2014-2015学年高二数学同步课件：第1章§1第2课时《4种命题间的相互关系》（北师大版选修1-1）

第2课时四种命题间的相互关系 四种命题之间的关系 思考 1 在四种命题中 它们的真假性有什么关系 提示 互为逆否的两个命题具有相同的真假性 互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联系 2 在原命题 逆命题 否命题和逆否命题中 真命题的个数是多少 提示 由于原命题与逆否命题同真假 逆命题与否命题同真假 因此真命题的个数可以是0 2 4个 知识点拨 1 原命题的理解原命题是相对其他三种命题而言的 不是固定不变的 可以把任意一个命题看成原命题 进而研究它的其他三种命题 2 四种命题的真假性 类型一四种命题的相互关系 典型例题 1 下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 同位角相等 的逆命题 其中真命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 2 判断命题 如果m 0 则x2 x m 0有实数根 的逆否命题的真假 解题探究 1 写出命题的其他三种命题的关键是什么 2 一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系 探究提示 1 写一个命题的逆命题 否命题和逆否命题的关键是分清命题的条件和结论 2 一个命题与它的逆否命题同真同假 解析 1 选B 否命题 若x y 0 则x y不互为相反数 真命题 逆否命题 若a2 b2 则a b 假命题 否命题 若x 3 则x2 x 6 0 假命题 逆命题 相等的两个角是同位角 假命题 2 方法一 m 0 4m 0 4m 1 0 方程x2 x m 0的判别式 4m 1 0 方程x2 x m 0有实数根 原命题 如果m 0 则x2 x m 0有实数根 为真命题 又因原命题与它的逆否命题等价 所以 如果m 0 则x2 x m 0有实数根 的逆否命题也为真命题 方法二 原命题 如果m 0 则x2 x m 0有实数根 的逆否命题为 如果x2 x m 0无实数根 则m 0 x2 x m 0无实数根 4m 1 0 m 0 命题 如果x2 x m 0无实数根 则m 0 为真 拓展提升 判断四种命题之间的关系的两种方法方法一 利用命题的定义判断 方法二 巧用 逆 否 两字进行判断 如 逆命题 与 逆否命题 中不同有 否 字 是互否关系 而 逆命题 与 否命题 中不同有 逆 否 二字 其关系为逆否关系 变式训练 2013 宜春高二检测 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆否命题是 A 若x y是偶数 则x与y不都是偶数B 若x y是偶数 则x与y都不是偶数C 若x y不是偶数 则x与y不都是偶数D 若x y不是偶数 则x与y都不是偶数 解析 选C 由于 x y都是偶数 的否定表达是 x y不都是偶数 x y是偶数 的否定表达是 x y不是偶数 故选C 类型二等价命题的应用 典型例题 1 命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 则a 2 的逆否命题是 命题 填 真 或 假 2 证明 如果p2 q2 2 则p q 2 解题探究 1 题1中解集为空集的含义是什么 需要具备哪些条件 2 由一个命题如何写出它的逆否命题 探究提示 1 题1中不等式的解集为空集 即此不等式无解 需要相应的 0 2 把原命题的条件作为结论 结论作为条件 然后再对条件 结论同时否定 解析 1 先判断原命题的真假 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 相应二次方程的判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 a 2 原命题为真命题 又 原命题和它的逆否命题是等价命题 此命题的逆否命题为真命题 答案 真 2 该命题的逆否命题为 若p q 2 则p2 q2 2 p2 q2 p q 2 p q 2 4 p2 q2 2 即p q 2时 p2 q2 2成立 如果p2 q2 2 则p q 2成立 互动探究 在题1中 写出命题的逆命题 并判断其真假 解析 逆命题 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 由题1可知 4a 7 当 a 2时 0 解集不为空集 当a 时 0 解集为空集 不等式的解集为空集是假命题 故逆命题是假命题 拓展提升 用等价转换法证明有关命题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 所以在证明某一个命题的真假性有困难时 可以证明它的逆否命题为真 假 命题 来间接地证明原命题为真 假 命题 变式训练 若a2 b2 c2 求证 a b c不可能都是奇数 证明 依题意 就是证明命题 若a2 b2 c2 则a b c不可能都是奇数 为真命题 为此 只需证明其逆否命题 若a b c都是奇数 则a2 b2 c2 为真命题即可 a b c都是奇数 则a2 b2 c2都是奇数 于是a2 b2为偶数 而c2为奇数 即a2 b2 c2 即原命题的逆否命题为真命题 原命题成立 规范解答 等价命题的应用 典例 条件分析 规范解答 命题 对任意x R ax2 2ax 3 0不成立 等价于对任意x R ax2 2ax 3 0恒成立 2分 当a 0时 3 0恒成立 a 0符合题意 4分设f x ax2 2ax 3 当a 0时 二次函数的图像开口向上 图像不会全部落在x轴下方 显然不符合题意 5分 当a 0时 二次函数f x ax2 2ax 3开口向下 只需满足 0即可 8分 3 a 0 10分综上所述 a的取值范围是 3 a 0 12分 失分警示 防范措施 1 转化思想的应用在解决原命题遇到困难时 可转化为其等价命题解决 如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决 2 分类讨论意识在解决含参数的问题时 切记分类讨论思想的应用 如本例对二次项系数的讨论 类题试解 已知函数f x 在 上是增函数 a b R 对命题 若a b 0 则f a f b f a f b 1 写出逆命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 解析 1 逆命题 若f a f b f a f b 则a b 0 为真命题 用间接法证明 原命题的否命题为若a b 0 则f a f b f a f b 可等价于证明其否命题的真假性 a b 0 则a b b a f x 在 上为增函数 则f a f b f b f a f a f b f a f b 原命题的否命题为真命题 所以逆命题为真命题 2 逆否命题 若f a f b f a f b 则a b 0 为真命题 因为一个命题与它的逆否命题是等价的 所以可证明原命题为真命题 a b 0 a b b a 又 f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 即原命题为真命题 所以逆否命题为真命题 1 与命题 若m M 则n M 等价的命题是 A 若m M 则n MB 若n M 则m MC 若m M 则n MD 若n M 则m M 解析 选D 与命题等价的命题是其逆否命题 故选D 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析 选B 结论与条件互换位置 选B 3 下列命题为真命题的是 A 命题 若x y 则x y 的逆命题B 命题 若x 1 则x2 1 的否命题C 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题D 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题 解析 选A 命题 若x y 则x y 的逆命题是 若x y 则x y 无论y是正 是负 还是0 此逆命题都成立 4 在 ABC中 若 C 90 则 A B都是锐角 的否命题为 解析 都是 的否定为 不都是 答案 在 ABC中 若 C 90 则 A B不都是锐角 5 命题 如果a 1 那么a 0 的逆否命题为 解析 把 如果a 1 那么a 0 看作原命题 它的逆否命题是否定条件和结论并且要交换位置 它的逆否命题是 如果a 0 那么a