工程力学-对称结构的计算

1 9 6对称结构的计算 对称结构是几何形状 支座 刚度 都对称 EI EI EI 1 结构的对称性 2 荷载的对称性 对称荷载 绕对称轴对折后 对称轴两边的荷载等值 作用点重合 同向 反对称荷载 绕对称轴对这后 对称轴两边的荷载等值 作用点重合 反向 2 任何荷载都可以分解成对称荷载 反对称荷载 P1 F W P2 W F 3 3 利用对称性简化计算 1 取对称的基本体系 荷载任意 仅用于力法 力法方程降阶 如果荷载对称 MP对称 3P 0 X3 0 如果荷载反对称 MP反对称 1P 0 2P 0 X1 X2 0 对称结构在对称荷载作用下 内力 变形及位移是对称的 对称结构在反对称荷载作用下 内力 变形及位移是反对称的 4 EI EI EI 对称结构在对称荷载作用下 内力 变形及位移是对称的 a 位于对称轴上的截面的位移 内力 uc 0 c 0 QC 0 C 等代结构 b 奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座 对称 uc 0 c 0 中柱 vc 0 C 等代结构 对称 uc 0 c 0 中柱 vc 0 对称 uc 0 中柱 vc 0 等代结构 c 偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法 将对称轴上的刚结点 组合结点化成固定端 铰结点化成固定铰支座 2 取等代结构计算 对称或反对称荷载 适用于各种计算方法 5 EI EI EI 对称结构在反对称荷载作用下 内力 变形及位移是反对称的 a 位于对称轴上的截面的位移 内力 vc 0 NC 0 MC 0 C 等代结构 等代结构 等代结构 EI EI c 偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半 结点形式不变 b 奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆 6 由于荷载是反对称的 故C截面只有剪力QC 返航 当不考虑轴向变形时 QC对原结构的内力和变形都无影响 可将其略去 取半边计算 然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图 等代结构 偶数跨对称结构在反对称荷载作用下 其等代结构的选法 7 例 绘制图示结构的内力图 等代结构的计算 396 207 等代结构 利用对称性计算要点 选取等代结构 对等代结构进行计算 绘制弯矩图 利用对称或反对称性作原结构的弯矩图 非对称荷载分成对称和分对称荷载 8 X1 基本体系 X1 1 1 Mp 解 11x1 1P 0 11 1P X1 先叠加等代结构的弯矩图 9 作图示刚架的弯矩图 EI 常数 10 例题 用力法计算图示结构并作M图 EI 常数 X1 1 4 4 解 11x1 1P 0 1 3 3 4 1 M图 kN m 11 无弯矩状态的判定 在不考虑轴向变形的前提下 超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩 无剪力 只产生轴力 常见的无弯矩状态有以下三种 1 一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用 只有该杆有轴力 P M 0 2 一集中力沿一柱轴作用 只有该柱有轴力 P M 0 M 0 3 无结点线位移的结构 受结点集中力作用 只有轴力 MP 0 MP 0 1P 0 11 0 X1 1P 11 0 M M1X1 MP 0 12 求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图 M 0 P 2 13 k很小弱梁强柱 k很大强梁弱柱 k 3 荷载作用下 内力只与各杆的刚度比值有关 而与各杆的刚度绝对值无关 内力分布与各杆刚度大小有关 刚度大者 内力也大 14 例 试用对称性计算图示刚架 并绘弯矩图 解 将荷载分为正对承和反对称两组 正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零 反对称荷载作用取等代结构如下 1 取基本结构 2 力法方程 3 绘求系数自由项 4 解方程 5 按绘弯矩图 15 1 27 M图 15 9 7超静定拱的计算方法 16 X1 MP M0 由于拱是曲杆 11 1P不能用图乘法基本体系是曲梁 计算 1P时一般只考虑弯曲变形 计算 11时 有时 在平拱中 还要考虑轴向变形 求出H后 内力的计算与三铰拱相同即 三铰拱中 两铰拱中 17 带拉杆的拱作为屋盖结构 如果E1A1 则H H 因而两者的受力状态基本相同 如果E1A1 0 则H 0 这时 带拉杆的三铰拱实际一简支曲梁 对拱肋的受力是很不利的 由此可见 为了减少拱肋的弯矩 改善拱的受力状应适当的加大拉杆的刚度 18 例 EI 常数 求H 拱轴线方程为 解 简化假定 只考虑弯曲变形 近似地取ds dx cos 1 平拱 f l 0 2 0 x 0 5l M 上例 两铰拱与三铰拱的内力相等 这不是普遍性结论 如果在别的荷载作用下 或在计算位移时不忽略轴向变形的影响 两者内力不一定相等 但是 在一般荷载作用下 两铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的 M M0 Hy M0 Hy 19 例 图示拱 EI 常数 求其水平推力H 拱轴线方程为 对称荷载下 取三铰拱为基本体系 其MP 0 1P 0 X1 1P 11 0 而M M对称 0 基本体系 在反对称荷载下 对称未知力X1 0 M反对称 M1X1 MP MP M0 Hy 而H 0 M0 M0 M反对称 MP 20 对称无铰拱的计算 对称的基本体系 X1 1引起 X2 1引起 12 21 0 O点的物理含义 X3 1引起 21 刚臂的端点O就是弹性面积的形心 叫弹性中心 22 例题10 3等截面圆弧无铰拱求内力 解 求R和 0 R 6 25m 23 三铰拱的水平推力 24 合理拱轴线M 0 Q 0 N pR MP 0 QP 0 NP pR 例10 