复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，那么关于的 函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。例如：函数 是由和 复合而成立。说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。2求有关复合函数的定义域已知的定义域为，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。3求有关复合函数的解析式已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法：就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。4.求复合函数的单调性若则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例1 设函数，求例2 已知，求例3 已知 求；已知 ，求例4 若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域例5 已知 ，求； 已知，求例6 已知是一次函数，满足，求；已知，求二、复合函数单调性及其值域初等函数复合求单调区间与值域例1 已知函数，求其单调区间及值域。变式练习11.求函数=的单调区间及值域2.求函数的单调区间和值域.例2 求=的单调区间及值域变式练习2求函数f(x)=的单调区间及值域例3 求变式练习31.求函数的单调区间及值域2.求函数的最大值和最小值.含参数的复合函数单调性与值域问题例4 已知函数（且）试讨论其单调性。例5 求函数的值域。变式练习41.讨论函数的单调性其中，且根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例6 设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围例7 已知在区间上时减函数，求的取值范围.例8 若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围.变式练习5已知函数在区间上是增函数,求的范围.解:令,则原函数是由与复合而成.原函数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.【过关检测】1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）;（2）2.求下列函数的单调递增区间：（1）;(2) .3.已知函数，如果对于任意x都有成立，试求的取值范围.4.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间上是单调递减函数.求实数 的取值范围.5求函数的单调区间【考试链接】1.（2008山东临沂模拟理，5分）若，且，则与之间的大小关系是（ ）A B C D无法确定2.函数的图象大致是（ ）3（2008江苏南通模拟，5分）设（且），若（， ），则的值等于_。4（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是_。5（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：函数（且）与