第九章材料力学压杆稳定

材料力学 中南大学土木建筑学院 1 第九章压杆稳定 9 1概述 一 问题的提出 材料力学 中南大学土木建筑学院 2 材料力学 中南大学土木建筑学院 3 工程中有些构件具有足够的强度 刚度 却不一定能安全可靠地工作 材料力学 中南大学土木建筑学院 4 材料力学 中南大学土木建筑学院 5 2006年12月9日 北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌 约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载煤渣的运输车一起塌下 1名司机和2名检测人员受伤 柱脚与地面连接强度不足 局部杆受力大 导致另一柱脚被拔起 型柱的连接杆焊点突然失效 导致 型柱失稳破坏 材料力学 中南大学土木建筑学院 6 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 判断方法 微小扰动法 在平衡位置给物体一任意微小扰动 扰动消失后考察物体是否自动恢复原平衡位置 二 三种平衡状态及判断方法 材料力学 中南大学土木建筑学院 7 材料力学 中南大学土木建筑学院 8 压弯曲线平衡 轴压直线平衡 恢复直线平衡 失稳曲线平衡 压弯曲线平衡 材料力学 中南大学土木建筑学院 9 三 临界状态及失稳 失稳 屈曲 压杆失去稳定平衡状态的现象 注意 临界载荷是压杆保持稳定平衡时所能承受的最大载荷 或使压杆失稳时的最小载荷 临界载荷Fcr 压杆处于临界状态的轴向压力 此时横截面上的应力称为临界应力scr 临界状态 压杆从稳定平衡到不稳定平衡之间的过渡状态 材料力学 中南大学土木建筑学院 10 四 稳定性问题1 危害 临界应力往往低于材料的屈服极限 破坏往往突然发生 是不可恢复的 2 特点 每根压杆的临界载荷各不相同 稳定性计算就是计算压杆的临界载荷 3 广泛性 除压杆外 凡有压应力的薄壁构件均存在稳定性问题 材料力学 中南大学土木建筑学院 11 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡 然后设法求挠曲函数 求得不为零的挠曲函数 说明压杆的确能够在曲线状态下平衡 即出现失稳现象 9 2细长压杆的临界载荷 一 两端铰支 球铰 细长压杆的临界载荷 1 欧拉公式设 压杆处于临界状态 在微弯形态下平衡 此时的压力为临界载荷 即F Fcr 材料力学 中南大学土木建筑学院 12 w k2w 0 记 通解w Asinkx Bcoskx 边界条件 x 0 w 0 B 0 w Asinkx EIw M Fcrw M Fcrw 材料力学 中南大学土木建筑学院 13 w Asinkl 0A 0sinkl 0kl npn 1 2 边界条件 x l w 0 保持微弯平衡形态的最小压力为临界载荷 欧拉公式 材料力学 中南大学土木建筑学院 14 2 两个结果 临界载荷 1 上述公式只适用于两端铰支细长压杆 2 I 各方向约束情况相同时应取最小形心主惯性矩 且按未削弱面积计算 3 在确定的约束条件下 临界载荷Fcr仅与材料E 长度l和截面尺寸I有关 材料的E越大 截面越粗 杆件越短 临界力Fcr越高 4 临界载荷是压杆的自身的一种力学性质指标 反映承载能力的强弱 Fcr越高 稳定性越好 承载能力越强 材料力学 中南大学土木建筑学院 15 弯曲挠曲线 1 wmax A 数值不能确定 是由于采用了挠曲线近似微分方程 若采用精确微分方程 可以确定最大挠度值 5 临界载荷Fcr与外部轴向压力的大小无关 材料力学 中南大学土木建筑学院 16 9 3不同杆端约束细长压杆的临界载荷 方法2 相当长度法在压杆中找出长度相当于两端铰支的一段 即两端曲率为零或弯矩为零 