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布条缠绕圆形管道数学模型学号：1407022005 班级：14数学二班 姓名：朱文艳摘要：本文在已知布条宽度和圆形管道直径的情况下，建立相应的数学模型，通过确定重合点，运用一些简单的几何知识解决了布条与管道轴线的夹角问题。同时，从管道表面积和布条面积相等的角度，在已知管道长度的情况下，求出了布条的长度。同时也考虑到了布条两端的影响。此外，分两种情况考虑了其他形状的管道的布条缠绕问题：布条紧贴于管道缠绕和布条不紧贴贴于管道缠绕。关键词： 重合点 表面积 紧贴 管道缠绕正文1问题重述用宽为W的布条缠绕直径为d的圆形管道，如果用布条全部包住管道，问布条应该如何缠绕，才能使所用布条长度最小。若知道管道长度为L。需用多长布条（可考虑管道两端影响），如果管道是其他形状呢？2合理假设与变量约定2.1管道粗细一样且足够长；2.2管道外表面光滑；2.3缠绕时布条没有重叠或重叠部分忽略不计；2.4布条的厚度可忽略不计；2.5布条没有弹性；2.6变量限定W：布条的宽度（厘米）S: 布条的面积（平方厘米） h: 布条的长度（不考虑两端影响时）（厘米）H：布条的长度（考虑两端影响时）（厘米）L：管道长度（厘米）C: 管道横截面周长（厘米）d：管道直径（厘米） ：布条与管道的缠绕角度，见图1（度） ：管道的表面积（平方厘米）3模型建立与求解模型一：夹角的模型图 1不妨将管道表面展开如图1，黄色部分为缠绕的布条。由于要求布条完全缠绕于管道上且不重叠，那么A、B应该在管道上重合。则故模型二：布条长度的模型由于布条是完全缠绕于管道上的，且没有重叠，可以从管道表面积和布条面积相等来考虑。且 ，即 也即 但由于布条两端都成弧度，会有所浪费，因此也考虑两端的影响，即多加上图中AC段的长度。故 所需布条长度为4模型优化优化一：布条厚度的考虑既然布条厚度为一个影响结果的因素，不妨考虑一下布条的厚度。设布条厚度为，圆形管道的横截面如图2。布条上表面伸展，下表面收缩，中间的长度不变。那么圆形管道的直径相当于故 图 2优化二：其他形状的管道若管道的横截面是相等的，且布条完全贴于管道上，考虑方向就和圆形管道相同。只需将圆形管道的横截面周长换为其他形状管道的横截面周长即可。那么图 3如图3，布条贴于五角星形状的管道缠绕，那么周长即为五角星的周长设五角星边长为，则有代入和的等式计算即可。 若布条不是完全贴于管道上的，那么就以布条所缠绕的形状作为周长计算。比如五角星形状的管道，布条不贴于管道缠绕，如图4。那么计算周长时就不是计算五角星的周长了，而是计算布条缠绕所形成的五边形的周长。图 4 设五角星角之间的夹角为，则有代入和的等式计算即可。6模型评价 模型在理论上应该是很准确的，但事实上，布条不可能如想象中那样紧密排列，而且布条的厚度也并不是可以忽略不计的。这些均是影响结果的因素,所以模型有待进一步思考。参考文
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