概率与数理统计-6-1

,统计学的做法分为两种：描述性统计推断性统计,第六章 描述性统计,丹麦统计史学家哈尔德认为,”统计学”和”统计学家”词出于意大利语:统计学即国情学,对象是国务活动家感兴趣的事实,而统计学家则是”处理国务的人”,国家:State.统计学Statistics,概率论讨论了随机变量的基本概念和方法。 随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计规律性。 在概率论的许多问题中，随机变量的概率分布是已知的，或者假设为已知的。而一些计算和推理就是在这已知的基础上得出来的。,但是在许多实际问题中，所描述的随机现象的随机变量的概率分布可能完全不知道；或者由于现象的某些事实而知道其分布形式，但是不知道其分布函数中所含的参数。,1.若规定寿命低于1000小时的产品为次品，设X表示灯泡寿命，此 问题就是要求, 就是我们希望知道它的分布.,2.从平均寿命，使用时数长短差异看其质量就是, 就是我们希望知道该分布的一些数字特征，如期望和方差等,例 1 某工厂生产大批灯泡，要从其使用寿命这个数量指标来看其质量,类似的问题在生产活动和经济活动中是经常会遇到的，,从理论上讲，只要我们对随机现象进行大量的观察或试验，它的统计规律性就会呈现出来。,然而，在实际中由于受到时间、人力、物力、财力等因素的限制，只能进行有限次的观察或实验。,数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作出精确而可靠的结论.,数理统计研究的内容,问题1: 怎样对随机现象进行有限次的观察或试验？ 试验设计与抽样方法,问题2: 如何对这有限次的观察或试验所得到的，带有随机性的数据进行合理的分析，作出科学的推断？ 统计推断（或叫数据处理）,我们只学习问题2统计推断中的一些重要概念和在实际中最常用的基本统计方法。,我们研究的第二个问题统计推断，就是从所研究的全体对象即整体（如例中的一大批灯泡），抽取一部分产品，可得到（有随机性的）一部分数据，对这部分数据进行合理的分析，从而对整体作出科学的推断。故可知,数理统计方法具有“局部推断整体”的特点。,局部既然是整体的一部分，它必然能反映出整体的某些信息；但是局部又不是整体，它决不能准确地反映出整体的全部信息。,一个好的统计方法，是使由局部推断出的有关整体的信息尽可能地准确。,6.1 总体 样本,一.总体与个体,在一个统计问题中，把所研究对象的全体称为总体。,构成总体的每个成员称为个体。,如：例1 中的一大批灯泡叫总体。而每个灯泡叫做个体。,说明 (1) ：实际上, 我们真正关心的并不是总体或个体的本身,而是其某项数量指标或某几项数量指标,如例1灯泡的质量，我们研究的是其使用寿命这个数量指标， 不关心灯泡的颜色，形状等物理特性。,因而总体：就是指所有个体具有的数量指标的全体。,个体 ：指构成总体的每个成员的数量指标。,今后当我们说总体和个体时, 既指研究对象又指它们的某项(几项)数量指标.,一个总体（数量指标）就和一个随机变量X相对应,该随机变量的分布就是数量指标总体的分布。,如：例1,总体,总体,随机变量X,数量指标的全体,不同数量指标的全体,说明 (2) ：为研究方便，将总体与随机变量对应,总体的分布与其对应的随机变量X分布等同,例2：一批产品是100个灯泡。将每个灯泡测试数据统计如下表,若用随机变量X表示寿命，分布情况,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述,总体就可以用随机变量 X 表示，总体的分布就是 X 的分布,鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 比如说总体 X 或总体 F(x) 。,如：当研究的总体X服从正态分布时，也简称为正态总体。,说明(3): 总体有K 个数量指标要研究，则要用K维随机变量研究。,如：在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示。,二. 样本（子样）,1. 定义:,为推断总体分布及其各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本。样本中所包含的个体数目称为样本容量。每个抽到的个体叫样品。,从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5,每个被抽到的汽车叫样品，被抽到的5辆车叫样本。,2.样本的表示及双重含义,用 表示第i个被抽到的个体（i=1,2,n），是一个随机变量,（1）随机性,容量为n的样本就对应n维随机变量,（2）确定性,称为样本的一次观察值，简称样本值 .,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法。 对抽样有两个要求：,（2）要有独立性，既要求样本中每一样品取什么值不受其他样品取值的影响，这意味着 要相互独立。,满足以上两个要求的抽样叫“简单随机抽样”，这是最常用的一种抽样方法，用此方法获得的样本称为“简单随机样本”。,定义 设总体为X，若 互相独立且与X 同分布，则称 为来自总体X的容量为n的简单随机样本。,怎样得到简单随机样本呢？,二是可对总体X 进行n 次独立重复试验,一是采取有放回的抽样,简单随机样本具有下面两个特点。,1. 