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文档简介

平面向量的数量积黄向荣 一 知识梳理 1 平面向量的数量积 1 a与b的夹角 2 向量夹角的范围 3 向量垂直 00 1800 共同的起点 4 两个非零向量的数量积 规定 零向量与任一向量的数量积为0 a b a b cos 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 平面向量数量积的重要性质 1 e a a e a cos 2 a b的充要条件是a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或 a 4 cos 5 a b a b ab为非零向量 e为单位向量 3 平面向量的数量积满足的运算率 1 交换律 a b b a 2 实数与向量结合律 a b a b a b 3 分配律 a b c a c b c 二 基础练习1 判断下列命题的真假 1 平面向量的数量积可以比较大小 2 因为直线的夹角范围为 00 900 所以向量的夹角范围也为 00 900 3 已知b为非零向量因为0 a 0 a b 0 所以a 0 4 对于任意向量a b c 都有a b c a b c 2已知 a 12 b 9 a b 54 2 求a和b的夹角 3 已知 ABC中 a 5 b 8 C 600 求BC CA 4 已知 a 8 e是单位向量 当它们之间的夹角为 3 a在e方向上的投影为 三 典型例题 例1 已知 a b a 3b 求证 a b 2 b 解 a b a 3b a b a 3b 0即a a 3a b b a 3b b 0即a a 2a b 3b b 0 a b 2 4b2即 a b 2 4 b 2 a b 2 b 例2 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 解 a 3b 7a 5b a 4b 7a 2b a 3b 7a 5b 0且 a 4b 7a 2b 0即7a a 16a b 15b b 07a a 30a b 8b b 0两式相减得 2a b b2 代入其中任一式中得 a2 b2 cos 例3 求证 直径所对圆周角为直角 证明 设AC是圆O的一条直径 ABC为圆周角 如图 设AO a OB b 则AB a b OC a 则BC OC OB a b a b AB BC a b a b a2 b2 a 2 b 2 0 AB BC ABC 900即直径所对圆周角为直角 四 巩固练习 1 已知 ABC中 AB a AC b 当a b 0 a b 0时 ABC各是什么样的图形 2 已知 a 3 b 4 且a与b的夹角 1500 求a b a b 2 a b 3 设a是非零向量 且b c 求证 a b a c的充要条件是a b c 4
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