证物体m的运动是简谐振动 2 在弹簧不伸长 绳子也不松弛的情况下 使m由静止释放 并以此时为计时起点 求m的振动方程 沿斜面向下为x轴正方向 1 证明 平衡时 弹簧伸长 x 有 以平衡位置处为x轴原点 运动中任意时刻有 对物体m 10 对滑轮 由线量角量关系 有 解 1 2 3 4 式 得 故物体m的运动是简谐振动 在弹簧不伸长 绳子也不松弛的情况下 使m由静止释放 并以此时为计时起点初始条件 t 0时 因此 振动方程为 11 例1 6 劲度系数为k的轻弹簧 上端与质量为m的平板相连 下端与地面相连 今有一质量也为m的物体由平板上方高h处自由落下 并与平板发生完全非弹性碰撞 以平板开始运动时刻为计时起点 向下为正 求振动周期 振幅和初相 解 木块下落与木板碰撞 动量守恒 以2m的平衡位置为坐标原点O 周期 振幅 由 得 12 例1 7 图中定滑轮半径为R 转动惯量为J 轻弹簧劲度系数为k 物体质量为 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手 不计一切摩擦和空气阻力 试证明系统作简谐振动 并求其作谐振动的周期 解 在平衡状态时 在任意位置x时 13 1 8 一弹簧振子 弹簧的劲度系数k 25Nm 1 当物体以初动能0 2J和初势能0 6J振动时 求 1 振幅 2 位移多大时势能和动能相等 3 位移是振幅的一半时 势能多大 解 1 求振幅 2 求势能和动能相等时的位移 若 则有 14 相位 此时位移 3 求位移是振幅一半时的势能 当 时 势能 得 15 1 9 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动 其表达式为 求合振动的振幅和初相 解 两振动位相差 合振动 合振动振幅 合振动初相 当两个分振动的位相差为 时 合振动的位相与振幅大的振动位相相同 合振动振幅等于两分振动振幅之差 16 例2 1 1 波的干涉 其相干条件是什么 什么时候相干加强 什么时候相干减弱 2 驻波 驻波的特点 驻波与行波的区别 3 半波损失 何时产生 17 例2 2 一波长为 的平面简谐波 已知A点的振动方程为y Acos t 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式 解 1 2 3 4 18 例2 3 图示为t 0时刻的波形 求 1 原点的振动方程 2 波动方程 3 p点的振动方程 4 a b两点的运动方向 解 1 由图知 设原点振动方程为 由 19 2 波动方程 3 p点与O点相距一个波长 p点振动与O点相同 相位落后2 4 a向y轴负方向 b向y轴正方向 y m 0 2 p 0 04 o x m y m a b u 0 08m s 20 例2 4 一列沿x轴正方向传播的简谐波在t1 0和t2 0 25s时的波形如图所示 求 1 p点的振动方程 2 波动方程 3 画出原点O的振动曲线 0 2 y m x m 0 3 0 6 p t1 0 t2 0 25 解 1 求p点的振动方程 振幅A 0 2 m t 0时p点位移和速度 波长 0 6m 经0 25s波形移动了 4 波速为 频率 O 21 故p点振动方程 2 波动方程为 3 原点O的振动曲线 将x 0代入波动方程 22 例2 5 如图所示 波源位于O处 由波源向左右两边发出振幅为A 角频率为 波速为u的简谐波 若波密介质的反射面BB 与点O的距离为d 5 4 试讨论合成波的性质 解 设O为坐标原点 向右为正方向 自O点向右的波 自O点向左的波 p点处入射波引起的振动 波源的振动方程 p点反射波的振动 有半波损失 即有 相位的突变 23 反射波的波函数 在 合成波为 在此区域内合成波为驻波 在x 0的区域合成波为 O点两侧波的叠加情况是不同的 左边由于入射波与反射波同频率 同振幅 传播方向相反 形成驻波 右边入射波与反射波传播方向相同 叠加后形成振幅增大的行波 自O点向右的波 自O点向左的波 24 例2 6 如图 一圆频率为 振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播 设在t 0时刻波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴负方向运动 M是垂直于x轴的波密媒质反射面 已知OO 7 4 PO 4 为该波波长 设反射波不衰减 求 1 入射波和反射波的波动方程 2 P点的振动方程 解 1 O点的振动方程为 入射波的波动方程为 入射波在O 点处的振动方程 25 反射波在O 点处的振动方程 反射波的波动方程 入射波的波动方程为 2 求P点的振动方程 驻波方程为 将P点坐标 代入得该点的振动方程 26 例2 7 横波以速度u沿x轴负方向传播 t时刻波形曲线如图 则该时刻 A A点振动速度大于零 B B点静止不动 C C点向下运动 D D点振动速度小于零 答案 D 27 例2 8 在截面积为S的圆管中 有一列平面简谐波在传播 其波的表达式为y Acos t 2 x 管中波的平均能量密度是w 求通过截面S的平均能流 解 平均能流