数系的扩充与复数的引入

13 6 数系的扩充与复数的引入 1 2008 2008 浙江理 浙江理 1 1 已知 a 是实数 是纯虚数 则 a 等于 i1 i a A 1B 1 C D 22 答案答案 A 2 设复数 z a bi a b R 则 z 为纯虚数的必要不充分条件是 A a 0 B a 0 且 b 0 C a 0 且 b 0 D a 0 且 b 0 答案答案 A 3 满足条件 z 3 4i 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 答案答案 C 4 2008 2008 辽宁理 辽宁理 4 4 复数 的虚部是 i2 1 i21 1 A i B C i D 5 1 5 1 5 1 5 1 答案答案 B 5 设为复数 z 的共轭复数 若复数 z 同时满足 z 2i iz 则 z zzz 答案答案 1 i 例例 1 1 已知复数 z a2 5a 6 i a R R 1 67 2 2 a aa 试求实数 a 分别取什么值时 z 分别为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解解 1 当 z 为实数时 则有 且且且 1 67 065 2 2 2 a aa aa 基础自测基础自测 a 6 即 a 6 时 z 为实数 1 61 a aa且 2 当 z 为虚数时 则有 a2 5a 6 0 且有意义 1 67 2 2 a aa a 1 且 a 6 且 a 1 a 1 且 a 6 当 a 1 1 1 1 6 6 时 z 为虚数 3 当 z 为纯虚数时 有 0 1 67 065 2 2 2 a aa aa 6 61 a aa且 不存在实数 a 使 z 为纯虚数 例例 2 2 已知 x y 为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 求 x y 解解 设 x a bi a b R R 则 y a bi x y 2a xy a2 b2 代入原式 得 2a 2 3 a2 b2 i 4 6i 根据复数相等得 6 3 44 22 2 ba a 解得或或或 1 1 b a 1 1 b a 1 1 b a 1 1 b a 故所求复数为或 i1 i1 y x i1 i1 y x 或或 i1 i1 y x i1 i1 y x 例例 3 3 计算 1 2 3 i i 2i 1 i2 i 1 3 i 21 2 3 4 2 i 1 i1 2 i 1 i1 2 i 3 i31 解解 1 1 3i 3 i i 2i 1 i i3 2 i2 i 1 3 i 21 2 i2 i33i 43 i i2 i 5 i 2i 5 1 5 2 3 2 i 1 i1 2 i 1 i1 i2 i1 i2 i1 1 2 i1 2 i1 4 2 i 3 i31 2 i 3 i i 3 i3 i i 4 i 3i 4 1 4 3 例例 4 4 12 分 如图所示 平行四边形 OABC 顶点 O A C 分别表示 0 3 2i 2 4i 试求 1 表示的复数 所表示的复数 AOBC 2 对角线所表示的复数 CA 3 求 B 点对应的复数 解解 1 所表示的复数为 3 2i AOOAAO 所表示的复数为 3 2i 4 分BCAOBC 2 所表示的复数为CAOAOCCA 3 2i 2 4i 5 2i 8 分 3 OBOAABOAOC 表示的复数为 3 2i 2 4i 1 6i OB 即 B 点对应的复数为 1 6i 12 分 1 已知 m R R 复数 z m2 2m 3 i 当 m 为何值时 1 z R R 2 z 是纯虚数 3 z 对 1 2 m mm 应的点位于复平面第二像限 4 z 对应的点在直线 x y 3 0 上 解解 1 当 z 为实数时 则有 m2 2m 3 0 且 m 1 0 得 m 3 故当 m 3 时 z R R 2 当 z 为纯虚数时 则有 0 32 0 1 2 2 mm m mm 解得 m 0 或 m 2 当 m 0 或 m 2 时 z 为纯虚数 3 当 z 对应的点位于复平面第二像限时 则有 032 0 1 2 2 mm m mm 解得 m 3 或 1 m 2 故当 m 3 或 1 m 2 时 z 对应的点位于复平面的第二像限 4 当 z 对应的点在直线 x y 3 0 上时 则有 1 2 m mm 03 32 2 mm 得 0 解得 m 0 或 m 1 1 42 2 m mmm 5 当 m 0 或 m 1 时 点 Z 在直线 x y 3 0 上 5 2 已知复数 z1 m 4 m2 i m R R z2 2cos 3sin i R R 若 z1 z2 求的取值范围 解解 z1 z2 m 4 m2 i 2 cos 3sin i 由复数相等的条件 得 sin34 cos2 2 m m 4 m2 3sin 4 4cos2 3sin 4sin2 3sin 4 sin 2 8 