2014年青荷杯高一数学竞赛试卷.doc

2014年江西省莲塘一中“青荷杯”高一数学竞赛试卷一、填空题（每题5分，共50分）1 已知集合，且，则的值为 2设函数，且对任意，则=_。3.下列说法中，错误的是 、集合的非空真子集的个数是7； 、函数的单调递减区间是；、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)=x-x4,则当x(0，+)时， f(x)= -x-x4、已知f()=x+3，则=。4. 设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 5.已知+1是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 6等比数列，的公比是_。7.已知是上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若 ，则的值为 。8.= 9.设，nN。求的最大值 。10.某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： 函数在上单调递增，在上单调递减； 点是函数图像的一个对称中心；函数 图像关于直线对称；存在常数，使对一切实数均成立其中正确的结论是 .答题卡：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、解答题（每题10分，共50分）11. 已知函数（，），且函数的最小正周期为(1)求函数的解析式并求的最小值；(2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若=1，,且，求边长12.如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，其中，（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值13.数列满足：证明：（1）对任意为正整数； (2)对任意为完全平方数。14.已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数（）求的值；（）递增，对任意的正数、，求证：15. 一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。江西省莲塘一中2013-2014学年度青荷杯高一数学1答案1或1或0 2解：= 即。1. 3答案 4解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则2. 由（1）（2）得，即共线，且5答案解：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为+1。令，则. 6 设公比为q，由已知条件知，由比例性质，。7答案-18解：=， 另解：（利用诱导公式配对求和）9解：由已知，对任何nN，有，又因，故对任意xN，有。由于，故f（n）的最大值为。10解：为奇函数，则函数在 ，上单调性相同，所以错；，所以错； ，所以错；，令，所以对 选11、解（）， 由得， 3分所以， 所以 6分来源:学#科#网（）由f(B)= 1得，解得 8分又由知，所以 10分由余弦定理知=来源:Z|xx|k.Com所以 12分(或由，解得,)12.解：（1）如图延长AG交BC与F，G为ABC的中心F为BC的中点，则有 ，即3分D、G、E三点共线故 3 5分（2）ABC是边长为1的正三角形， Smn由=3，0m1,0n1n=,即。10分Smn设t=m-则m=t+（）S=mn=（t+）易知在为减函数，在为增函数。t=，即，时，取得最小值，即S取得最小值15分又，取得最大值是， 则S取得最大值，此时或13.证：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.10分（2）将两边配方，得由0（mod3）为正整数。 式成立.是完全平方数.20分14【解】（）由书籍，根据韦达定理有， 5分（）已知函数， 而且对，于是，函数在上是增函数10分。 注意到对于任意的正数、，即，同理15分，于是，而，20分15.解：设这个数为，则