第六章 变形分析及预报

朱宝训测绘与城市空间信息系 第六章变形分析及预报 变形分析的研究内容涉及到变形数据处理与分析 变形物理解释 变形预报的各个方面 传统的变形几何分析主要包括 参考点的稳定性分析变形预报 曲线拟合回归分析 主要内容 6 1变形监测网的参考系6 2基准点稳定性分析6 3变形分析与预报 第六章变形分析及变形预报 在监测网平差中的起算数据 称为平差问题的基准 基准给出了控制网的位置 尺度和方位的定义 实际上是给出了控制网的参考系 所以往往将基准与参考系作为同一个内涵的概念来称谓 平差基准 经典平差基准 秩亏自由网平差基准 拟稳平差基准 认识平差基准对位移计算结果的影响 并合理地确定基准 是变形观测数据处理的一个基本问题 变形监测网分为有固定基准的绝对网 参考网 和没有固定基准的相对网 自由网 两类 一 参考系的定义 6 1变形监测网的参考系 1 有固定基准的绝对网 参考网 绝对网是指有部分点子位于变形体外的监测网 适用于 变形体的范围 包括变形体的变形影响范围 较小 工程建筑物的变形监测 布设在变形体外的点称为参考点或基准点 某大坝变形监测网地面沉降监测网 平差方法 采用经典平差 参考点的确定通常布设多个参考点 且构成一个参考点网 通过定期对参考点的复测来检查参考点是否稳定 并将不稳定的参考点删除 最终确定变形分析的参考系 2 没有固定基准的相对网 自由网 相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网 某地壳形变监测网 适用于 变形区域很大或变形范围难以确定 变形基准的稳定性分析 特点 在相对网中 没有必要的起算基准 是一种自由网 平差时存在参考系秩亏的问题 平差得到的位移也只是相对位移 选择不同的参考系会有不同的相对位移 因此对于相对网来说 它也存在一个寻找相对稳定点 并合理定义网的参考系的问题 给定了一组近似值参考系统 就确定了自由网平差的参考系 相对于不同的近似值 平差结果如下 结论 不同的近似值系统 平差结果不同 只差一常数 但改正数相同 二 参考系方程 平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程 来表达 式中 是参考系方程系数矩阵 是网的坐标向量 1 经典平差参考系方程系数矩阵 假设第1个点是基准点 这里假设第1个点为已知点 第1个点到第2个点的方向为已知方向 测边网或边角网 水准网 2 秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵 测边网或边角网 水准网 坐标向量的解 误差方程为 三 秩亏自由网平差参考系的特点 1 秩亏自由网平差 附加条件法 2 秩亏自由网平差参考系的特点 水准网 令 为水准网的高程重心 0说明水准网自由网参考系是网的高程重心 又以测边网或边角网为例 秩亏自由网平差的坐标向量X满足 是网的重心改正数 说明秩亏自由网平差是以网的 重心坐标作为坐标起算数据 可见 也就是说 预先给定的网点坐标 近似值 的平均值与平差后网点坐标的平均值相同 起始方位角的基准条件 式中 r 第i点到坐标原点的距离 原点到第i点的方位角改正数 说明原点到各点的方位角改正数的加权平均值为零 j m 方向误差方程 四 参考系的选择 选用某种平差方法去计算网点的位移 实质上是选用某种变形模型去模拟实际变形 当所选的数学模型与实际变形不相符时 将使所计算的位移值伴随有误差 这一误差我们称它为参考系模型误差 简称为模型误差 真实变形秩亏网平差变形经典平差变形 参考点稳定性分析的必要性 基准点或参考点的作用是为测定变形体上的监测点的绝对位移提供参考系 为了能够发现不稳定的参考点 通常布设多个参考点构成一个参考网 通过定期对参考网的复测来检查参考点是否稳定 并将不稳定的参考点剔除 但是当参考点的位移不大时 需要一种发现位移较小的参考点的方法 对监测网进行稳定性分析 并根据稳定性分析结果选择平差方法 确立一个对变形分析比较有利的参考系 是变形观测数据处理的一项重要任务 6 3 1限差检验法 6 