3 16 9 1 sin 1 当 sin 时 min 当 sin 1 时 max 7 8 3 16 9 7 16 9 3 计算下列各题 1 i 1i 45 i 54 i 22 3 2 i321 i32 0062 i1 2 解解 1 i 1i 45 i 54 i 22 3 i 1i 45 i 45i i 1 22 3 i 1 i 4 i 1 i 2 2 2 ii 1 22 4 22 i 2i 2 4i 22 2 i321 i32 0062 i1 2 i321 i 321 i 0031 2 i1 2 i i i1 003 0031 i 2 2 i i4 250 3 i i3 i i 0 4 已知关于 x 的方程 x2 6 i x 9 ai 0 a R R 有实数根 b 1 求实数 a b 的值 2 若复数 z 满足 a bi 2 z 0 求 z 为何值时 z 有最小值 并求出 z 的最小值 z 解解 1 b 是方程 x2 6 i x 9 ai 0 a R R 的实根 b2 6b 9 a b i 0 故 解得 a b 3 ba bb096 2 2 设 z x yi x y R R 由 3 3i 2 z z 得 x 3 2 y 3 2 4 x2 y2 即 x 1 2 y 1 2 8 Z 点的轨迹是以 O1 1 1 为圆心 2为半径的圆 2 如图 当 Z 点在 OO1的连线上时 z 有最大值或最小值 OO1 半径 r 2 22 当 z 1 i 时 z 有最小值且 z min 2 一 选择题一 选择题 1 2008 2008 天津理 天津理 1 1 i 是虚数单位 等于 1i 1 ii3 A 1 B 1 C i D i 答案答案 A 2 2008 2008 广东文 广东文 2 2 已知 0 a 2 复数 z a i i 是虚数单位 则 z 的取值范围是 A 1 5 B 1 3 C 1 D 1 53 答案答案 C 3 2008 2008 山东文 山东文 2 2 设 z 的共轭复数是 若 z 4 z 8 则等于zzz z z A i B i C 1 D i 答案答案 D 4 若 a 2i i b i 其中 a b R R i 是虚数单位 则 a2 b2等于 A 0 B 2 C 5 D 2 5 答案答案 C 5 在复平面上 一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i 2 i 0 则第四个顶点对应的复数为 A 3 i B 3 i C 1 3i D 1 3i 答案答案 D 6 设 a 是实数 且 是实数 则 a 等于 i1 a 2 i1 A B 1C D 2 2 1 2 3 答案答案 B 二 填空题二 填空题 7 2008 2008 北京理 北京理 9 9 已知 a i 2 2i 其中 i 是虚数单位 那么实数 a 答案答案 1 8 2008 2008 湖北理 湖北理 11 11 设 z1是复数 z2 z1 i 1 其中1表示 z1的共轭复数 已知 z2的实部是 1 则 zz z2的虚部为 答案答案 1 三 解答题三 解答题 9 已知 z2 8 6i 求 z3 16z z 100 解解 原式 z zz10016 24 z z164 8 22 z 164i 6 2 z 200 zz z200 2 200 z z z 2 z2 8 6i 10 又由 z2 8 6i 3 i 2 z 3 i 当 z 3 i 时 原式 60 20i 当 z 3 i 时 原式 60 20i 10 已知 z 是复数 z 2i 均为实数 i 为虚数单位 且复数 z ai 2在复平面上对应的点在第一 i2 z 像限 求实数 a 的取值范围 解解 设 z x yi x y R R z 2i x y 2 i 由题意得 y 2 x 2i 2 i i 2 z i2 i2 x 5 1 2x 2 x 4 i 5 1 5 1 由题意得 x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 由于 z ai 2在复平面对应的点在第一像限 所以 解得 2 a 6 0 2 8 0412 2 a aa 实数 a 的取值范围是 2 6 11 是否存在复数 z 使其满足 z 2i 3 ai a R R 如果存在 求出 z 的值 如果不存在 说明理由 zz 解解 设 z x yi x y R R 则 x2 y2 2i x yi 3 ai ax yyx 2 32 22 消去 x 得 y2 2y 3 0 16 a2 4 2 a 当且仅当 a 4 时 复数 z 存在 此时 z i 2 a 2 162 2 a 12 设 z C C 求满足 z R R 且 z 2 2 的复数 z z 1 解解 方法一方法一 设 z a bi a b R R 则 z a bi a bi z 1 i 1 ba 22 i ba ba a 22 ba a i R R 22 ba b b b b 0 或 a2 b2 1