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4相对论理论的四维形式 引言 在相对论中时间和空间不可分割 当参考系改变时 时空坐标互相变换 三维空间和一维时间构成一个统一体 四维时空 回顾三维空间的正交变换1 二维坐标正交变换 二维坐标转动新旧坐标之间有变换关系 2 三维坐标正交变换 三维坐标转动三维坐标线性变换的一般形式 坐标系转动时距离保持不变 应有 只有满足了 4 6 的线性变换称为正交变化 4 6 正交条件 把变换式代入正交条件 然后引入函数 可以得到正交变换的反变换式 变换系数可以写成矩阵形式 于是正交条件用矩阵乘法可写成 是单位矩阵 二物理量按空间变换性质的分类 1 标量满足关系式 2 矢量满足关系式 注意 对于算符也是矢量 3 二阶张量按一下方式变换 二阶张量可以分解为三部分 迹 无迹对称张量 反对称张量 4 指标的收缩 两个矢量的标积是一个标量 因为它在另一个坐标系上的值 上式中 指标i重复并从1到3求和 这样的运算称为指标的收缩 对于这个式子的i收缩后没有剩下自由指标 所以它是个标量 同样 一个张量和一个矢量做乘积 在指标j收缩后还剩下一个自由指标i 所以它是一个矢量 因此 只要看某式有多少个自由指标 就可以判断它的物理量类型 3 洛仑兹变换的四维形式 以上指出 三维坐标转动是满足距离不变 的线性变换 在 洛仑兹变换是满足间隔不变 的四维时空线性变换 如果形式上引入第四维虚数坐标 则间隔不变式可写为 以后在下角标中用拉丁字母代表1 3 希腊字母代表1 4 记 间隔不变式可写为 一般洛仑兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换 因此 洛仑兹变换形式上可以看作四维空间的 转动 所以三维正交变换的关系可以形式上推广到洛仑兹变换中 注意这个四维空间的第四个坐标是虚数 所以它是复四维空间 与实数的四维欧几里德 Euclid 空间不同 沿x轴方向的特殊洛仑兹变换式的变换矩阵为 逆变换式的变换矩阵为 满足正交条件 4四维协变量 按照物理量在四维空间转动 洛仑兹变换 下的变换性质来把物理量分类 洛仑兹标量 不变量 在洛仑兹变换下不变的物理量四维矢量 具有四个分量的物理量 如果它在惯性系变换下与坐标有相同变换关系 即 四维矢量满足变换关系 称为四维矢量 标量 矢量和各阶张量在洛仑兹变换下有确定的变换性质 协变量 例如 间隔和固有时都是洛仑兹标量 四维速度矢量 四维速度的分量 四维波矢量 在洛仑兹变换下四维波矢量的变换式为 特殊洛仑兹变换 5 物理规律的协变性 如果一个方程的每一项属于同类协变量 在参考系变换下 每一项都按相同的方式变换 结果保持方程形式不变 在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性
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