该段临界载荷即为整个压杆的临界载荷 方法1 同欧拉公式由 微分方程 边界条件 确定 材料力学 中南大学土木建筑学院 17 解 任意截面的弯矩为 由挠曲线的近似微分方程得 令 得 解得 由压杆挠曲线的近似微分方程 推导如图所示一端固定 一端铰支压杆的欧拉公式 材料力学 中南大学土木建筑学院 18 由杆端的边界条件 因为挠度w不恒为零 故A B和FR Fcr不能同时为零 所以上述线性方程组的系数行列式应等于零 即 材料力学 中南大学土木建筑学院 19 展开后得sinkl klcoskl 即tankl kl 用图解法求解该超越方程 作直线y kl和曲线y tankl 由此可得该压杆临界载荷的欧拉公式为 其第一个交点的横坐标kl 4 49 材料力学 中南大学土木建筑学院 20 1 一端固定 另一端自由 相当于长度为2l两端铰支细长压杆的临界载荷 材料力学 中南大学土木建筑学院 21 2 一端固定 另一端铰支 相当于长度为0 7l两端铰支细长压杆的临界载荷 材料力学 中南大学土木建筑学院 22 3 两端固定 相当于长度为0 5l两端铰支细长压杆的临界载荷 材料力学 中南大学土木建筑学院 23 固 固 固 铰 固 自 铰 铰 m 0 7 m 0 5 m 2 m 1 材料力学 中南大学土木建筑学院 24 m 长度因数ml 相当长度 长度因数m与杆端约束有关 约束越强 m越小 约束越弱 m越大 三 欧拉公式的一般形式 材料力学 中南大学土木建筑学院 25 材料力学 中南大学土木建筑学院 26 解 由平衡方程求得杆件压力为 两杆分别达到临界力时F可达最大值 材料力学 中南大学土木建筑学院 27 解 图 a 图 b 材料力学 中南大学土木建筑学院 28 一 临界应力 欧拉公式的一般形式 临界应力 9 4欧拉公式的应用范围 材料力学 中南大学土木建筑学院 29 用临界应力表达的欧拉公式 柔度l集中反映压杆的长度 约束条件 截面尺寸和形状对临界应力的影响 临界应力 scr越小 越容易失稳 材料力学 中南大学土木建筑学院 30 于是Fcr a Fcr b a 杆先失稳 解 la lb scr a scr b 分析哪一根细长压杆先失稳 材料力学 中南大学土木建筑学院 31 二 欧拉公式的适用范围和经验公式 适用条件 材料服从胡克定律 小变形 因此 应力超过材料的比例极限sp后 欧拉公式不再成立 欧拉公式的适用范围是scr sp 1 欧拉公式适用范围 材料力学 中南大学土木建筑学院 32 Q235钢lp 100 材料力学 中南大学土木建筑学院 33 中柔度杆 中长杆 2 经验公式 材料力学 中南大学土木建筑学院 34 ls 小柔度杆 短粗杆 不属于压杆的稳定性问题 按抗压强度处理 2 抛物线公式 中小柔度杆 此时scr ss 材料力学 中南大学土木建筑学院 35 柔度 影响压杆承载能力的综合指标 实际压杆柔度 长细比 三 临界应力总图 材料力学 中南大学土木建筑学院 36 临界应力总图 细长杆 中长杆 短粗杆 材料力学 中南大学土木建筑学院 37 9 5 9 6压杆的稳定计算 材料力学 中南大学土木建筑学院 38 稳定条件 工作应力不大于稳定许用应力 材料力学 中南大学土木建筑学院 39 稳定条件 工作安全因数不小于规定的稳定安全因数 一 安全因数法 理想压杆 材料均匀 轴线笔直 载荷无偏心 实际压杆 材料缺陷 轴线初弯 载荷偏心 材料力学 中南大学土木建筑学院 40 scr nst与压杆柔度l有关 sw 是的l函数 二 稳定 折减 因数法 材料力学 中南大学土木建筑学院 41 解 一根角钢 两根角钢图示组合之后 所以 用经验公式求临界压力 安全因数 材料力学 中南大学土木建筑学院 42 材料力学 中南大学土木建筑学院 43 解 1 计算柔度x y面内 