数学物理方法-第五章 傅里叶变换

第五章 傅里叶变换,利用三角级数的周期性来展开周期函数,5.1 傅里叶级数,周期函数的傅里叶展开；奇函数和偶函数的傅里叶展开；有限区间中的函数的的傅里叶展开；复数形式的的傅里叶展开；。,1. 周期函数的傅里叶展开,周期为 2l 的函数 f(x) 满足,周期,的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。,三角函数族：,a. 2l 周期性,b. 按三角函数族展开,不同的函数形式由不同的组的 和 表示。,同样,三角函数组具有正交性,(5.1.4),(5.1.3),此为傅里叶级数展开,因此,其中,(5.1.5),此为傅里叶系数,此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。,函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致,狄里希利定理,若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且,例,交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。,解,周期为,和,频谱,频率,幅度,各个频率分量的幅度,通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。,因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。,2.奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数，,是偶函数。,故 奇函数 f(z) 有,其中,偶函数 f(z) 有,其中,例,周期,矩形波,奇函数,频域中的图示由你们给出,3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l).,可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,4. 复数形式的的傅里叶,其中,例,矩形波,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？,有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当为 。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。,设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开,令：,则,(5.2.1),1. 傅里叶积分,若 有限，则,(5.2.1)中的余弦部分的极限为：,同理，正弦部分的极限为：,故,其中,(5.2.4),(5.2.5),(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。,为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。,傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 上绝对可积（即 收敛），则f(x) 可表为 傅里叶积分，且,傅里叶积分值= 。,2. 振幅谱和相位谱,又可写,为振幅谱为相位谱,3. 奇、偶函数,偶函数,奇函数,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。,偶函数,(1),4. 复数形式的傅里叶积分,表示为,原函数,像函数,原函数到像函数的正变换,像函数到原函数的反变换,例,同前例,5. 傅里叶变换的基本性质,(1) 导数定理,证明：,#,(2) 积分定理,记,则,由导数定理,即,#,(3) 相似性定理,通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。,证明,#,(4) 延迟定理,x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。,证明,#,(5) 位移定理,频域的位移,证明,#,(6) 卷积定理,原函数的卷积与像函数的乘积间的关系,若,和,则,证明,卷积：,#,6. 多重傅里叶积分,一维变换到高维空间中的变换,三维,矢量表示,相互独立,也相互独立,小结,1.周期函数的傅里叶展开,周期为 2l 的函数 f(x) 满足,对应方程：有边界条件,2.奇函数和偶函数的傅里叶展开,奇函数，,偶函数。