柱函数 缪国庆教授教学课件

1 第十一章柱函数 11 1三类柱函数本节内容 三类柱函数的引入 小宗量及大宗量时三类柱函数的行为 三类柱函数的递推公式 2 I 三类柱函数的引入柱坐标中Laplace Helmhotz方程分离变量后 Bessel方程或虚宗量Bessel方程球坐标中Helmhotz方程分离变量后 l 1 2阶Bessel方程 3 一 三类柱函数一般形式的Bessel方程通解 其中 第一类柱函数 第二类柱函数 or 4 第一种汉克尔函数 第二种汉克尔函数 第三类柱函数 又定义 解 5 II 二 Bessel Neumann及Hankel函数的极限行为 x 0特性因此 在研究圆柱内部问题时 包含 0 存在自然边界条件 只能取零阶和正整数阶Bessel函数 6 x 特性 7 III 递推公式 右端 8 即 类似地 以乘 有 积分两式 9 三类柱函数使用同样递推关系 以Z代三类柱函数 有 特例 10 将两式左端展开特例 由 1 上两式相加 上两式相减 11 11 2Bessel方程本节内容 三类柱函数的基本理论1 整数阶Bessel函数 诺伊曼函数的振荡特性 零点 母函数 积分表式 加法公式 2 Bessel方程的本征值问题 本征函数的正交关系 模 傅里叶 贝塞尔级数展开 3 汉克尔函数 三类柱函数的应用1 Bessel函数及诺伊曼函数 圆柱内 空心圆柱内稳定场问题 输运问题 楔 xie 形杆纵振动2 汉克尔函数 圆柱外区域的波动问题 12 本节要求 了解 三类柱函数的基本理论掌握 三类柱函数的应用 13 I Bessel函数的基本理论 一 整数阶Bessel函数的振荡特性 零点Bessel函数是衰减振荡函数 14 1 由 可知 因此整数阶贝塞尔函数具奇对称或偶对称 其零点正负成对 绝对值相等 2 Bessel函数是无穷衰减振荡函数 因而具有无穷多个实数零点 而且只有实数零点 同时也具有无穷多个导数零点 3 的任何两个相邻零点之间有而且只有的一个零点 15 二 Bessel方程的本征值问题方程的通解 0处的自然边界条件 因此 16 由边界条件得到决定本征值 的方程 1 第一类边界条件设是的第n个零点 则本征值为可见Bessel函数零点的分布是非常重要的 从Bessel函数的曲线上可清楚地看出Bessel的零点分布特性 1 Jm x 有无限多个零点 2 Jm x 的两个零点之间必有Jm 1 x 的零点 3 x 0是Jm x m 1 的零点 Bessel函数零点可查表得 17 2 第二类边界条件设是的第n个零点 则本征值为当m 0 所以 即是J1 x 的零点 m 0 可借助递推公式从而解方程 3 第三类边界条件 18 利用 得 记 19 三 Bessel函数的正交关系和模 其中为Bessel函数的模 20 1 第一类边界条件 2 第二类边界条件 21 3 第三类边界条件所以 22 四 Fourier Bessel展开 函数系是完备系 对上的平方可积函数f 有Fourier Bessel展开 23 由 有 特例 24 参阅 吉洪诺夫 数学物理方法 下册 新一版 p 642 5 25 例1计算积分 由 有 又由 26 有 例2以为基 一类边值 展开 27 28 例3 记 29 五 整数阶贝塞尔函数的母函数 积分表式与加法公式 第二式相当于 平面波用柱面波展开 在散射理论中有用 p 46例5 洛朗展开 11 2 40 11 2 41 11 2 42 11 2 43 30 贝塞尔函数的母函数 x 3 加法公式 31 例4圆柱体 半径为 高为L 侧面绝热 上下面温度保持为f2 和f1 求柱内稳定的温度场分布 解 定解问题 1 角度方向 II Bessel函数的应用 32 2 柱轴方向 0 3 径向 问题与无关 解 33 由边界条件 34 因此问题的通解为 35 代入上下面边界条件 把右边展开成广义Fourier级数 比较级数两边即可得到系数 36 系数从上述方程即可解出 37 例5 楔形杆的纵振动 解 方程推导 38 39 代入边值 即 得本征值 为 的第n个零点 从而 40 注意 的第一个零点为 这时T的方程为 而 41 代入初值 42 例6 齐次化边值 柱内热传导问题 43 分离变数 44 记 45 代入初值 46 III Neumann函数 47 例7空心圆柱导热问题 齐化边值 IV Bessel和Neumann函数的应用 48 问题与无关 代入边值 A B具非零解的条件是 49 由此确定本征值相应的系数比值 代入初值 50 将按 展开 之模 参考 徐世良 数学物理方法解题分析 p 646 51 V Hankel函数定义 Bessel函数与Neumann函数的线性组合也是Bessel方程的解 因此Bessel方程的通解也可表示为 三类柱函数 Bessel函数 Neumann函数 Hankel函数 无限远的特性 52 第一式 发散波第二式 收缩波第三式 