两端铰支绕z轴发生失稳 m 1 材料力学 中南大学土木建筑学院 44 x z面内 两端固定绕y轴发生失稳m 0 5 材料力学 中南大学土木建筑学院 45 比较lz 65 1ly 76 3因为lz ly所以x z面内先失稳 即绕y轴失稳 按较大的柔度ly来确定压杆的稳定因数j 2 稳定校核 满足稳定条件 j s 161MPa 由插值法求ly 76 3时的稳定因数j 材料力学 中南大学土木建筑学院 46 解 最大柔度 x y面内 两端视为铰支 z 1 x z面内 一端固支 一端自由my 2 求稳定因数 木杆 求许用压力 材料力学 中南大学土木建筑学院 47 解 对于单个10号槽钢 形心在C1点 两根槽钢图示组合之后 材料力学 中南大学土木建筑学院 48 求临界载荷 属于大柔度杆 由欧拉公式求临界载荷 材料力学 中南大学土木建筑学院 49 解 杆 杆 所以 Fcr 4 32kN 材料力学 中南大学土木建筑学院 50 解 杆受力 杆的稳定性 材料力学 中南大学土木建筑学院 51 杆的稳定性 满足稳定性要求 材料力学 中南大学土木建筑学院 52 解 1 求 杆的受力 F1 3F 2 确定 3 确定结构的许可载荷 F 材料力学 中南大学土木建筑学院 53 解 1 求BC杆的轴力 以AB梁为分离体 对A点取矩 有 材料力学 中南大学土木建筑学院 54 故撑杆为细长杆 可用欧拉公式计算BC杆的临界力 2 求BC杆的临界力 材料力学 中南大学土木建筑学院 55 解 杆许可载荷 杆许可载荷 材料力学 中南大学土木建筑学院 56 利用变形条件 解得x 0 719a 材料力学 中南大学土木建筑学院 57 图所示一端固定 一端自由的工字钢立柱 顶部受有轴向压力F 320kN作用 立柱长l 1 5m 材料为Q235钢 许用应力 s 160MPa 在横截面C处 钻有直径d 80mm的圆孔 试选择工字钢型号 解 截面设计通过稳定因数法求解 由式可知 立柱的横截面应满足 上式稳定因数j是与柔度l有关的 而柔度l必须在横截面已知的情况下才能求出 因此 在A未知时 j也是未知的 于是 需要采用逐次渐进法进行试算才能确定横截面的面积 材料力学 中南大学土木建筑学院 58 从型钢表查得22a工字钢横截面积A 42cm2 最小惯性半径imin 2 31cm 于是 其应力和柔度分别为 由表查得对应于l 130时的稳定因数j1 0 387 于是 上式表明 选22a工字钢不能满足稳定条件的要求 1 第一次试算 取j1 0 5 于是 材料力学 中南大学土木建筑学院 59 2 第二次试算 取 于是 查型钢表得22b工字钢横截面积A 46 4cm2 最小惯性半径imin 2 27cm 于是 其应力和柔度分别为 使用线性插值法 求得对应于l 132时的折减因数j2 0 379 于是 上式表明 选22b工字钢也不能满足稳定条件式的要求 材料力学 中南大学土木建筑学院 60 3 第三次试算 取 于是 查型钢表得25a工字钢横截面积A 48 5cm2 最小惯性半径imin 2 4cm 于是 其应力和柔度分别为 于是 上式表明 选25a工字钢可以满足稳定条件的要求 使用线性插值法 求得对应于l 125时的折减因数j3 0 412 材料力学 中南大学土木建筑学院 61 4 局部削弱处强度校核 截面的局部削弱不会影响整个立柱的稳定性 但是应针对削弱了的截面进行强度校核 查型钢表得25a工字钢腹板厚度d 8mm 所以 截面C处的工作应力为 可见 局部削弱处满足强度要求 所以 可选25a工字钢 材料力学 中南大学土木建筑学院 62 提高稳定性 就要提高临界载荷 降低柔度 三提高压杆稳定性的措施 材料力学 中南大学土木建筑学院 63 1 选择合理的截面形状 材料力学 中南大学土木建筑学院 64 A相同 d