2基准点稳定性分析点 设变形网两期观测分别作自由网平差 I II两期坐标差为 平差时求得的两期坐标权逆阵为 当两期网形一致时 中误差为 则检验式 其中 6 3 2平均间隙法 坐标差的产生的原因 一是由于点位在两期观测之间所产生移动的影响 二是由于两期观测误差所引起的 当移动量很大 比观测误差大很多时 容易得出点位是否移动的结论 否则只能借助数理统计假设检验手段 在这种情况下 一方面要尽可能提高观测精度 另一方面应在成果处理上尽可能精确地把观测误差和移动鉴别开来 平均间隙法原理 原理 1 通过两期观测 可分别进行平差 得出各点两期的坐标值 而且这些点的坐标值对同名点各不相同 这时两期的近似坐标应相同 2 如果 各点在两期观测期间没有移动 坐标差只反映观测误差 与通常使用的经验方差比较和检验 3 这两个方差的比构成的统计量服从F分布 检验两个方差是否相等 如果是 则表示坐标值的差完全由观测误差所引起的 因此判断点位确实没有移动 否则点位产生了移动 1 整体检验 对变形监测网 根据每一周期观测的成果 由平差可计算单位权方差的估值 一般情况下不同周期的精度是相等的 必要时需进行验证 可以将 联合起来求一个共同的单位权 方差估值 即 式中 为两期自由度之和 即 作假设H0 两观测期间点位没有变动 则可从两个周期所求得的坐标差 即所谓间隙 方差估值 来计算另一 式中 为独立的d的个数 为d的权阵 且 1 当采用经典网平差时 如果两期观测的设计矩阵和观测方法相同 2 当采用秩亏自由网平差时 可以证明方程估值 利用F检验法 我们可以组成统计量 F h f 是相互独立的 1 如果 则表明我们没有足够的证据来怀疑 原假设 即认为点位是稳定的 变形分析即告完成 2 如果 则必须拒绝原假设 亦即认为点位 发生了变动 选用显著水平 一般为0 05或0 01 由于上述问题的统计性质可知 主要是看是否大于 因此属于右尾检验 2 局部检验 间隙分块法 权矩阵分块成 令 则 为了使上式分成属于动点和属于稳定点的两个独立的部分 令 由此获得 这样就将分成了两项 第一项用来检验稳定点这一组 第二项检验动点这一组的稳定性 组中只有一个点 并选择与 实际工作中 一般是通过平均间隙法 证实已发生移动后 再假设一个点可能变动 即 所相应的 点作为可能变动的点 点后 其余点的稳定性则由统计量 小于相应分位值时 分析即结束 否则继续剔除可能 在剔除 的检验决定 上式中 当 移动的点 继续检验直到接受原假设为止 例1 如图为某沉降监测网 两周期的观测值列于表中 HA 35 500 试检验其余网点的稳定性 解 1 定权 Pik C nik n为测站数 取C 2 得权列于表中 2 列误差方程式设各点近似高程相等H0 35 000 V AX L 3 解方程 H1 X X0 35 5447935 8104635 47392 H2 35 5447035 8102035 47410 d H2 H1 4 构造统计量 5 检验 选择 查得 因为 故认为观测周期期间点位没有发生变动 例2 如图为一水准网 根据两周期观测资料自由网平差求得点位变动量 两期联合平差求得联合方差估值 试判断两周期观测期间水准点的相对稳定点组 解 1 整体检验 选择 查得 因为 故认为观测周期期间点位发生了变动 求统计量 2 局部检验 分别将点1 点2 点3 点4看作是动点 计算变化后的 再计算 例如对第一点有 同法可求得2 3 4点的分别为 2 5421 2 0676 2 4917 故怀疑2点发生变动 剔除2点 计算 再计算 对点1 点3 点4重新组成统计量 因而点1 点3 点4可作为相对稳定点组 变形观测资料的分析一般情况下包括以下内容 1 成因分析 定性分析 确定变形值变化的原因和规律性 2 统计分析 确定变形与引起变形因素之间的函数关系 3 变形预报和安全判断变形监测分析与预报的方法 曲线拟合回归分析时间序列法灰色系统频谱分析 6 3变形分析与预报 6 3 1 曲线拟合 曲线拟合是趋势分析法中的一种 又称曲线回归 趋势外推或趋势曲线分析 它是迄今为止研究最多 也最为流行的定量预测方法 