第3章 变换投影面法

第三章变换投影面法 3 1变换投影面法的基本概念3 2点的投影变换3 3直线的投影变换3 4平面的投影变换 在前面学习直线和平面的投影时 我们讨论了一般位置直线和一般位置平面的投影特点 由于二者均与三个投影面成倾斜位置 因此三个投影都不能反映实长或实形 在绘制机械图样时 常常会遇到需要解决实际长度和实际形状的问题 求一般位置直线的实长和一般位置平面的实形的方法有多种 这一节介绍的是用变换投影面的方法求得实长和实形 正投影的 真实性 表明 当空间的直线或平面与投影面成平行时 其投影能够反映直线的实长和平面的实形 变换投影面的基本方法是 设置新的投影面来代替原来的某一投影面 并使新投影面与空间几何元素处于有利于解题的特殊位置 3 1变换投影面法的基本概念 变换投影面法的应用1 在V H两投影面体系中 AB为一般位置直线 其两面投影均不能反映实长 为求AB实长可设一V1投影面 V1面与AB平行并垂直于H投影面 将AB线向V1面作正投影 则AB线在V1面上的投影便可反映实长 直线的新投影还可反映 角的实际大小 变换投影面法的应用2 图中 ABC平面为一铅垂面 其水平投影积聚为一直线 正面投影为缩小的类似图形 为求得ABC平面的实际形状 可设一新投影面V1 V1面与ABC平面平行并垂直于H投影面 关于换面法的术语解释 1 旧投影面 指图中的V H面2 旧投影 指几何元素在V H面上的投影 1 新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面 并与它组成新的投影面体系 必要时可作连续变换 2 新投影面应处于有利于解题的位置 从下图可以看到 所设置的新投影面应符合以下两点原则 3 被替换的投影面 图中的新面V1与H面垂直 替换了旧投影面V 因此V面为被替换的投影面 V面上的投影称为被替换的投影4 不变的投影面及不变投影 指图中的H面以及几何要素在H面上的投影 5 新投影面 指图中的V1面 如果需要也可设H1面6 新投影轴 新投影面与不变投影面的交线 如图中的O1X17 新投影 指几何要素在新投影面上的投影 如a1 b1 关于换面法的投影规律和投影面的转换方法 在对几何要素进行投影变换时 仍旧遵循着正投影的基本规律以及投影面的转换方法 换面法的投影面转换过程如图所示 点击图形演示动画 1 点的一次变换同前面分析点的投影一样 分析点的投影变换 掌握点的变换规律是解决直线和平面变换的基础 V H两投影面体系中有一A点 现在适当位置设一V1面 V1和H面构成新的两投影面体系 3 2点的投影变换 A点在V1面上的正投影记做a1 a1 与a的连线和O1X1轴的交点记做ax1 将V1与H面展开 点击图形演示动画 问题2 点的新投影a1 到新轴O1X1 ax1 的距离 等于被替换的投影a 到旧轴 ax 的距离 点的变换规律2 根据上述两点规律便可作出点的投影变换 问题1 点的新投影a1 与不变投影a的连线 垂直于新轴O1X1 点的变换规律1 在用换面法解决实长或实形等问题时 也可采用变换H1面的方法 变换H1面与变换V1面的规律是一样的 即 1 点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴2 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离 需要注意的是 谁是点的不变投影 被替换的投影 例 已知A点的两面投影a a 试作出给定位置的A点新投影 作图分析 从图中标注可知变换的是V1投影面 a 为被替换的投影 a为不变投影 按照点的变换规律即可作出A点的新投影 作图步骤 例 已知A点的两面投影a a 试作出给定位置的A点新投影 又 作出A点在H1面上的投影 作图分析 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同 作图步骤 本题的投影变换作图为点A的两个一次变换 2 点的二次变换在用投影变换的方法求解一些实际问题时 需要变换两次投影面 这样的变换方法称为二次变换 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换 其变换的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影 被替换的投影 新轴和旧轴 准确定出点的新投影的位置 O2X2为新的投影轴 O1X1则成了旧投影轴 点击图形演示动画 点的二次变换的分析 图中先变换的是V1面 接着作第二次变换 此时的H1面与V1面垂直 被替换是H面 而V1面为不变投影面 例 作出A点的二次变换投影图 作图分析 两次变换的规律是一样的 要注意的是在作第二次变换时定准点的新投影的位置 作图过程如图所示 3 3直线的投影变换 直线的变换主要解决以下两个方面问题 求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图 只是要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置 1 将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角 为求得AB线的实长 所设置的新投影面V1应与AB平行 从直观图上可看出 体现新面位置的新轴就应平行于AB线的水平投影ab 1 将一般位置直线变换为投影面平行线 例 求出AB直线的实长以及对H面倾角 作图分析 在水平投影图的适当位置作一平行于ab的新轴O1X1 然后按照点的变换规律作出AB线的新投影 作图步骤如图示 2 将投影面平行线变换为投影面垂直线 通过一次变换使得直线在新投影面上的投影积聚为一点 因此所设置的新投影面应与直线成垂直 注意 应在反映直线实长的投影图中进行变换 例 将AB直线变换为一投影面垂直线 作图分析 因AB直线为一正平线 故所设的新投影面应垂直于AB线的正面投影 体现新面位置的新轴O1X1应垂直于a b 3 将一般位置直线变换为投影面垂直线 要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次换面 从下图可看出 第一次换面将直线变换为投影面平行线 再将投影面平行线变换成投影面垂直线 使变换后直线的新投影积聚为一点 例 试将AB直线变换为一投影面垂直线 作图分析 第一次设置一与AB平行的V1面 将AB直线变换为投影面平行线 再设置垂直于AB线的H1面 则AB的新投影积聚为一点 作图过程如图示 3 4平面的投影变换 通过平面的变换主要解决两方面的问题 将平面变换为投影面平行面 求得平面的实际形状 将平面变换为投影面垂直面 求得平面与投影面的夹角变换平面的方法同变换点 直线相同 只是由于要找的点比较多 在作图时更要细心 1 将投影面垂直面变换为投影面平行面 作图分析 图中的 ABC平面为一铅垂面 通过一次换面便可求得其实际形状 因新投影面应平行于空间的平面 所以新投影轴就应平行于空间平面的积聚性投影 即O1X1 abc 投影面的空间转换关系如图所示 点击图形演示动画 例 用换面法求出 ABC平面的实际形状 作图分析 由于 ABC平面为一铅垂面 则O1X1轴应平行于平面的积聚性投影 作图过程如图所示 2 将一般位置平面变换为投影面垂直面 作图分析 可通过一次变换将一般位置平面变换成投影面垂直面 在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置 根据变换原则和变换的要求 可以想到所设置的新面既要与投影面垂直又要与空间的平面成垂直 将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下 1 在空间平面内作一投影面平行线 下图中作了一条水平线 2 设置与投影面平行线成垂直的新投影面 如下图中设置的V1面 要注意理解新投影面垂直于空间平面内的一条线 也就垂直于空间平面 作图步骤如图示 例 将 ABC平面变换为投影面垂直面 3 将一般位置平面变换为