概率与数理统计-1-4

引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率 影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？,解 设A1从甲盒取出个红球; A2 从甲盒取出个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出个红球;则 A1, A2, A3 两两互斥，且A1A2A3 , 所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),思考：这种解法是否可一般化？,5 、全概率公式和贝叶斯公式,注：也可利用古典概率计算,若 两两互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分,全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零各个击破,定理条件改为:,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai（或途径，或前提条件)(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，由Ai发生导致B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。,P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),全概率公式。,直观理解,由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系 。,诸Ai是原因B是结果,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生可能原因：A1，A2，A3，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),1,2,3,计算得：P(B)=8/15,注：不是等可能概型,例2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式，有,例3某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到:,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,解,例1,由贝叶斯公式得所求概率为,概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.,而在得到信息后再重新加以修正的概率 0.97叫后验概率.,解,例2,那他现在呈阳性，说明患癌症的概率为0.96, 对吗？,不患癌症检查阳性的概率才为0.04,由贝叶斯公式得所求概率为,解,现在来分析一下结果的意义.,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005,若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.7% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),知道B发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),解:,练习 ：,验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95,一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99,并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收的概率。,设 A=此批产品被接收 Bi=取出3件产品中恰有i件是次品， i=0,1,2,3。 则,因三次测试是相互独立的，故 P(A|B0)=0.9