4求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力 解 1 忽略轴向变形 取三铰拱为基本体系 1P 0 2P 0 3P 0无铰拱和三铰拱均处于无弯矩状态 2 考虑轴向变形 用弹性中心法计算将精确的内力状态分为 不计轴向变形产生无弯矩状态 单由轴向变形产生的附加内力状态以无弯矩状态作基本体系 MP 0 QP 0 NP pR MP 0 QP 0 NP pR MP 0 QP 0 NP pR 基本体系 25 如果在某一荷载作用下 三铰拱处于无弯矩状态 则在同一荷载作用下 与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态 考虑轴向变形时产生不大的弯矩 接近无弯矩状态 26 9 9温度改变 支座移动时超静定结构的内力 由于超静定结构由多余约束 所以在无荷载作用时 只要有发生变形的因素 如温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差等 都可以产生内力 自内力 27 1 温度内力的计算 仅自由项计算不同 例9 6图示刚架施工时的温度为15 C 使用期间 冬季 温度如图 求温度变化产生的内力 EI 常数 基本体系 X1 1 11X1 1t 0 94 2 N 15 74 M N EI 温度改变时的力法计算特点 1 自内力全由多余未知力引起 且与杆件刚度的绝对值有关 2 系数计算同前 3 自由项计算 28 图示封闭框温度变化如图 画出弯矩图的大致形状 29 2 支座移动时的计算 1 11x1 1c a 1 11x1 1c 1 11x1 1c 0 X1 1 l X1 1 1 1c 11 X1 X1 1 5 1 1c l 11 11 1c X1 M EIl 2 系数计算同前 自由项 iC R cc是基本体系支座位移 3 内力全由多余未知力引起 且与杆件刚度的绝对值有关 支座移动时的力法计算特点 1 取不同的基本体系计算时 不仅力法方程代表的位移条件不同 而且力法方程的形式也不一样 基本体系的支座位移产生自由项 与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边 30 用力法求解单跨超静定梁 31 当杆件两端为刚结或固定 且无相对侧移时 可在一端及距该端2 3处加铰选基本体系 可使相应付系数等零 32 1 0 2 0 当 原结构与基本体系受力和变形相同 36 13 5 求原结构的位移就归结求基本体系的位移 1 6 M 求 DH 16 2 6 135 6 81 EI6 1134 EI 虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上 计算结果相同 例 GV G G 6 1 581729 2EI24EI 9 10超静定结构位移计算 33 超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算 MNQ MNQ 34 综合影响下的位移计算公式 例9 7求例9 5中超静定梁跨中挠度 35 求超静定结构因温度改变 支座移动产生的位移时 若选原结构建立虚拟力状态 计算将会更简单 而 T12 0 36 c 例 求超静定梁跨中挠度 例 求超静定结构 各杆EI为常数 截面为矩形 h 0 1l 求A点水平位移 37 例 求超静定结构 各杆EI为常数截面为矩形 h 0 1l 求C点竖向位移 解 在原超静定结构上虚拟单位荷载 并用力法求得其弯矩图和轴力图 38 1 重视校核工作 培养校核习惯 2 校核不是重算 而是运用不同方法进行定量校核 或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算 3 计算书要整洁易懂 层次分明 4 分阶段校核 及时发现小错误 避免造成大返工 力法校核1 阶段校核 计算前校核计算简图和原始数据 基本体系是否几何不变 求系数和自由项时 先校核内力图 并注意正负号 解方程后校核多余未知力是否满足力法方程 9 11超静定结构计算的校核 39 2 最后内力图总校核 a 平衡条件校核 M 0 X 3 7 11 3 15 0 Y 75 147 5 200 22 5 0 40 力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件 1 0 2 0 n 0将它们展开得到力法方程 i ijXj iP 0i j 1 2 n 其中 这样 超静定结构的最后弯矩图 与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零 则满足变形条件 注意 这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计算是不成立的 2 变形条件的校核 即 ij iP ij iP ij iP ij iP 41 结论 当结构只受荷载作用时 沿封闭框形的M EI图形的总面积应等于零 42 X1 1 M1 198 0 43 由平衡条件求 不产生内力 不产生变形 综合考虑平衡条件和变形连续条件来求 M EI t h 静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表 44 超静定结构的特性 1 超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系 2 超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出 还必须考虑变形条件 3 温度改变 支座移动等非荷载外因对超静定结构会产生内力 4 超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关 即与刚度有关 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关 非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值有关 5 超静定结构的多余约束破坏 仍能继续承载 具有较高的防御能力 6 超