结构力学 结构稳定计算

第十五章 结构的稳定计算 15 1两类稳定问题概述 4 计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行 属几何非线性 叠加原理已不再适用 两种方法 静力法和能量法 稳定分析的几点预备知识 1 三种平衡状态 稳定平衡状态 不稳定平衡状态 中性平衡状态 2 两种分析理论 小挠度理论 大挠度理论 3 两种失稳状态 分支点失稳 极值点失稳 1 1第一类稳定问题 分支点失稳 1 1第一类稳定问题 分支点失稳 临界荷载 稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡 不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳 屈曲 两种平衡状态 轴心受压和弯曲 压缩 第一类稳定问题 1 2第二类稳定问题 极值点失稳 偏心受压 第二类稳定问题 有初曲率 1 3 稳定分析的自由度 在稳定计算中 一个体系产生弹性变形时 确定其变形状态所需的独立几何参数的数目 称为稳定自由度 1个自由度 2个自由度 无限自由度 2 1一个自由度体系 小挠度 小位移情况下 抗转弹簧 A 稳定方程 特征方程 临界荷载 15 2静力法 2 N个自由度体系 以2个自由度体系为例 稳定方程 临界荷载 B 失稳形式 2 3无限自由度体系 挠曲线近似微分方程为 或 令 通解为 由边界条件 稳定方程 经试算 15 3具有弹性支座压杆的静力法 练习 简化成具有弹簧支座的压杆 挠曲线近似微分方程为 令 习题15 8 试写出图示体系丧失稳定时的特征方程 解 通解为 边界条件 稳定方程 这是一个关于A B 的齐次代数方程要寻找它们的非零解必有其系数行列式为零 稳定方程 解此方程可得最小正根 若 若 例 求图示刚的临界荷载 正对称失稳 反对称失稳 正对称失稳时 反对称失稳时 原结构的临界荷载为 4 1势能原理 2 外力势能 1 应变能 弯曲应变能 拉压应变能 剪切应变能 外力从变形状态退回到无位移原始状态中所作的功 3 结构势能 15 4能量法 结构势能 例 求图示桁架在平衡状态下的结构势能 EA 常数 解 杆件轴力 杆件伸长量 A点竖向位移 外力势能 应变能 4 势能驻值原理 设A点发生任意竖向位移是的函数 杆件伸长量 杆件轴力 应变能 外力势能 结构势能 在弹性结构的一切可能位移中 真实位移使结构势能取驻值 对于稳定平衡状态 真实位移使结构势能取极小值 4 2能量法确定临界荷载举例 例一 求图示结构的临界荷载 解 应变能 外力势能 结构势能 由势能驻值原理 得临界荷载 例二 求图示结构的临界荷载 解 应变能 外力势能 结构势能 14 3瑞利里兹法 应变能 外力势能 体系势能 设 将无限自由度化为有限自由度 结构势能则为的多元函数 求其极值即可求出临界荷载 弯曲应变能 外力势能 体系势能 由势能驻值条件 即 得 令 写成矩阵形式 简写成 稳定方程 例 求图示体系的临界荷载 解 1 设 精确解 例 求图示体系的临界荷载 解 2 设 精确解 误差 21 6 3 设杆中作用集中荷载所引起的位移作为失稳时的位移 令 误差 1 3 15 5 剪力对临界力的影响 设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为和 同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立 二者共同影响产生的挠度为 近似的曲率为 弯矩引起的曲率为 截面形状系数矩形截面为1 2圆形截面为1 11 挠曲微分方程为 对于图示两端铰支的等截面杆 有 令 方程的通解 边界条件 稳定方程 不计剪变的欧拉临界力 修正系数 欧拉临界应力 对于三号钢 比例极限为200MPa 若取 结论 实体杆件中 剪力对临界荷载的影响很小 可略去不计 不计剪力对临界荷载的影响所得到的临界荷载是大还是小 15 6 组合压杆的稳定 缀条式 缀板式 肢杆 缀条 缀板 组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小 节间数目较多时可用上节推出的实体压杆的临界荷载计算公式作近似计算 一 缀条式组合压杆 不计肢杆轴变 I的计算 I为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩 设一根肢杆的截面积为A 对自身形心轴的惯性矩为I1 若略去横杆影响 两侧都有缀条 则上式为 若写成欧拉问题基本形式 若写成欧拉问题基本形式 若用r代表两肢杆