三角函数知识点整理

三角函数知识点三角函数知识点 1 1 角的有关概念角的有关概念 1 角的概念 角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 射线的端点叫做角的顶点 旋转 开始时的射线叫做角的始边 旋转终止时的射线叫做角的终边 2 正角 负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角 当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角 3 象限角 在平面直角坐标系下 使角的顶点与坐标原点重合 角 的始边与 x 轴的正半轴重合 角的终边落在第几象限 就把这个角称做第几象限角 若角的终边落在坐 标轴上 称为轴线角 这个角不属于任何象限 4 各个象限的半角范围可以用下图记忆 图中的 分别指第一 二 三 四象限角的半角范围 5 终边相同的角 与角终边相同的角所组成的集合 S 2 kkz 2 角度制与弧度制角度制与弧度制 设扇形的弧长为 圆心角为 rad 半径为 R 面积为 S la 角的弧度数公式 a 2 360 a 角度与弧度的换算 360 2 rad 1 180rad 1rad 180 57 18 57 3 弧长公式 Ral 扇形的面积公式 lRS 2 1 3 任意角的三角函数任意角的三角函数 三角函数 6 个 表示 为任意角 角的终边上任意点 P 的坐标为 它与原点的距离为aa yx 22 0rxy r 0 当点 P 在单位圆上时 r 1 那么角的正弦 余弦 正切 余切 正割 余割分别是 a r y a sin r x a cos x y a tan y x a cot x r a sec y r a csc 4 同角三角函数关系式同角三角函数关系式 倒数关系 商数关系 1cottan aa a a a cos sin tan a a a sin cos cot 平方关系 1cossin 22 aa 三角函数知识点三角函数知识点 2 5 三角函数符号规律三角函数符号规律 sin cos tan 6 特殊锐角 特殊锐角 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 的三角比的值 的三角比的值l 7 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 k 2 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性 a 公式 三角函数三角函数 sin cos tan 诱导公式一 sin 2sin k cos 2cos k tan 2tan k 诱导公式二 sin sin cos cos 诱导公式三 sin sin cos cos 诱导公式四 sin sin cos cos 诱导公式五 诱导公式六 注 三角函数知识点三角函数知识点 3 8 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 1 两角和与差公式 sin sincoscossin sin sincoscossin cos coscossinsin cos coscossinsin tantantantan tan tan 1tantan1tantan 2 二倍角公式 2222 2 sin22sincos cos2cossin2cos11 2sin 2tan tan2 1tan 升幂公式 2 2 2 2 1 cos2 sin 1 cos22sin 2 1 cos2 1 cos22cos cos 2 降幂公式 3 半角公式 可由降幂公式推导出 2 cos1 2 sin aa 2 cos1 2 cos aa a a a a a aa sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 4 辅助角公式 5 三角函数的积化和差 可得 6 三角函数的和差化积公式 9 9 三角函数的图像和性质 其中三角函数的图像和性质 其中 zk 三角函数知识点三角函数知识点 4 三角函数 xysin xycos xytan 图象 定义域 R RR R 2 kx 值域 1 1 1 1 R R 最小正周期 2 T 2 T T 奇偶性奇偶奇 单调性 2 2 2 2 kk 单调递增 2 3 2 2 2 kk 单调递减 2 12 kk 单调递增 12 2 kk 单调递减 2 2 kk 单调递增 对称性 对称轴 2 kx 对称中心 0 k 对称轴 kx 对称中心 0 2 k 对称中心 0 2 k 零值点 kx 2 kx kx 最值点 2 kx 1 max y 2 kx 1 min y kx2 1 max y 12 kx 1 min y 无 10 函数函数的图像与性质 的图像与性质 sin xAy 本节知识考察一般能化成形如图像及性质 sin xAy 1 函数和和的周期都是 sin xAy cos xAy 2 T 2 函数和和的周期都是 tan xAy cot xAy T 3 五点法作的简图 设 取 0 来求相应的值以及对应 sin xAy xt 2 2 3 2x 的 y 值再描点作图 X0 2 3 2 2 t 2 3 2 2 sin Ax 0A0A0 三角函数知识点三角函数知识点 5 4 经过变换变为的步骤 sinyx sinyx A 方法 1 