式中 为预测对象 为预测误差 根据不同情况合假设 可取不同的形式 而其中的 代表某些特定的参数 幂函数趋势模型 指数趋势模型 双曲线趋势模型 修正指数模型 逻辑斯蒂 Logistic 模型 龚伯次 Gompertz 模型 对数趋势模型 多项式趋势模型 曲线模型分为线性模型和非线性模型 1 指数模型y aebx 取对数得到lny lna bx 2 对数模型y a blnx 取z lnx 化为线性模型y a bz 3 双曲线模型y 1 a bx 取z 1 y 化为线性模型z a bx 4 双曲线模型y x a bx 取z 1 y u 1 x 化为z b au 5 双曲线模型y a bx x 取z 1 x 化为线性模型y b az 然后 利用最小二乘法求出参数a b 非线性模型比线性模型复杂的多 有些非线性模型可通过变换 转化为线性模型 非线性模型拟合 示例 多项式趋势拟合 matlab多项式曲线拟合格式 polyfit x y n 说明 polyfit x y n 是找n次多项式p x 的系数 这些系数满足在最小二乘法意义下p x i y i 曲线拟合最常用的方法是最小二乘法 其原理是求f x 使达到最小 matlab提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原始数据y 4 6 4 8 8 4 9 28 9 5 9 7 9 86 10 10 2 10 32 10 42 10 5 10 55 10 58 10 6 原始数据y1 polyfit x y 3 多项式拟合px poly2str y1 x 写出拟合后多项式形式pxd polyval y1 x 求解多项式在x处的值plot x y r 画出拟合前的散点图holdon 作图时在一张图上同时显示多组数据plot x pxd k 画出拟合后的曲线图 程序代码 x 12345678910111213141516y Columns1through124 00006 40008 00008 40009 28009 50009 70009 860010 000010 200010 320010 4200Columns13through1610 500010 550010 580010 6000y1 0 04451 07114 3252px 0 044491x 2 1 0711x 4 3252pxd Columns1through125 35186 28947 13807 89768 56839 14999 642610 046310 361010 586810 723510 7713Columns13through1610 730110 599910 380810 0726 运行结果 其中 R2越趋近于1表明拟合效果越好 根据可决系数 比较拟合效果 计算可决系数的公式为 拟合效果判别 拟合值 拟合值 平均值 回归分析方法是一种研究变量之间相关关系的统计方法 回归分析有线性与非线性之分 很多非线性回归可以通过变量变换转化成线性回归 变形分析中 主要采用回归分析模型来解决如下问题 1 确定几个特定变量间是否存在相关关系 并找出适合它们之间关系的回归方程 2 根据一个或几个变量的值 预测或控制另一个变量的取值 及预测的精度 3 进行因素分析 如在共同影响一个变量的许多变量间 寻找哪些是重要因素 哪些是次要因素等 6 3 2回归分析法 建筑变形测量规范 中规定 变形分析的 回归分析法 应以10个以上周期的长期观测数据为依据 通过分析所测变形与内因 外因之间的相关性 建立荷载 变形关系的数学模型 当处理两个变量之间关系时 可采用一元回归分析 当处理一个变量与多个因子之间的关系时 应采用逐步回归分析 通过在回归方程中逐个引入显著因子 剔除不显著因子 获得最佳回归方程 预报方程 回归分析是数理统计中处理变量之间关系的一种常用方法 处理两个变量之间关系的回归分析称一元回归分析 当两个变量之间的关系为线性时 则称一元线性回归分析 这是回归分析中最简单的情况 6 3 2回归分析法 一 一元线性回归 