李雅普诺夫方法分析控制系统稳定性0306

第二章,李雅普诺夫稳定性理论,2.1 稳定性基本概念,2.2 Lyapunov意义下的稳定性,2.3 Lyapunov第一法,2.4 Lyapunov第二法,2.5 Lyapunov方法在线性系统中的应用,2.6 Lyapunov方法在非线性系统中的应用,1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义下的 稳定性概念2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别,教学要求：,研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后 系统状态方程解的收敛性，与输入无关。,经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，Nquist稳定判据，根轨迹判据等非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统),1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应，最优控制，非线性控制等。,主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数,2.1 稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态： 系统的平衡状态 a.线性系统 A非奇异： A奇异： 有无穷多个,b.非线性系统 可能有多个 例如： 令,4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。,2.2 李雅普诺夫意义下的稳定1.李氏意义下的稳定如果对每个实数 都对应存在另一个实数 ，使得由满足,的任意初始态 出发的运动轨迹,，在 都满足：,则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。注意： 向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。,2.渐近稳定1）是李氏意义下的稳定2） 一致渐进稳定3.大范围内渐进稳定性对 都有,初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。,线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。,当 与 无关 大范围一致渐进稳定。 不稳定性：不管 ， 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态是不稳定的。,线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 部发散的轨迹。至于是否趋于无穷远, 域外是否存在其它平衡状态并不确定。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。,3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 线性定常系统稳定性的特征值判据：1）李氏稳定的充要条件： 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。,非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程： 在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：,-非线性函数,其中：,-(级数展开式中二阶以上各项之和),上式为向量函数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为：,结论：若 ，则非线性系统在 处是渐进稳定的，与 无关。若 则不稳定。若 ，稳定性与 有关，,3.4 李雅普诺夫第二法(直接法),稳定性定理： 设系统状态方程： 其平衡状态满足 ，假定状态空间原点作为平衡状态( )，并设在原点邻域存在 对 x 的连续一阶偏导数。,定理1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续单调衰减。定理2：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。如果V(x)还满足则原点是大范围渐进稳定的。,说明：不存在 ， 定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。,定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。说明： 正定 能量函数随时间增大， 在 处发散。,线性系统不稳定 非线性系统不一定推论1：当 正定， 正半定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2： 正定， 正半定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。,原点不稳定,几点说明： 选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致 不定的结果。 这仅仅是充分条件。 -单调衰减(实际上是衰减振荡),李氏第二法的步骤：构造一个 二次型；求 ，并代入状态方程；判断 的定号性；判断非零情况下， 是否为零。,渐进稳定,李氏稳定,不稳定,令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 渐进稳定,例1：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：,令,原点是唯一平衡点,设则,负定,原点是渐进稳定的；,因为 ，该系统是大范围渐进稳定的；,定理1,例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：1),令,即原点是平衡状态。,设,则：,负半定,令,只有全零解,非零状态时,原点 是渐进稳定，且是大范围一致渐进稳定。,定理2,例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：由于 设 则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。