先平移后伸缩 1 sinsin sin sin yxyx yx yx 横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 向左或向右 平移个单位 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 A 方法 2 先伸缩后平移 1 sinsin sin sin yxyx yx yx 向左或向右 平移个单位 横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 A 5 函数的平移变换 将图像沿轴向左 右 平移个单位 0 aaxfyxfy xfy xa 左加右减 将图像沿轴向上 下 平移个单位 0 bbxfyxfy xfy yb 上加下减 函数的伸缩变换 将图像纵坐标不变 横坐标缩到原来的倍 缩短 0 wwxfyxfy xfy w 1 1 w 伸长 10 w 将图像横坐标不变 纵坐标伸长到原来的 A 倍 伸长 0 AxAfyxfy xfy 1 A 缩短 10 A 函数的对称变换 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy y 对三角函数来说 图像关于轴对称 x 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy x 对三角函数来说 图像关于轴对称 y 将图像在轴右侧保留 并把右侧图像绕轴翻折到左侧 偶函数局 xfyxfy xfy yy 部翻折 保留在轴上方图像 轴下方图像绕轴翻折上去 局部翻动 xfyxfy xfy xxx 11 正 余弦定理 三角函数知识点三角函数知识点 6 正弦定理 在中有 ABC 为外接圆半径 2 sinsinsin abc R ABC RABC 2 sin 2 sin 2 sin aRA bRB cRC sin 2 sin 2 sin 2 a A R b B R c C R 面积公式 111 sinsinsin 222 ABC SabsCacBbcA 余弦定理 在三角形中有 ABC 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 5 5 三角变换 三角变换 三角函数知识点三角函数知识点 7 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换 提高三角变换能力 要学会创设条件 灵活运用三角公式 掌握运 算 化简的方法技能 1 角的变换 角之间的和差 倍半 互补 互余等关系对角变换 还可作添加 删除角的恒等变形 2 函数名称变换 三角变形中常常需要变函数名称为同名函数 采用公式 其中 sin cossin 22 baba 2222 sin cos ba b ba a 3 常数代换 在三角函数运算 求值 证明中有时候需将常数转化为三角函数 特别是常数 1 4 幂的变换 对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理 有时需要升幂例如 常用升幂化acos1 为有理式 5 公式变形 三角公式是变换的依据 应熟练掌握三角公式的顺用 逆用及变形 6 结构变化 在三角变换中常常对条件 结论的结构进行调整 或重新分组 或移项 或变乘为除 或 求差等等 在形式上有时需要和差与积的互化 分解因式 配方等 7 消元法 如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量 可用此法 8 思路变换 如果一种思路无法再走下去 试着改变自己的思路 通过分析比较去选择更合适 简捷的 方法去解题目 9 利用方程思想解三角函数 如对于以下三个式子 aacossin aacossin 已知其中一个式子的值 其余二式均可求出 且必要时可以换元 aacossin 6 6 函数的最值函数的最值 几种常见的函数及其最值的求法 或型 利用三角函数的值域 须注意对字母的讨论bxay sin cosbxa 型 引进辅助角化成再利用有界性xbxaycossin sin 22 xbay 型 配方后求二次函数的最值 应注意的约束cxbxay sinsin21sin x 型 反解出 化归为解决 dxc bxa y sin sin xsin1sin x 型 常用到换元法 但须注意 的取值范围 cxxbxxay cossin cos sinxxtcossin t 2 t 3 三角形中常用的关系 sin sinCBA cos cosCBA 2 cos 2 sin CBA 2sin2sinCBA 2cos2cosCBA 三角函数值域总结 三角函数值域总结 三角函数知识点三角函数知识点 8 注意 定义域的取值注意 定义域的取值 1 应用提斜公式 形如可直接用公式 cbay cossin 形如 逆用倍角公 式化成提斜的形式 dxcxxbxay 22 coscossinsin 形如或的的函数 式中也可以是同名函数 先 cos sin xbxay cos sin xxay 用和差化积公式展开 化归为例 1 例 2 的形式求最值 形如的函数可将看作参数 利用提斜公式 dxc bxa y cos sin y 2 利用倍角公式 半角公式 化同名三角函数 然后配方 3 1 的妙用 形如 sinxcosx sinxcosx 在关系式中时 可以应用换元处理 令 t sinxcosx 