驻波第四式 驻波 53 不同用途 1 Bessel函数 振荡特性 讨论封闭空间的驻波问题 类似于sinkx coskx 2 Neumann函数 在 0有奇异性 讨论不包括原点的问题 振荡特性 类似于sinkx coskx 3 Hankel函数 行波特性 讨论开空间波的传播和散射问题 类似于eikx和e ikx 54 VI Hankel函数的应用讨论波的发射 散射 行波特征 例8半径为的无限长圆柱面 其径向速度为 求向外辐射的声场 解 问题与z和 无关 设振动为 x y z 55 则零阶Bessel方程的解 Hankel函数的取舍 决定于时间部分的形式 向外辐射的柱面波 56 本问题取利用边界条件 57 即 58 于是 声场的分布为在远场区 即 大的区域 59 11 4虚宗量Bessel方程本节内容 虚宗量Bessel函数 虚宗量汉克尔函数的定义 虚宗量Bessel函数 虚宗量汉克尔函数的应用 60 I 虚宗量Bessel函数和Hankel函数在柱坐标中对Laplace方程分离变量 当 0时 径向方程为虚宗量Bessel方程令 ix 61 虚宗量Bessel函数在柱坐标中对Laplace方程分离变量 当 0时 径向方程为虚宗量Bessel方程令 ix 62 因此 R有一个特解定义虚宗量Bessel函数 63 虚宗量Bessel函数曲线 64 同样 另一个特解为或者当 m 0或整数 65 若定义Neumann函数因此 这时 Neumann函数也不能作为第二个解 66 定义 67 即 乘以 68 并定义称为虚宗量Hankel函数 因此 最后有虚宗量Bessel方程的一般解为无论 是何值 69 虚宗量Hankel函数曲线 70 虚宗量Bessel和Hankel函数的特性当x 0时 可见 Km在原点发散 当研究的区域包括原点时 只能取Im x 当x 时 可见 Im在无限远发散 当研究的区域是开区域时 只能取Km x 71 II 虚宗量Bessel函数和Hankel函数的应用例1柱内问题均质圆柱体 半径为 高为L 柱侧面法向有均匀分布的恒定热流q0 圆柱上下面温度分布保持为u0 求圆柱体中温度场的分布 解 定解问题边界条件全是非齐次的 齐次化 令 u u0 v 72 于是u的定解问题化为v的定解问题 上下面边界齐次 因此取 73 由径向边界条件 74 于是 75 例3柱外问题半径为 高为L的导体圆柱壳外的电势 解 齐次化 76 77 代入边值 78 11 5球Bessel方程本节内容 球坐标下 三类柱函数的基本理论1 三类柱函数的引入 小宗量及大宗量时三类柱函数的行为 三类柱函数的递推公式2 整数阶球Bessel函数 球诺伊曼函数的振荡特性 零点 3 球Bessel方程的本征值问题 本征函数的正交关系 模 傅里叶 贝塞尔级数展开 三类柱函数的应用1 Bessel函数及诺伊曼函数 球内导热问题2 球汉克尔函数 球外区域的波动问题 79 本节要求 了解 球坐标中 三类柱函数的基本理论掌握 球坐标中 三类柱函数的应用 80 I 球坐标中三类柱函数的基本理论 一 球坐标中 三类柱函数的引入球坐标中Helmhotz方程分离变量后 球Bessel方程令 81 如果k 0 Euler方程 一 讨论k 0情况 五种形式解 两两组成独立解 因此球Bessel方程的独立解为 82 1 球Bessel和Neumann函数 2 球Hankel函数二种形式的解 前者有驻波形式 在封闭空间使用 后者有行波形式 波在无限空间中的传播和散射使用 83 二 递推公式 球函数统一写作 从Bessel函数的递推公式 置 可得到 84 三 初等函数形式 当l是整数 可用初等函数来表达球柱函数 由 有 85 又 从而 有 86 87 球Hankel函数的初等函数形式为 由 有 88 四 渐近形式 有 89 90 因此在原点存在自然边界条件 当时 有 91 x j0 x j1 x j2 x 92 n0 x n1 x n2 x x 93 94 五 球形区域内球Bessel方程的本征值问题 注意 本征值 k2 权函数 r2一般解 由原点自然边界条件 B 0 95 由处边界条件 决定本征值k2的方程 设 第m个本征值为km 作为Sturm Livouville本征值问题的特例 应有 1 正交性 其中 模的平方为 96 2 完备性 对上的平方可积函数f r 有广义Fourier展开 97 II 球Bessel函数的应用例1 半径为的球 初始温度为u0 放入温度为U0的烘箱 求球内温度分布 解 定解问题 化成齐次边界 u U0 w 98 1 显然问题仅与径向有关 m 0 l 0 球内径向解为 99 2 由径向球面边界条件 因此 故一般解为 3 由初始条件 100 右边按球Bessel函数展开 最后 得到 101 例2 半径为的球 球面径向速度分布为求辐射的声场分布 解 设振动为 102 则一阶球Bessel方程的解为