,则原点是平衡状态,定理3,例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解: 即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有,故 正半定。 令 即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。,推论1,2.5 线性系统的Lyapunov稳定性分析,1. 线性时不变系统的Lyapunov稳定性设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 则：,-非奇异矩阵,，将 代入：,令 由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统是大范围渐进稳定。定理：系统 大范围渐进稳定的充要条件为： 给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正 定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个Lyapunov函数。,例1：解：选取,P正定,是大范围一致渐进稳定,推论 系统 所有特征值实部都小于负常数-a的充要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，都存在正定矩阵P满足方程,2. 线性时变系统的Lyapunov稳定性分析,设系统方程为系统在平衡点xe=0大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的连续正定对称矩阵Q(t)，存在一个连续正定对称矩阵P(t)使得V(x(t),t)为系统的Lyapunov函数。,证明：取Lyapunov函数 V(x(t), t)=xT(t) P(t) x(t)P为正定对称阵，且为时间的连续函数，则,由上式可知上式是黎卡提方程的特殊情况，解为 式中 ( , t)系统 (t) = A(t)x(t)的状态转移矩阵。当取Q(t) = I时,显然，当选取Q(t) = I时，可以通过系统的状态转移矩阵 ( , t)计算矩阵P(t)，并根据矩阵P(t)是否连续、对称、正定性来分析线性时变系统的稳定性。,3. 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性分析 设系统状态方程： 其中 -非奇异阵， 是平衡状态。 设,令,李氏代数方程,定理：系统 渐进稳定的 充要条件为： 给定任一正定实对称阵Q，存在一个正实对称P，使式 成立，则 是系统的一个李氏函数。,4. 线性时变离散系统的Lyapunov稳定性分析,设线性时变离散系统方程为则系统在平衡状态大范围渐进稳定的充要条件是：对于任给定正定对称矩阵Q(k)存在一个正定对称矩阵P(k+1)使得,并且上面的差分方程的解式中P(0)为初始条件。当Q(i)=I时,2.7 系统响应快速性的估计,2.7.1 系统动态性能定义 (x)与V(x)比值的负值为对于渐进稳定系统， 恒取正值， 越大渐进稳定的运动x(t)趋于平衡点越快。解上式得到,其中x0，t0分别是系统的初始状态和初始时刻。为方便讨论，定义将 带入前面的V(x) 中，得到 显然 给出了V(x)趋于平衡点的速度估计。 是表征Lyapunov函数V(x)趋于平衡点快慢的最大时间常数，该常数约为用传统控制理论计算出的系统自由响应时间常数的一半。,2.7.2 线性定常系统 的计算,设线性定常系统为 ，矩阵A的所有特征值都有负实部，即线性系统渐进稳定。则式中P为正定对称矩阵，Q= - (ATP+PA),求上式的极值令 ，带入上式，得到由于x为非零向量，所以 必为QP-1的一个特征值。因此， 等于QP-1的最小特征值 。,例如： 系统为,试求取系统的Lyapunov函数，以及从封闭曲线V(x) = 150边界上一点到封闭曲线V(x) = 0.06内一点响应时间上界。解: (1) 设Q=I, 根据 ATP+PA=-Q 求矩阵P,即,则Lyapunov函数及其导数为,则,令 ，由 得到,把以上结果带入到 中，得到 =0.553， =1.447，由于 ，取=0.553。 也可由QP-1矩阵的最小特征值求得。根据 ，考虑到Q=I, 求出矩阵QP-1的两个特征值 因此 =0.553。,(3) 求从封闭曲线V(x) = 150到封闭曲线V(x) =0.06 的过渡过程时间，因为所以,从曲线V(x) = 150上出发任一轨迹，进入V(x) =0.06 所包围的区域内，所需时间不超过14.148个时间单位。如果 是Lyapunov 收敛时间常数，则自由响应时间常数上限为,参数的最优化设计,设线性系统状态方程为,其中，系统矩阵A(a)的某些元素依赖于可选参数a。参数a选择原则是使二次型积分指标达到最小，其中Q为正定或半正定常数矩阵。矩阵A(a)所描述的系统渐进稳定，由性能指标中,中给定正定或半正定Q可通过方程解出正定的含参数a的矩阵P(a)。性能指标J可化为,显然，性能指标是a的函数，其极值的充要条件是例：系统状态方程为,确定阻尼比 0并使得性能指标 J 达到最小。,解：由于A是稳定矩阵，所以J=xT(0)Px(0),而P可由矩阵方程ATP+PA=-Q确定，即,解矩阵方程，得到,性能指标J 为,将x1(0)=1, x2(0)=0带入上式，得到,令 ，得到使性能指标达到极值时的,状态反馈的设计,系统状态方程为选择 ，当u =0时，V(x)关于时间的变化率为所以系统不是渐进稳定的，只是稳定的。,当有控制输入时，V(x)关于时间的变化率,若取u = - k x2, k 0，则,是负半定的，而且在解的曲线上V(x)不恒为零，所以系统是渐进稳定的。,非线性系统的Lyapunov稳定性分析,克拉索夫斯基方法(见pdf课件)变量梯度法,2. 变量梯度法,设不受外部作用的非线性系统为,的平衡状态是状态空间原点。设找到判断系统渐进稳定的Lyapunov函数V(x)是状态 x 的显函数，而不是 t 的显函数。则Lyapunov函数对时间的导数为,其中梯度grad V是n 维列向量,则,如果grad V的n维旋度等于零，即rot(grad V) = 0，则上式与积分路径无关。旋度为零的充要条件是：grad V的雅可比矩阵是对称的。,即,(1),当上式满足时，V(x)的积分路径可任意选择：,(2),应用变量梯度法步骤：1. 将Lyapunov函数的梯度设为,其中aij 为待定系数，可以是常数、t 的函数、 xi 的函数。,2. 由grad