§4.3任意角的三角函数3

课题 课题 任意角的三角函数 目标 目标 1 掌握任意角的三角函数的定义 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等 掌握三 角函数在各个象限的符号 2 培养数形结合思想 学会从映射的概念出发 正确理解三角函数是以实数为自变量的函 数 3 体验在变化过程中寻找不变量的意识和习惯 体会变中有定 静中有动的辩证统一 重点 重点 任意角的三角函数的定义 终边相同角的同一三角函数值相等 难点 难点 任意角的三角函数的定义 疑点 疑点 正确理解三角函数可看作以 实数 为自变量的函数 三角函数定义域的确定 过程 过程 一 复习引入一 复习引入 1 初中所学的锐角三角函数的定义 在直角三角形中 且值都为正数 称为直角三角形定义法 静态 2 角的概念的推广 任意角在坐标系中画法 轴上角 象限角终边的位置 提出问题 任意角三角函数如何定义呢 板书课题 二 新课二 新课 1 1 探究 探究 设 是一个任意角 在 的终边上任取 异于原点的 一点 P 则这一点的坐标就确定了设为 P x y P 与原点的距离 图示见 P13 略 0 22 22 yxyxr 探究探究 1 x y r 三个量中两两组成一个比值 有多少个 分别写出来 比值 一共 6 个 其中 3 对互为到数 r y r x x y y x x r y r 探究探究 2 这些比值与 P 点在 终边上的位置的关系 活动设计活动设计 学生拖动 P 点 观察比值的变化 教师引导 整理 个别辅导 猜想结论 这些比值与 P 点在 终边上的位置无关 证明 相似三角形的性质 略 探究探究 3 角 的大小影响这些比值 活动设计活动设计 学生改变终边的位置 观察比值的变化 教师引导 整理 个别辅导 结论 角 的大小影响这些比值 探究探究 4 若角 的值组成一个集合 每一个比值的大小组成一个集合 能否构成一个映射 活动设计活动设计 学生分析讨论 教师引导 整理 结论 构成一个多对一的映射 因此 这些比值都是以角因此 这些比值都是以角 为自变量 以比值为函数值的函数 故称上述函数为任意角为自变量 以比值为函数值的函数 故称上述函数为任意角 的三的三 角函数 角函数 2 定义 定义 设 是一个任意角 在 的终边上任取 异于原点的 一点 P x y 则 P 与原点的距离 图示见 P13 略 0 22 22 yxyxr 比值叫做 的正弦 记作 r y r y sin 比值叫做 的余弦 记作 r x r x cos 比值叫做 的正切 记作 x y x y tan 比值叫做 的余切 记作 y x y x cot 比值叫做 的正割 记作 x r x r sec 比值叫做 的余割 记作 y r y r csc 探究探究 1 1 如果终边在坐标轴上 上述定义同样适用 探究探究 2 2 角是 任意角 当 2k k Z 时 与 的同名三角函数值应该是相等的 即凡是 终边相同的角的三角函数值相等 探究探究 3 定义域 三角函数定义域 sinR cosR tan Zkk 2 cot Zkk sec Zkk 2 csc Zkk 由于引进了弧度制 则在实数 角 与实数 比值 三角函数值 之间建立了一一对应关系 因此三角函数也可以看作是 实数 的函数 例 1 课本第 16 页 已知 的终边经过点 P 2 3 求 的六个三角函数值 解 解 13 3 2 3 2 22 ryx sin cos tan cot sec csc 13 133 13 132 2 3 3 2 2 13 3 13 x o y P 2 3 例 2 课本第 16 页 求下列各角的六个三角函数值 0 2 3 2 解 解 当 0 时 x r y 0 sin 0 cos 1 tg 0 ctg 不存在 sec 1 csc 不存在 当 时 x r y 0 sin 0 cos 1 tg 0 ctg 不存在 sec 1 csc 不存在 当 时 3 2 0 xyr sin 1 cos 0 tan不存在 cot 0 sec不存在 csc 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 当 时 2 ryx 0 sin 1 cos 0 tan不存在 cot 0 sec不存在 csc 1 2 2 2 2 2 2 3 三角函数的符号 三角函数的符号 x y 的正负是随象限的变化而不同 故三角函数的符号应由终边所在的象限确定0 r 活动设计活动设计 学生改变终边的位置 观察三角函数的符号变化 总结规律并进行证明 教师引导 整理 个别辅导 第一象限 sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 00 0 yx 第二象限 sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 00 0 yx 第三象限 sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 00 0 yx 第四象限 sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 00 0 yx 例 3 课本第 18 页 确定下列各三角函数值的符号 cos250 tg 672 10 4 sin 3 11 ctg 4 诱导公式一 诱导公式一 角是 任意角 当 2k k Z 时 与 的同名三角函数值应该是相等的 即凡是终边相同 的角的三角函数值相等 即 诱导公式一 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan csc 2k csc sec 2k sec cot 2k cot 例 4 课本第 19 页 求下列各三角函数值 1 sin1480 10 2 3 0 6451 4 9 cos 6 7 tg 2 2 3 3 诱导公式 一 的作用 能把任意角的三角函数化为 0 360 或 0 2 间的角的三角函数 其方法是先在 0 360 或