工科数学分析-4(2)微积分基本定理

1,第二节 微积分基本定理,第五章 定积分,变限的定积分与原函数的存在性,牛顿 莱布尼茨公式,小结 思考题 作业,2,牛顿(英)16421727,莱布尼茨(德)16461716,一、牛顿莱布尼茨公式,通过定积分的物理意义,例,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,其中,积分的有效、简便的方法.,找到一个计算定,3,可以证明: 对任何量的变化率的积分等于这个量 的变化总量.,则,即,此式将导数与定积分联系起来,很重要.,这就是下面要讲的微积分基本定理.,4,定理1 (微积分基本定理),设函数,则有,即,函数,上的定积分等于,该函数在,上的总量.,提示:利用拉格朗日中值定理证明.,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,微积分基本公式,5,微积分基本公式揭示了导数与积分的关系.,从而可以解决定积分的计算问题,(1),仍成立.,(2) 注意公式成立的条件:被积函数要连续:,如,求,6,二、变限的定积分与原函数的存在性,定义1,设函数,内有定义,如果存在可导函数,使得对,有,或,则称,一个,原函数.,例,或由,知,是,原函数.,也是,的原函数,其中,为任意常数.,7,由微积分基本定理知道,若,则,下面将证明,只要,则变上限的定积分,是可导的,且,从而证明连续函数存在原函数.,8,定理2 设函数,是 的连续函数.,利用可积函数有界及结合定积分的比较性可证.,9,定理3 (积分上限函数的求导定理),从而,10,定理3指出:,积分联结为一个有机的整体,(2) 连续函数 f (x) 一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.,(1) 积分运算和微分运算的关系,它把微分和,所以它是微积分学基本定理.,函数, 微积分,11,定理4 设,则函数,上的一个原函数.,12,推论,?,13,例1 求极限,例2 求下列函数的导数.,14,证,例3,证明函数,为单调增加函数.,15,为单调增加函数.,故,16,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所给积分方程两边关于x求导,得,练习,需先求出,即,17,例4,试证明:积分中值定理中的,可在开区间,取得,即如果,则至少,存在一点,使得,证,令,由定理3 知:,可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得,即,18,例5,解,此极限实为一积分和的极限.,定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.,即它表示每项为,用定积分求极限时,需将(1)式中的两个,任意量,用特殊的值处理.,19,练习,解,原式=,20,微积分基本公式,积分上限函数(变上限积分),积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,三、小结,注意其推论.,21,思考题1,问:,对吗?,错!,分析,其中的x对积分过程,是常数,而积分结果,是x的函数.,若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的,注意,变量 x 及积分变量 t 的函数时,应注意 x与t 的区别.,对 x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替,换积分变量.,22,思考题1,问:,对吗?,故,正确解答,因为,23,思考题2,已知两曲线,在点,处的切线相同,写出此