误差方程式 观测数据可以写成 采用最小二乘法来计算估值 为此组成法方程 即 式中 1 求解过程 解方程得 该回归直线方程求因变量y估值的中误差 式中 x y的相关系数 2 一元线性回归分析的步骤 1 求得变量和的线性相关系数 并查阅根据相关系数的临界值表 判断和线性相关是否密切 2 求回归方程的回归系数 建立回归方程 3 在回归直线两侧根据2S画两条平行线 对数据进行分析 2S 相关系数检验的临界值 自由度为n 2 2 粗差剔除3 预报变形 3 一元线性回归作用 1 一元线性回归分析可以是变形与变形原因之间的关系 也可以是变形与变形之间的关系 例题 为某坝3个坝段3年的水平位移观测资料 分析它们之间相互进行检核的可能性 计算求得它们之间的相关系数估值为 坝段10与坝段11 坝段11与坝段12 自由度为n 2 33时与置信水平5 相应的相关系数临界值分别为0 3354 0 430 利用最小二乘法 根据表中数据可以建立回归方程 估值中误差s 0 33mm 一元线性回归 一元线性回归 二 多元线性回归 多元线性回归法是通过分析所观测的变形 效应量 和外因 原因 之间的相关性 来建立荷载 变形之间关系的数学模型 运用最小二乘原理求回归方程中的回归系数的估值 这种计算实际上是测量中的间接平差问题 在多元线性回归中 选定一些变形影响因子后 利用统计检验的方法确定保留影响显著的因子 其数学模型是 1 建立多元线性回归方程 用矩阵表示 由最小二乘原理可求得 的估值 为 2 回归方程显著性检验 假设 y与自变量 之间是否有线性关系 则 求得统计量 为剩余平方和或 为回归平方和 残差平方和 统计量F应服从 分布 故选择显著水 后 可用下式检验原假设 平 3 回归系数显著性检验 目的 剔除那些可有可无的变量 重新建立更为简单的线性 回归方程 原假设应为 求得 式中 为矩阵 中主对角线上第 个元素 服从 分布 分子 通常又称为因子 的偏回归平方和 于是在原假设成立时 统计量 据此可进行F检验 在进行回归因子显著性检验时 由于各因子之间的相关性 当从原回归方程中剔除一个变量时 其他变量的回归系数将会发生变化 有时甚至会引起符号的变化 因此 对回归系数进行一次检验后 只能剔除其中的一个因子 然后重新建立新的回归方程 再对新的回归系数逐个进行检验 重复以上过程 直到余下的回归系数都显著为止 Matlab多元线性回归 b bint r rint stats regress y x alpha 其中b是回归方程中的参数估计值 bint是b的置信区间 r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间 StatS数组包含三个数字 分别是相关系数 F统计量及对应的概率p值 Alpha是显著水平 省略时则取显著水平为0 01 拟合结果 Y b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 b n x n b 1 是系数 x 1 为全1的一个列向量 注意 不是插值 x 1249 1437 1590 1918 y 1039048 b regress y x 得到的结果 b 186 833316 023821 85718 5952 另外 用b inv x y得到的结果和上面用regression得到的一样 可见 求逆的问题也是用了最小二乘的原理 但是 regress更优于inv 体现在当x的元素存在缺陷时 举例 三 逐步回归计算 逐步回归的计算过程如下 先可分别由每一个因子建立t个一元线性回归方程 相应残差平方和Q最小的因子可作为预选因子 作F检验 当其影响显著时 则接纳此因子进入回归方程 相应于已选入的因子 一次另加一个其它未选入因子 建立 t 1 二元线性回归方程 并计算它们的残差平方和 选第三个因子 同法建立 t 2 个三元回归方程 计算回归平方和 取其中最大者计算F统计量 进行显著性检验 当检验结果为不显著时 则取上一步骤中的二元回归方程计算所选的回归方程 否则 接纳该因子进入回归方程 在选入第三个因子后 对原先