则 sinxcosx 把三角问题化为代数为题来处理 2 t 1 2 4 形如的函数用分离变量法分离常数 利用 sinx 的有界性求解 sin sin axb y cxd 5 形如的函数可将看作参数 化归为例 1 的形式求解 dxc bxa y cos sin y 6 求同时含有与 或 的函数的值域 一般令 或 xxcossinxxcossin xxcossin txx cossin 可以化归为求在区间上的值域 要注意 的取值范围 txx cossin cbtaty 2 t 例 例 函数的定义域为 值域为 求常数 0 sincos2 abxaxy 2 0 0 4 ba 解 bxaxy sincos2 bxax sinsin1 2 2 2 sin1 24 aa xb 2 2 sin1 1 1 1 1 24 aa txytbt 令则 2 1 0 0 1 1 4 4 2 1 2 2 2 iatyba tybaab 若则当时取最大值即 而当时取最小值即联立解得 2 02 0 10 3 1 4 4 4 24 3 4 26 2 2 aa iiatybtyba aa ab 若则当时取最大值即而当时取最小值即 联立解得或经检验都不合题意舍去 综上所述 1 求的最小值 并求使取最小值时的集合 xxxxy 22 cos3cossin2sin yx 2 求的值域 cos sinsin2xxxy 三角函数知识点三角函数知识点 9 3 求的值域 1 3 2cos 2sin xxy 4 若函数的最大值为 1 则 4cossin2 xaxya 5 函数的有最大值 2 最小值 1 求实数的值 xxbxaycos sincos ba 6 若函数的定义域为 值域为 求常数的值 baxaxay 2cossin2 2 2 0 1 5 ba 7 求函数的最大值和最小值 cos2 sin2 y 8 求函数的值域 4sin5cos2 2 xxy 9 求函数的值域 3 2 3 cos2sin2 xxxy 10 函数的最小值是 26 1 cos1 sin xxxy 11 求函数的最大值 xxxxycossincossin 12 函数的定义域为 值域为 求常数的值 baxaxay sin22sin2 2 2 0 1 5 ba 13 函数的最大值为 3 求的值 2 cos 2 sin2cos 2 1 1 Ra xx axxf a 三角函数的单调性的基本方法 三角函数的单调性的基本方法 函数的单调区间的确定 1 首先要看 A 是否为正 若 为负 则先应用sin yAxk 诱导 公式化为正 2 然后将 x 看作一个整体 化为最简式 再结合 A 的正负 在和22 22 kxkkz 两个区间内分别确定函数的单调增减区间 3 22 22 kxkkz 例题 例题 1 求函数在区间 2 2 的单调增区间 2 1 3 sin xy 解 利用诱导公式把函数转化为标准函数 的形式 sin 0 0yAxA 32 1 sin 2 1 3 sin xxy 把标准函数转化为最简函数 的形式 sinyAx 令 原函数变为 1 23 zx 1 sin sin 23 yxz 讨论最简函数的单调性 sinyz 从函数的图像可以看出 的单调增区间为 sinyz sinyz 3 2 2 22 kk K 三角函数知识点三角函数知识点 10 所以 3 22 22 KzK K 即 2 3 2 32 1 2 2 KxK K 3 11 4 3 5 4 KxK K 计算 k 0 k 1 时的单调增区间 当 k 0 时 3 11 3 5 x 当 k 1 时 2223 33 x 当 k 1 时 3 1 3 7 x 在要求的区间内 2 2 确定函数的最终单调增区间 因为 所以该函数的单调增区间为 2 2 x 和 3 1 2 x 2 3 5 x 3 32 2 2 解三角形解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形 可以利用正弦定理 和余弦定理等求解 三基定理 正 余三基定理 正 余 面积 面积 A A 正弦定理 正弦定理 其中是三角形外接圆半径 2 sinsinsin abc R ABC R B B 余弦定理 余弦定理 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 由此可得 做题出现余弦 角换边做题出现余弦 角换边 222222222 cos cos cos 222 bcaacbabc ABC abacab C C 三角形面积公式 三角形面积公式 1 此为常用公式此为常用公式 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB A 三角函数知识点三角函数知识点 11 2 4 ABC abc Ss sasbscsr R A 其中 为内切圆半径 为外接圆半径 2 abc s rR D D 在三角形中大边对大角 反之亦然 在三角形中大边对大角 反之亦然 用来判定三角形是否成立 去根 用来判定三角形是否成立 去根 1 在 ABC 中 A B C 180 2 大边对大角 即 a b A B E E 射影定理 了解 射影定理 了解 coscos coscos coscos abCcB baCcA caBbA F F 有关三角形内角的几个常用公式 有关三角形内角的几个常用公式 当常用 当常用 A B C PAIA B C PAI sinsin coscos tanta