数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计算器作辅助计算1是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差.2. 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则3设，.4. 利用Simpson公式求=5. 设求积公式是Gauss型求积公式，则6. 数值微分公式的截断误差为7. 设，则的谱半径，的条件数=.8. 用牛顿下山法求解方程根的迭代公式是 下山条件是 9.对任意初始向量及任意向量，线性方程组的迭代公式，迭代序列收敛于方程组的精确解的充分必要条件是10. 应用幂法迭代公式当充分大时有 则 的按模最大的特征值 11. 设数据的绝对误差分别为0.005和0.002，则的绝对误差约为（ D ） A. 0.005 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.00712. 对于多项式在某点处函数值的秦九韶算法基于如下公式：算法计算的始点为，而这一算法的优点在于（ C ）A. 精度高 B. 计算量小 C. 精度高，且计算量小 D. 既收敛又稳定13. 给定数据 由它们所确定的Lagrange多项式与Newton多项式，以下说法正确的是（ C ）A.从数值算法上讲，它们是不同的，不过, 一般而言, 后者计算结果精度会更高B.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是相同的, 只是后者计算更灵活C.从数值算法讲它们不同，但数学意义上讲它们却是相同的D.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是不同的14. 利用求解方程根的牛顿迭代法公式为。利用这一方法进行求解时，迭代所用初始点的选取很关键，以下最好的说法是（ B ）A.对于单重根是局部二阶收敛的，初始点应选取较接近于根的值，但不一定收敛B.它是局部二阶收敛的，初始点选用较接近于根的值即收敛C.对于单重根是二阶收敛的，初始值任意选取D.对于多重根是超线性收敛的，且初始点任意选取15求解方程时，可将方程变形而得到迭代格式，当迭代格式中函数满足（ D ）条件时，这一迭代格式必收敛。A. B. C. D.16. 求矩阵特征值与特征向量的幂法与反幂法，分别可以用于求矩阵的（ A ）A. 按模最大特征值与最小特征值，及其对应特征向量B. 所有特征值及其对应特征向量C. 按模最大特征值及其对应特征向量D. 按模最小特征值及其对应特征向量17求解微分方程初值问题数值解的改进的欧拉折线法，其局部截断误差的阶是 （ B ）A. 1 B. 2 C.3 D. 418. 已知n对观测数据, 这n个点的拟合直线，是使（ D ）最小的解。A. B. C. D. 19. 若复化梯形公式计算定积分,要求截断误差的绝对值不超过，则（ A ）A. 41 B. 42 C. 43 D. 4020. 已知函数的数据表 ，则的拉格朗日插值基函数（ A ）A. B. C. D.21. 求解初值问题的近似解的梯形公式是（ A ）A. B. C. D. 22. 下面（ D ）不是数值计算应注意的问题A. 注意简化计算步骤，减少运算次数 B. 要避免相近两数相减C. 要防止大数吃掉小数 D. 要尽量消灭误差23. 对矩阵特征值满足情况，幂法收敛速度由比值确定，r越小收敛速度（ A ）A. 越快 B. 越慢 C. 不变 D. 不确定24. 令，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。解：由，可知，余项为，故25. 已知函数的相关数据0 1 2 30 1 2 31 3 9 27由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的值近似值。（注：要求给出差商表）解：差商表0123012313927268264/3由牛顿插值公式：26. 给出计算的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性, 并证明。解：由题意可得出其迭代格式为 当时，所以迭代格式是收敛的.由可得， 解得：其中舍去。可得 即解得 27. 应用紧凑格式的Doolitte分解（即LU分解）法求解方程组：。解：由紧凑格式的Doolitte分解（略）得：及，于是求解可得，求解可得。28.设方程组，(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；(2) 写出雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组的迭代格式。解： (1) 由系数矩阵为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。精确解为(2) 使用雅可比迭代法：，使用高斯-赛德尔迭代法：29. 写出求解线性代数方程组 的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。解：方程组的Gauss-Seidel迭代格式为 其迭代矩阵为 其特征方程为解之得谱半径，故迭代发散. 29. 已知 (1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。解：(1)所求插值型的求积公式形如：故。（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由2）可得：。30. 见教材P67例4.1.1。31. 用Romberg方法计算,写出计算过程并将结果填入下表(*号处不填).0*1*22.793062.797342.79740*32.7963432.单原子波函数的形式为，试按照最小二乘法决定参数和，已知数据如下：X0124y2.0101.2100.7400.450解：对两边取