代表性： X1, X2, Xn中每一个样品 都与总体 X 有相同的分布。,2. 独立性： X1, X2, Xn是相互独立的随机变量。,注：当说到“X1, X2, Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本。,设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为,当总体X是离散型时，其分布律为,样本的联合分布律为,当总体X是连续型时， Xf(x)，则样本的联合密度为,3已知总体的分布，可写出样本的分布。,4.总体、样本、样本值的关系,如我们从某班大学生中欲抽取10人测量身高，用 X1, X2, , X10表示10个人的身高。进行试验后，得到10个数， x1, x2,x10，它们是样本取到的值，即样本值。我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量。,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体。,样本是联系二者的桥梁,总体（理论分布）,样本,样本值,？,统计就是从手中已有的资料 样本值，去推断总体分布的性质。,如果总体所包含的个体数量是有限的,则称该总体为有限总体. 有限总体的分布显然是离散型的,如例2. 如果总体所包含的个体数量是无限的,则称该总体为无限总体. 无限总体的分布可以是连续型的,如例3,也可以是离散型的.,5、有限总体与无限总体,在数理统计中,研究有限总体比较困难.因为它的分布是离散型的,且分布律与总体所含个体数量有关系.,说明,所以,通常在总体所含个体数量比较大时,我们就把它近似地视为无限总体,并且用连续型分布去逼近总体的分布,这样便于做进一步的统计分析.例4,用一把尺子去量一个物体的长度. 假定n次测量值为X1,X2 , ,Xn 显然,在这个问题中,我们把测量值 X1,X2 , ,Xn看成了样本,但是,总体是什么呢?,例3,事实上,总体无法列举的.总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体,分析:,假定物体的真正长度为 (未知).一般说来测量值X,也就是我们的总体,取附近值的概率要大一些,而离愈远的值被取到的概率就小一些. 如果测量过程没有系统性误差,那么X取大于和小于的概率也会相等.,在这样的情况下,人们往往认为X服从均值为的正态分布.假定其方差为2,则2反映了测量的精度.于是,总体X的分布为N(,2). 记为XN(,2).,这里有一个问题,即物体长度的测量值总是在它的真正长度的附近,它根本不可能取到负值. 而正态变量取值在(-,+)上,那么怎么可以认为测量值X服从正态分布呢? 回答这个问题,有两方面的理由.,（1） 在前面讲过,对于XN(,2). P-3X+3=0.9974.即X落在区间(-3,+3)之外的概率不超过0.003,即这个概率是非常小的.显然X落在(-4,+4)之外的概率也就更小了.,比如，假定物体长度=10厘米,测量误差约为0.01厘米，则2=0.012. 这时(-3,+3)=(9.9997,10.0003). 于是测量值落在这个区间之外的概率最多只有0.003,可以忽略不计. 可见，用正态分布N(10,0.012)去描述测量值X是适当的.完全可以认为它根本不可能取到负值.,（2） 另外,正态分布取值范围是无限区间(-,+),这样还可以解决规定测量值取值范围上的困难.,如若不然,我们需要用一个定义在有限区间(a,b)取值的随机变量来描述测量值X.那么a和b到底应取什么值,测量者事先很难确定.还不如我们干脆就把取值区间放大到(-,+),并采用正态分布去描述测量值.这样既简化了问题又不致引起较大的误差,例 4,研究某大城市年龄在1岁到10岁之间儿童的身高. 显然,不管这个城市规模有多大,在这个年龄段的儿童数量总是有限的.因此,这个总体X只能是有限总体.总体分布也只能是离散型分布.,然而,为了便于处理问题,我们可以把它近似地看成一个无限总体,并且通常用正态分布来逼近这个总体的分布. 当城市比较大,儿童数量比较多时,这种逼近所带来的误差,从应用观点来看,可以忽略不计.,引入了总体和样本的概念后，数理统计中的统计推断问题就归结为，根据来自总体的样本，对总体的分布或分布中的参数等进行统计推断。我们可从样本去认识总体。,样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工”和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此引入统计量的概念。,6 统计量,1 定义:,注：统计量是随机变量，,它是完全由样本决定的量.,是,不是,例1,2.几个常见统计量,样本均值,它反映了总体均值的信息,样本方差,它反映了总体方差的信息,样本k阶中心矩,它反映了总体k 阶中心矩的信息,样本k阶原点矩,它们的观察值分别为：,6.2 抽样调查方法,A. 抽样调查的可行性和必要性,样本的随机性(代表性)适当的样本量。样本量不必随总体增大而增大。,为了推断总体的情况，调查全部总体不现实或不必要，如: 寿命试验。抽样调查因为工作量较小所以有时比普查可以更准确,B. 随机抽样,如果总体中的每个个体都有相同的机会被抽中，就称这样的抽样方法为随机抽样方法。简单地分，抽样分为有放回抽取和无放回抽取。无放回抽取从实现上和从精