不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 不等式的证明常用的方法有 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 1 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分解 配方 判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式 则考虑用判别式法证 2 综合法是从命题提供的条件 或是已证明过的结论 或是已知的定义 公理 定理等条件及事实出发 经正确的推理得到结论的方法 是一种直接的演绎推理方法 也就是 由因导果 的方法 综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式 已知 可知1 可知 结论 3 分析法是指 执果索因 的思维方法 即从结论出发 不断地去寻找需知 直至达到已知事实为止的方法 分析法的思维全貌可概括下面形式 结论 需知1 需知2 已知 4 反证法 从否定结论出发 经过逻辑推理 导出矛盾 证实结论的否定是错误的 从而肯定原结论是正确的证明方法 5 放缩法 欲证A B 可通过适当放大和缩小 借助一个或多个中间量 使得B B1 B1 B2 B1 A 再利用传递性 达到欲证的目的 这种方法叫做放缩法 6 换元法 换元法是指结构较为复杂 量与量之间关系不很明了的命题 通过恰当引入新变量 代换原题中的部分式子 简化原有结构 使其转化为便于研究的形式 用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略 7 构造法 构造二次方程用 构造函数用函数单调性 构造图形用数形结合方法 8 数学归纳法方程的步骤一般的 证明一个与正整数有关的命题时 可以按以下的步骤进行 1 归纳奠基 2 归纳递推 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 n0 2等等 时 结论成立 假设当n k n N 且k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 题型一利用比较法证明不等式 例1 设a b R 求证 a2 b2 ab a b 1 这是一个整式不等式 可考虑用比较法 在配方过程中应体现将a或b看成主元的思想 在这样的思想下变形 接下来的配方或因式分解相对容易操作 证法一 作差法 a2 b2 ab a b 1 a2 b 1 a b2 b 1 a 2 b2 b a 2 b 1 2 0 证法二 构造法 记f a a2 b 1 a b2 b 1 因为二次项系数为正 所以 b 1 2 4 b2 b 1 3 b 1 2 0 所以f a 0 即a2 b2 ab a b 1 题型二利用综合法证明不等式 例2 已知a b c为不全相等的正数 求证 3 欲证不等式 右边为常数 左边为轮换对称式 故想到将左边拆项 使用均值不等式 证法一 左边 3 因为a b c为不全相等的正数 所以 2 2 2 且等号不同时成立 所以 3 3 即 3 证法二 左边 2 2 2 a b c 6 因为a b c为不全相等的正数 所以 a b c 6 3 3 6 9 6 3 即 3 3 3 1 两种证法的差别在于不等式的左端实行不同的恒等变形 其目的都是为了有效地利用有关的基本不等式 这是利用基本不等式证明不等式的一个难点 变形 的形式很多 常见的是拆 并项 也可乘一个数或加上一个数等 2 常见已证过的不等式有以下几种形式 a2 0 a R a 0 a R a2 b2 2ab a b R 的变形有 a2 b2 2 ab 2ab a2 b2 a b 2 a b 2 4ab 2 a 0 b 0 及其变形 2 ab 0 2 ab 0 a2 b2 c2 ab bc ca 不必死记公式变形 但应敢于对公式进行等价变形 善于应用变形证明不等式 利用分析法证明不等式 题型三利用分析法证明不等式 例3 已知a b 0 求证 所证不等式的形式较复杂 如从次数看 有二次 一次 1 2次等 难以从某个角度着手 故考虑用分析法证明 即执果索因 寻找不等式成立的必要条件 实际上就是对所证不等式进行适当的化简 变形 这种变形在相当多的题目里都是充要的 欲证 成立 只需证 a b 2 只需证 2 只需证 即证 1 只需证1 2 1 即证 1 只需证 1 因为a b 0 所以 1 成立 从而 有 分析法的步骤是未知 需知 已知 在操作中 要证 只需证 即证 这些词是不可缺少的 题型四利用反证法证明不等式 例4 设f x x2 px q 则 f 1 f 2 f 3 中是否至少有一个不小于 并证明你的结论 结论若是 都是 都不是 至少 至多 或 等形式的不等式命题 往往考虑用反证法 证法一 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 因为f 1 1 p q f 2 4 2p q 所以p f 2 f 1 3 q 2f 1 f 2 2 所以 f 3 9 3p q 2f 2 f 1 2 2f 2 f 1 2 2 2 这与 f 3 矛盾 故 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 证法二 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 而f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 又 f 1 f 3 2f 2 f 1 f 3 2f 2 2 2 矛盾 故 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 反证法实质上是通过证明原命题的逆否命题而实现的 在否定结论时必须对结论反面的各种情形都予以考虑 不能有所遗漏 题型五利用放缩法证明不等式 例4 已知a b R 求证 不等式的两端是绝对值 需对a b是同号和异号进行讨论 证法一 放缩法 由真分数的性质知 左边 右边 证法二 构造函数法 设f x x 1 判断f x 在 0 上的单调性 设0 x1 x2 且x1 x2 0 则f x1 f x2 0 所以f x 在 0 上为增函数 又0 a b a b 所以f a b f a b 即 1 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n N 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式是成立的 2 假设当n k时等式成立 就是1 2 22 2k 1 2k 1那么 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 2 2k 1 2k 1 1这就是说 当n k 1时 等式也成立 因此 根据 1 和 2 可断定 等式对于任n N 都成立 练习 拉格朗日中值定理 若函数f x 是闭区间 a b 上连续不断的函数 且在区间 a b 内导数都存在 则在 a b 内至少存在一点x0 使得f x0 如我们所学过的指 对数函数 正 余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件 试用拉格朗日中值定理证明 当0 a b时 ln 可不用证明函数的连续性和可导性 令g x lnx x a b 则g x 符合拉格朗日中定理的条件 即存在x0 a b 使g x0 因为g x 由x a b 00 即 g x0 所以 ln 放缩法的理论依据主要有 不等式的传递性 等量加不等量为不等量 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 5 换元法是数学中的基本方法 它的应用十分广泛 不仅在不等式的证明中用到它 在其他数学问题的研究中也经常用到它 三角换元法有一定的规律性 2007 江苏卷 设f x alnx a R 1 求f x 的单调区间 2 证明 lnx 1 函数f x 的定义域为 0 f x x 0 若a 0 则f x 0对一切x 0 恒成立 若a 0 则当x 0时 f x 0 x 2a x2 4a2x 4a2 0 所以x 2a